Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Để chuẩn bị cho lễ hội, một đơn vị thi công dựng một cổng chào dạng vòm Parabol có chiều cao $4\text{ m}$ và chiều rộng chân cổng là $4\text{ m}$. Ở chính giữa cổng, người ta thiết kế một lối đi hình chữ nhật cao $2\text{ m}$ và rộng $2\text{ m}$. Phần diện tích mặt trước của cổng Parabol (sau khi đã trừ lối đi hình chữ nhật) được chia thành $8$ lớp ngang, mỗi lớp cao $0,5\text{ m}$ để ốp tấm nhôm Alu trang trí có màu khác nhau (như bản vẽ thiết kế hình bên dưới).

Đơn giá thi công lắp tấm nhôm Alu cho cổng được tính như sau:
- Lớp dưới cùng có giá là $400$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$.
- Càng lên cao, giá thi công mỗi lớp tiếp theo tăng thêm $50$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ so với lớp ngay dưới nó.
Tính tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) ốp Alu cho phần diện tích còn lại của cổng sau khi đã loại bỏ lối đi (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Cho ${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}(3\tan x+2\cot x{)}^{2}dx=a+b\frac{\sqrt{3}}{3}+c\frac{\pi }{12}$ (*). Biết rằng tồn tại duy nhất bộ ba số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn (*). Tổng $T=a+b+c$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=a;x=b$ với $a<b$, thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(a\le x\le b)$ là một hình phẳng có diện tích bằng $S(x)$, $S(x)$ là một hàm liên tục trên $[a;b]$. Thể tích vật thể được tính bằng công thức

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x=6$, ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=2$. Giá trị của biểu thức ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho ${\int }_1^{3}f(x)dx=5$ và ${\int }_1^{3}g(x)dx=2$. Tính $I={\int }_1^3[f(x)-g(x)]dx$.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn ${\int }_{-2}^{1}f(x)\text{d}x=2$. Tính ${\int }_{-2}^1(1+f(x))\text{d}x$.

Ta có ${\int }_{-1}^1|e^x-1|dx=ae+b{e}^{-1}+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Tính giá trị của biểu thức $a+b+c$.

Bác Tuấn trang trí bức tường hình vuông $ABCD$ có $AB=4\text{ m}$ như hình vẽ bằng cách sơn màu. Trong đó, bốn đường cong $AQB,APD,BEC,CFD$ đều là đường parabol có các đỉnh lần lượt là $Q,P,E,F$. Biết rằng trục đối xứng của mỗi Parabol trùng với một trục đối xứng của hình vuông $ABCD$. Cho biết $OE=OF=OP=OQ=1\text{ m}$. Phần diện tích giới hạn bởi bốn đường Parabol nêu trên (phần gạch chéo) được sơn màu đỏ với chi phí $500$ nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Phần diện tích còn lại của bức tường được sơn màu trắng với chi phí $300$ nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Tính tổng số tiền (đơn vị: nghìn đồng) bác Tuấn cần để hoàn thành việc sơn bức tường đó. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{4}{x}^3+x$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $P(2;f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta :y=-x+3$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $OR$. Giá trị của $B-A$ là

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $(H)$ là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ và trục $Ox$.



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Nếu ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$ và ${\int }_2^{5}f(x)dx=-1$ thì ${\int }_1^{5}f(x)dx$ bằng

Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx=a+b\ln c$, với $a,b,c\in \mathbb{Z}$, $c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Hướng tới chuỗi sự kiện văn hóa và du lịch năm $2026$ tại Điện Biên, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa Ban khổng lồ phát sáng đặt tại Quảng trường 7/5. Bông hoa được thiết kế gồm $5$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tản sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $15\text{ cm}$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình là: $(P_1):y=-x^2+4x$ và $(P_2):y=x^2-2x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tản sáng này là $40$ triệu đồng cho mỗi $1{\text{ m}}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $5$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

Cho hàm số $f(x)=x^3$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $P(2;f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta :y=-x+5$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và trục hoành. Tính giá trị của $B-A$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, biết ${\int }_0^{9}f(x)dx=9$ và $F(0)=3$. Tính $F(9)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ là hàm số $y=F(x)$. Hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:



Biết diện tích hai phần gạch chéo $S_1;S_2$ lần lượt là 8 và 20. Cho $F(4)=7$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong mặt phẳng $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x-3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=4$ được xác định bằng công thức

Câu 1. Một bảng quảng cáo được minh hoạ bằng phần được tô màu như hình bên, đơn vị trên các trục đo bằng mét. Biết đường cong là một parabol có đỉnh $I(5;0)$ và $OABC$ là hình chữ nhật. Tính diện tích của bảng quảng cáo theo mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét vuông).

Câu 6. Cho hàm số $f(x)=2^{x^2}$ và hàm số $g(x)=\sqrt{{\log }_{2}x}$. Giả sử $S={\int }_1^{20}f(x)dx+{\int }_2^{2^{400}}g(x)dx$ được viết dưới dạng $S=a\cdot 2^b-c$, với $b$ là số nguyên và $a,c$ là các số nguyên tố. Tính $a+b+c$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$ bằng