Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Cho các số phức $z,w,u$ thỏa mãn $|z-4+2i|=|2z+\bar{z}|$, $\frac{w-8-10i}{w-6-10i}$ là số thuần ảo và $|u+1-2i|=|u-2+i|$. Giá trị nhỏ nhất của $T=|u-z|+|\bar{u}-\bar{w}|$ thuộc khoảng nào sau đây?

Trên mặt phẳng tọa độ, số phức $z$ thỏa mãn $(1+2i)z+3-4i=0$ có điểm biểu diễn là

Trong không gian $Oxyz$, có một nguồn sáng phát ra từ điểm $S(1;1;5)$ theo mọi hướng và một tấm bìa chắn sáng hình tròn $(C)$ có tâm $I(3;3;7)$ bán kính bằng $2$ nằm trên mặt phẳng có phương trình $(\alpha ):x+y+z-13=0$. Dưới nguồn sáng, bóng của $(C)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là một hình phẳng có diện tích bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
[IMAGE_1]

Trên tập hợp số phức, cho phương trình $z^2+az+b=0$ (với $a,b$ là số thực). Biết rằng hai số phức $w+1+i$ và $2w-1+5i$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính tổng $a+b$.

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z-i|=2$. Biết rằng biểu thức $P=|z+3i|+2|z-5-i|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Khi đó, giá trị của tổng $x+y$ bằng

Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(5;0;5)$ đến vị trí $B(10;10;3)$ và hạ cánh tại vị trí $M(a;b;0)$. Giá trị của $a+b$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần chục)?
[IMAGE_1]

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Để theo dõi hành trình của hai khinh khí cầu, người ta chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía Nam, trục $Oy$ hướng về phía Đông và trục $Oz$ hướng thẳng lên trời (đơn vị đo lấy theo kilômét). Vào lúc 9 giờ sáng, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía Đông và $2\text{ km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía Bắc và $1\text{ km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{ km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Vị trí người quan sát đứng lúc đó là $M(a;b;c)$. Tính tổng $32a+60b+5c$.

Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất
thì phần ảo bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $10\text{ km}$), hai khinh khí cầu $A$ và $B$ bay với vectơ vận tốc lần lượt là ${\vec{v}}_a=(1;2;0)$ và ${\vec{v}}_b=(-2;3;0)$ (đơn vị là $\text{km/giờ}$). Tại thời điểm $t=0$, vị trí của khinh khí cầu $A$ là $M(5;4;2)$ và vị trí của khinh khí cầu $B$ là $N(6;5;3)$. Hai khinh khí cầu sẽ bay trong 10 giờ tiếp theo và dừng lại.

Trong không gian $Oxyz$, mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, có hai trạm phát sóng trên không: trạm $A$ đặt trên không tại vị trí $A(1;1;3)$, trạm $B$ đặt trên không tại vị trí $B(10;13;6)$. Trên mặt đất người ta cần đặt hai trạm thu tín hiệu $M$ và $N$ sao cho khoảng cách giữa hai trạm thu là cố định: $MN=5$ và tổng chiều dài dây nối từ trạm $A$ đến $M$ và từ trạm $B$ đến $N$ là ngắn nhất. Khi đó, tổng hoành độ hai điểm $M$ và $N$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ (mỗi đơn vị trên trục tương ứng $1\text{ km}$), tại thời điểm $8$ giờ sáng, hai máy bay A và B có vị trí và lộ trình chuyển động như sau:
- Máy bay A: Đang ở vị trí $M(0;0;9)$, bay thẳng đều theo hướng đến điểm $N(1200;0;9)$ với tốc độ hành trình $v_1=800\text{ km/h}$.
- Máy bay B: Đang ở vị trí $P(103;-97;12)$, bay thẳng đều theo hướng đến điểm $Q(703;103;12)$ với tốc độ hành trình $v_2=200\sqrt{10}\text{ km/h}$.

Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay A và máy bay B trong quá trình bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị: km).

