Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Lời giải
Chọn B
Gọi V1 , h1 , R1 lần lượt là thể tích của 4 cây cột lớn, chiều cao và bán kính của một cây cột lớn.
Thể tích của bốn cây cột lớn ở giữa là V1

4. .R12h1

Diện tích xung quanh của một cây cột lớn là S1

4 3,14 0,32 4,5

2 R1h1

5,0868m3.

2 3,14 0,3 4,5

8, 478m2 .

Gọi V2 , h2 , R2 lần lượt là thể tích của 16 cây cột nhỏ, chiều cao và bán kính của một cây cột nhỏ.
Thể tích của 16 cây cột nhỏ là V2

16. .R22h2

16 3,14 0, 22 h2 .

Diện tích xung quanh của một cây cột nhỏ là S2 2 R2 h2 2 3,14 0, 2 h2
16
Theo đề bài ta có: S2
S1 1, 256h2 5, 024 h2 4m.
27
Suy ra V2 16. .R22h2 16 3,14 0, 22 4 8,0384m3
Giá tiền của 20 cây cột trên là
T V1 V2 45000000 5,0868 8,0384 45000000 590634000 (VNĐ).

1, 256h2

$\pi$

2
khi x \ge 0
\{2 x - 3

Gọi $SC=x$.

Gọi $H$ là trung điểm của $SB$. Vì $(SBC)\perp (ABC)$ và $AS=AB=AC=2a$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SBC$, suy ra $△SBC$ vuông tại $C$, do đó $SC\perp SB$.
Trong tam giác vuông $SBC$:
$$BC=\sqrt{S{B}^2-S{C}^2}=\sqrt{4a^2-x^2}$$
Trong tam giác vuông $ABH$ có $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$ (hoặc tính theo đường cao $AH\perp (SBC)$):
$$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}AH\cdot S_{SBC}=\frac{1}{3}AH\cdot \left(\frac{1}{2}SB\cdot SC\right)=a^3$$
Giải phương trình tìm được $x=a\sqrt{6}$.
Vậy độ dài cạnh $SC=a\sqrt{6}$.
Chọn đáp án D.

Chọn C.
Ta có $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$.
Vì $SB\perp (ABCD)\Rightarrow SB\perp AD$, mà $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$, suy ra $AD\perp (SAB)\Rightarrow AD\perp SA$.
Do đó góc giữa $(SAD)$ và đáy $(ABCD)$ là $\widehat{SAB}=60^{\circ }$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên $SB=AB\tan 60^{\circ }=2a\sqrt{3}$.
Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SB=\frac{1}{3}\cdot 4a^2\cdot 2a\sqrt{3}=\frac{8a^3\sqrt{3}}{3}$.

1 AB 2
Vì ST AB nên ST 1.
2 2 2
BC AB
Ta có BC STBA và VABCDST VS . ABCD VC .BTS .
BC SA
1 1 8
• VS . ABCD
SA.S ABCD .2.22 (đvtt)
3 3 3
1 1 1 1 1 2
• VC .BTS CB.S BTS CB. ST .d B, ST CB.ST .SA .2.1.2 (đvtt).
3 3 2 6 6 3
8 2 10
Vậy VABCDST (đvtt).
3 3 3

Chọn B.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $M$ là trung điểm của $CD$.
Khi đó $OM\perp CD$ và $SM\perp CD$, góc giữa mặt bên và đáy là $\widehat{SMO}=45^{\circ }$.
Ta có $OM=\frac{a}{2}\Rightarrow SO=OM\cdot \tan 45^{\circ }=\frac{a}{2}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$.

Chọn D.
Nửa chu vi đáy: $p=\frac{5a+6a+7a}{2}=9a$.
Diện tích tam giác đáy theo Heron: $S_{ABC}=\sqrt{9a(9a-5a)(9a-6a)(9a-7a)}=\sqrt{9a\cdot 4a\cdot 3a\cdot 2a}=6a^2\sqrt{6}$.
Kẻ $AH\perp BC\Rightarrow AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{12a^2\sqrt{6}}{6a}=2a\sqrt{6}$.
Kẻ $AK\perp SH\Rightarrow AK\perp (SBC)\Rightarrow d(A,(SBC))=AK=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Ta có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{H}^2}\iff \frac{1}{S{A}^2}=\frac{1}{A{K}^2}-\frac{1}{A{H}^2}=\frac{9}{24a^2}-\frac{1}{24a^2}=\frac{8}{24a^2}=\frac{1}{3a^2}\Rightarrow SA=a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 6a^2\sqrt{6}\cdot a\sqrt{3}=6a^3\sqrt{2}$.

Chọn C.
Đặt thể tích lăng trụ là $V=V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$.
Ta có $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{2}{3}$, $\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$, $\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức phân chia thể tích lăng trụ tam giác bị cắt bởi mặt phẳng $(MNP)$:
$\frac{V_{ABCMNP}}{V}=\frac{1}{3}\left(\frac{AM}{A{A}^{\prime }}+\frac{BN}{B{B}^{\prime }}+\frac{CP}{C{C}^{\prime }}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
Do đó $V_1=\frac{V}{2}$ và $V_2=V-V_1=\frac{V}{2}$.
Vậy $\frac{V_1}{V_2}=1$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}$. Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $45^{\circ }$ nên đường sinh $l=SA=R\sqrt{2}=2a$. Diện tích xung quanh là $S_{xq}=\pi Rl=2\sqrt{2}\pi a^2$.

Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $(SAD)\perp (ABCD)$ nên $SA\perp (ABCD)$. Ta có $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=a$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SA\cdot a^2=\frac{a^3}{3}$.

Vì $C{C}_1\perp (ABCD)$ nên góc giữa $A{C}_1$ và $(ABCD)$ là $\widehat{C_{1}AC}=60^{\circ }$.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$AC=\sqrt{a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }}=a\sqrt{3}.$
Chiều cao hình hộp đứng:
$C{C}_1=AC\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a.$
Diện tích đáy hình thoi:
$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot \frac{1}{2}a\cdot a\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối hộp là:
$V=S_{ABCD}\cdot C{C}_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot 3a=\frac{3\sqrt{3}{a}^3}{2}.$

Từ $\overrightarrow{EA}=-3\overrightarrow{EB}$ suy ra $E$ thuộc đoạn thẳng $AB$ và $EA=3EB$, hay $EB=\frac{1}{4}AB$.
Do đó khoảng cách từ $E$ đến $(BCD)$ bằng $\frac{1}{4}$ khoảng cách từ $A$ đến $(BCD)$.
Suy ra: $V_{EBCD}=\frac{1}{4}{V}_{ABCD}=\frac{V}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)$ và $AM\perp BC$ nên $A^{\prime }M\perp BC$.
Diện tích tam giác $A^{\prime }BC$:
$S_{A^{\prime }BC}=\frac{1}{2}{A}^{\prime }M\cdot BC=2a^2\sqrt{3}⟹A^{\prime }M\cdot 2a=4a^2\sqrt{3}⟹A^{\prime }M=2a\sqrt{3}.$
Chiều cao lăng trụ:
$A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{M}^2-A{M}^2}=\sqrt{12a^2-3a^2}=3a.$
Thể tích khối lăng trụ là:
$V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot 3a=3\sqrt{3}{a}^3.$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot 4a=6a^2$.
Chiều cao của lăng trụ là $h=d(AB,B^{\prime }{C}^{\prime })=4a$.
Thể tích lăng trụ: $V_{lt}=S_{ABC}\cdot h=6a^2\cdot 4a=24a^3$.
Tứ giác $BCNM$ là hình thang có đáy $MN=\frac{1}{2}BC$.
Ta có: $V_{A.BCNM}=\frac{1}{2}{V}_{lt}=\frac{1}{2}\cdot 24a^3=12a^3$.

Vì $I$ là trung điểm của $SO$ nên $IA=\frac{R}{2}=1$ và $d(IA,OB)=OI=1$.
Thể tích tứ diện $IAOB$ là:
$V=\frac{1}{6}\cdot IA\cdot OB\cdot d(IA,OB)\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Hình trụ có chiều cao $h=8a$. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha )$ song song với trục là hình vuông, do đó cạnh của hình vuông bằng chiều cao hình trụ là $8a$.
Độ dài dây cung của đáy bị cắt bởi $(\alpha )$ là $2d=8a\Rightarrow d=4a$. Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng $(\alpha )$ là $3a$.
Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $R=\sqrt{3^2{a}^2+4^2{a}^2}=5a$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi Rh=2\pi \cdot 5a\cdot 8a=80\pi a^2$.

Chọn đáp án A.

Chọn D.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$, cạnh đáy $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$).
Đường sinh của khối nón là $l=SC=a\sqrt{6}$.
Bán kính đáy là $r=AC=a\sqrt{2}$.
Chiều cao của khối nón là $h=SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{6a^2-2a^2}=2a$.
Thể tích khối nón tròn xoay tạo thành là:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (a\sqrt{2})^2 (2a) = \frac{4\pi a^3}{3}.


Gọi $R$ là bán kính đáy hình nón và bán kính của nửa khối cầu. Đường kính đáy là $d=2R$.
Chiều cao khối nón là $h=3d=6R$.
Thể tích nửa khối cầu phía trên là:
$V_{cau}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)=\frac{2}{3}\pi R^3=50{\text{ cm}}^3$.
Thể tích khối nón phía dưới là:
$V_{non}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^2(6R)=2\pi R^3=3\left(\frac{2}{3}\pi R^3\right)=3\cdot 50=150{\text{ cm}}^3$.
Vậy thể tích của cả chiếc kem là:
$V=V_{cau}+V_{non}=50+150=200{\text{ cm}}^3$.

Gọi $O=AC\cap BD$.
Đáy $ABCD$ hình vuông có đường chéo $AC=2\sqrt{3}a\Rightarrow AB=a\sqrt{6}$ và $OC=a\sqrt{3}$.
Góc giữa $(C^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{C^{\prime }OC}=60^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $C^{\prime }OC$: $C^{\prime }C=OC\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a$.
Thể tích khối hộp chữ nhật là: $V=S_{ABCD}\cdot C^{\prime }C=(a\sqrt{6}{)}^2\cdot 3a=18a^3$.

Gọi $H$ là trung điểm $AB$, ta có $A^{\prime }H\perp (ABC)$ và $\widehat{A^{\prime }AH}=60^{\circ }\Rightarrow A^{\prime }H=AH\tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vậy $V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\frac{3a^3}{8}$.

Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 135^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Từ giả thiết tính được đường cao khối chóp $h=a$, suy ra $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{a^3}{6}$.