Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Câu 1. Thường niên, Giải thưởng Văn phòng phẩm Nhật Bản lại được tổ chức để vinh danh các thiết kế xuất sắc nhất. Một chuỗi cửa hàng văn phòng phẩm đã gửi một sản phẩm để tham gia cuộc thi. Sản phẩm dự thi là một loại gọt bút chì có hình ảnh ngọn núi Phú Sĩ (được minh họa bởi **Hình 1**) với hình dạng tổng thể là một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và chiều cao đều bằng $6\text{ cm}$. Chiếc gọt bút chì gồm ba phần (quan sát **Hình 2, Hình 3**):

- **Phần nắp:** là hình chóp đều $S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Chiều cao của phần nắp bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của gọt bút chì.
- **Phần thân:** là hình chóp cụt đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với chiều cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của gọt bút chì, được gắn với phần nắp bởi một khớp nối. Ở trạng thái đóng, phần thân và phần nắp của chiếc gọt bút chì coi như khít nhau hoàn toàn.
- **Phần lõi gọt:** là phần chứa lưỡi dao gọt bút chì, có dạng một hình nón, được khoét ở phía trong của phần thân của chiếc gọt bút chì. Đáy của hình nón này là đường tròn có bán kính bằng $0,6\text{ cm}$, có tâm trùng với tâm của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đỉnh $T$ của hình nón nằm trên đoạn thẳng nối hai tâm của hình chóp cụt đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chiều cao của phần lõi gọt bằng $\frac{1}{2}$ chiều cao của phần thân của chiếc gọt bút chì.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=2a,AD=6a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh $SD=4\sqrt{3}a$.

Câu 4. Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều có đáy là các tam giác đều cạnh bằng $1\text{ dm}$ và $3\text{ dm}$, chiều cao của chậu là $4\text{ dm}$. Người ta bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi $0,5\text{ lıˊt/phuˊt}$.

Câu 1. Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $5$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $\frac{15}{4}$. Tính thể tích khối chóp $A^{\prime }.ABC$. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một cốc hình trụ có đường kính đáy bằng $7\text{ cm}$, chiều cao $15\text{ cm}$. Trong cốc chứa một lượng nước bằng $\frac{2}{3}$ thể tích cốc. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá $3\text{ cm}$. Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính $0,9\text{ cm}$ thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

Mặt bể bơi của một dự án chung cư cao cấp có dạng một hình chữ nhật với chiều dài 25m và chiều rộng 8m. Bể bơi sâu 1m ở bên đầu nông và sâu 2m bên đầu sâu. Biết hai đầu nông, sâu thuộc hai bên theo chiều dài của bể bơi (tham khảo hình vẽ minh họa). Ban đầu bể không có nước, nước bắt đầu được bơm vào bể lúc 7 giờ sáng với tốc độ $1{\text{ m}}^3$ mỗi phút. Vào lúc 7 giờ 36 phút sáng thì mực nước dâng lên với tốc độ $\frac{1}{a}\text{ m/phuˊt}$. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Cho một tấm tôn hình một ngũ giác đều có cạnh bằng $6\text{dm}$. Người ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Cắt ở mỗi đỉnh của ngũ giác đều đó hai tam giác vuông bằng nhau.
Bước 2: Cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một ngũ giác đều và năm hình chữ nhật.
Bước 3: Gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ ngũ giác đều (tham khảo hình vẽ).

Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng chục).

Câu 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$, biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$, từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }B=5$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ có $BC=3\sqrt{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }BC$. Tính thể tích khối chóp $G.ABC$.

Câu 2. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $1$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$; điểm $N$ nằm trên cạnh $CD$ sao cho $NC=2ND$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $MN$ và song song với $AC$ chia khối tứ diện $ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích là $V$. Tính $V$.

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $6$ cm, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và số đo của góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng $120^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu centimet khối?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm đáy, $AB=16\text{ cm}$, góc nhị diện $[S;CD;O]=\alpha$ với $\tan \alpha =\frac{5}{4}$. Thể tích khối chóp là $k{\text{ (cm}}^3\text{)}$, hãy tính $3k$.

Câu 5. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi có $\widehat{B^{\prime }BC}$ là góc nhọn, mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vuông góc với $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=6$, $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$, góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng bao nhiêu?

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên). Cạnh đáy dưới dài $5\text{ m}$, cạnh đáy trên dài $2\text{ m}$, cạnh bên dài $3\text{ m}$. Tính thể tích chân tháp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều. Biết $AB=5\sqrt{6}\text{ cm}$ và diện tích tam giác $A{B}^{\prime }C$ bằng $75{\text{ cm}}^2$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (đơn vị ${\text{cm}}^3$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=3$ và $A^{\prime }B=3\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 1. Một vật lưu niệm làm bằng thuỷ tinh có dạng hình lăng trụ đều có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $AB=10\text{ (cm)}$. Phía bên trong làm bằng nhựa đặc là hình chóp cụt đều $MNPQ.ABCD$ có $MN=5\text{ (cm)}$ và chiều cao bằng chiều cao của lăng trụ như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(CDQP)$ bằng $3\sqrt{10}\text{ (cm)}$. Phần khoảng trống bên trong vật lưu niệm người ta bơm chất lỏng có màu sắc (xem độ dày thành vật thể không đáng kể). Khi đó thể tích phần chất lỏng bơm vào là bao nhiêu lít? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3,BC=6$. Biết rằng, tam giác $SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Hỏi thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $SA\perp (ABC)$. Cho biết $SA=a\sqrt{2},AB=a\sqrt{6},AC=a\sqrt{3}$. Khi đó: