Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 19: 415.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: $I={\int }_1^5\frac{4x^2-1}{x}dx={\int }_1^5\left(4x-\frac{1}{x}\right)dx={\left[2x^2-\ln x\right]}_1^5=(50-\ln 5)-(2-0)=48-\ln 5$. Vậy $a=48$, $b=5$, $a-b=43$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (43).

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: $I={\int }_1^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x={\left[x-\ln x\right]}_1^2=(2-\ln 2)-(1-\ln 1)=1-\ln 2$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln x\right]}_1^2=2+\ln 2-\frac{1}{2}=\ln 2+\frac{3}{2}$. Vậy $a=2,b=3,c=2$ (phân số $\frac{3}{2}$ tối giản), tổng $a+b+c=2+3+2=7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 5, Mã đề 101: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải do AI cung cấp (không có lời giải trong nguồn): Trên $[0;1]$ có $x^2-1\le 0$, trên $[1;2]$ có $x^2-1\ge 0$. Diện tích là $S={\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx=\left(x-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1+\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_1^2=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$. Đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1202 (câu 8 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^2[f(x)+5g(x)-x]dx={\int }_0^{2}f(x)dx+5{\int }_0^{2}g(x)dx-{\int }_0^{2}xdx=2+5(-3)-{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^2=2-15-2=-15$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;3]$, hiệu hai hàm: $(x^2-2x-3)-(x-3)=x^2-3x=x(x-3)\le 0$. Diện tích $S={\int }_0^3|x^2-3x|dx=-{\int }_0^3(x^2-3x)dx=-{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]}_0^3=-\left(9-\frac{27}{2}\right)=\frac{9}{2}$. Khớp với đáp án A trong bảng mã đề 1201.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_2^{8}f(x)dx={\int }_2^{5}f(x)dx+{\int }_5^{8}f(x)dx=2+7=9\ne 10$ → Sai. b) Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_5^{8}f(x)dx=F(8)-F(5)=7$ → Đúng. c) ${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-3+(8-5)=7\ne 5$ → Sai. d) ${\int }_2^8(3x^2+x)dx=\left(x^3+\frac{x^2}{2}\right){|}_2^8=(512+32)-(8+2)=534$, nên ${\int }_2^8[3x^2+x-f(x)]dx=534-9=525$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{8}f(x)dx=2+7=9\ne 10$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton–Leibniz: ${\int }_5^{8}f(x)dx=F(8)-F(5)=7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-3+3=7\ne 5$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^8(3x^2+x)dx=534$ và ${\int }_2^{8}f(x)dx=9$, nên kết quả $534-9=525$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-2x=2-x\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Trên $[-1;2]$, đường $y=2-x$ nằm trên đường $y=x^2-2x$. Diện tích: $$S={\int }_{-1}^2\left[(2-x)-(x^2-2x)\right]dx={\int }_{-1}^2(-x^2+x+2)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-1}^2$$ Tại $x=2$: $-\frac{8}{3}+2+4=\frac{10}{3}$; tại $x=-1$: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=-\frac{7}{6}$. Vậy $S=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=4,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,5.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: $I={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(1)=9-(-2)=11$. Vậy $I=11$, khớp đáp án B (đáp án của đề 1002, câu 5 là B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: ${\int }_4^{8}f(x)dx={\int }_4^{5}f(x)dx+{\int }_5^{8}f(x)dx=3+7=10$. b) Sai: ${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-2+(8-5)=8\ne 6$. c) Sai: theo công thức Newton-Leibniz, $F(8)-F(5)={\int }_5^{8}f(x)dx=7\ne 3$. d) Đúng: ${\int }_4^8(3x^2+x)dx=\left(x^3+\frac{x^2}{2}\right){|}_4^8=(512+32)-(64+8)=472$, nên $472-{\int }_4^{8}f(x)dx=472-10=462$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_4^{8}f(x)dx={\int }_4^{5}f(x)dx+{\int }_5^{8}f(x)dx=3+7=10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-2+3=8\ne 6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(8)-F(5)={\int }_5^{8}f(x)dx=7\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_4^8(3x^2+x)dx=472$; $472-10=462$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+2x=x+6\iff x^2+x-6=0\iff x=-3$ hoặc $x=2$. Trên $[-3;2]$ ta có $x+6\ge x^2+2x$. Diện tích: $$S={\int }_{-3}^2\left(x+6-x^2-2x\right)dx={\int }_{-3}^2(6-x-x^2)dx={\left[6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_{-3}^2$$ $$=(12-2-\frac{8}{3})-(-18-\frac{9}{2}+9)=\frac{22}{3}-(-\frac{27}{2})=\frac{125}{6}\approx 20,8333$$ Vậy $S\approx 20,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$:
- A đúng: tích phân trên đoạn suy biến ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$.
- B đúng: theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
- C đúng: tính chất đổi cận ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.
- D sai: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, không phải $f(b)-f(a)$ (nói chung $F\ne f$).
Vậy khẳng định sai là D, trùng đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_{2025}^{2026}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(2026)-f(2025)$. Vì $f(2025)-f(2026)=-2008$ nên $f(2026)-f(2025)=2008$. Do đó ${\int }_{2025}^{2026}\frac{1}{4}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\cdot 2008=502$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 1: 502).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cơ bản của tích phân: ${\int }_{2025}^{2026}{f}^{\prime }(x)dx=f(2026)-f(2025)$. Vì $f(2025)-f(2026)=2008$ nên $f(2026)-f(2025)=-2008$. Do đó ${\int }_{2025}^{2026}\frac{1}{4}{f}^{\prime }(x)dx=\frac{1}{4}\cdot (-2008)=-502$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-502).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1], hàm $y=2x^2-x=x(2x-1)$ đổi dấu tại $x=\frac{1}{2}$ (âm trên $(0;\frac{1}{2})$, dương trên $(\frac{1}{2};1)$), nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=2x^2-x$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ là $S={\int }_0^1\left|2x^2-x\right|dx$. Vậy đáp án C, khớp với mã đề 1211 (Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục $Ox$ nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần đó là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm dưới trục $Ox$ nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$, tương ứng phương án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm phía trên trục $Ox$ nên ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ và diện tích phần đó là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$ và diện tích phần đó là $-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$, trùng với đáp án C (khớp đáp án nguồn: mã đề 1121, câu 4 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên $[-1;0]$ đồ thị $f(x)$ nằm trên trục hoành tạo hình $(K)$ với diện tích 2, nên ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=2$. Trên $[0;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành tạo hình $(H)$ với diện tích 11, nên ${\int }_0^{2}f(x)dx=-11$. Do đó ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{2}f(x)dx=2+(-11)=-9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton - Leibniz: ${\int }_1^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(3)-f(1)=-3-(-5)=2$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 12: C).