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ với $AB=6,AD=8$ và $DH=10$. Gọi điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AF$ và điểm $I$ thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Khi $IM+IG$ nhỏ nhất thì điểm $I$ cách hai đường thẳng $BA$ và $BC$ tương ứng bằng $a$ và $b$. Giá trị của biểu thức $P=3a+6b$ bằng bao nhiêu?

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TPHCM theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia $Ox;Oy;Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800\text{ km/h}$. Mười phút sau máy bay B đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $O{x}^{\prime };O{y}^{\prime };Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900\text{ km/h}$ (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30'.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(5;0;2),B(5;10;4)$. Các điểm $M,N$ di động trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho độ dài $MN$ bằng 2. Tổng $AM+BN$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết bị liên lạc. Tại thời điểm cuối cùng trước khi mất liên lạc con tàu, radar của trung tâm phòng chống lụt bão xác định được tàu ở vị trí $T(60;75;0)$ trong hệ $Oxyz$ mà mỗi đơn vị trên trục tương ứng có độ dài $1\text{ km}$. Đội cứu hộ đã ngay lập tức dùng trực thăng cứu hộ, sau 2 phút trực thăng ở vị trí $A(0;0;2)$. Trong điều kiện bình thường (không gió) động cơ máy bay đẩy được máy bay bay với tốc độ tối đa $400\text{ km/h}$. Lúc này, sức gió mạnh sẽ đẩy máy bay với vận tốc $50\text{ km/h}$ và hướng theo ${\vec{v}}_1=(4;3;0)$. Động cơ trực thăng đẩy máy bay bay với vận tốc $n\text{ km/h}$, hướng theo ${\vec{v}}_2=(a;b;0)$. Một chuyên gia cứu hộ ở trung tâm phân tích được gió và sóng biển đẩy con tàu đi với vận tốc $20\text{ km/h}$ và cũng hướng theo ${\vec{v}}_1=(4;3;0)$ nên đã sử dụng phương án tối ưu, cho máy bay bay từ $A$ hướng đến vị trí có thể gặp được con tàu sớm nhất. Tính từ thời điểm mất liên lạc con tàu, hãy tính thời gian sớm nhất máy bay tới được vị trí con tàu biết thời gian hạ cánh từ độ cao $2\text{ km}$ xuống mặt biển của máy bay là 1 phút (giả định để đảm bảo an toàn, máy bay cất và hạ cánh theo phương thẳng đứng đồng thời có cơ chế để cân bằng sức gió khi đó). (tính theo đơn vị phút và làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(4;5;12)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét?

Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong $30$ phút. Nếu đến $N$ máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau $10$ phút tiếp theo là $Q(1400;800;16)$. Biết một khẩu pháo ở tọa độ vị trí điểm $E(100;150;9,5)$ được bắn ra với vận tốc không đổi gấp $5$ lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí $N$. Sau bao nhiêu phút kể từ khi máy bay bay từ $M$ thì người điều khiển pháo phải bắn?

Dự án Hyperloop là các sáng kiến phát triển một hệ thống vận tải siêu tốc, hoạt động bằng cách sử dụng các cabin di chuyển trong các ống chân không, giúp giảm ma sát và đạt được tốc độ cao hơn nhiều so với các phương tiện giao thông truyền thống. Dự án này đang được phát triển bởi các công ty công nghệ và các tổ chức nghiên cứu và thử nghiệm nhằm đưa công nghệ Hyperloop vào thực tế trong tương lai gần. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một cabin chuyển động với tốc độ không đổi $100\text{ m/s}$ từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;0)$. Biết rằng cabin chuyển động cùng hướng với vectơ $\vec{u}$ và cabin đi qua điểm $B$ có hoành độ bằng $9010$. Hỏi sau bao nhiêu phút từ vị trí điểm $A$ thì cabin này đến vị trí điểm $B$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*?

Câu 5. Mỗi căn nhà trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, với hệ trục toạ độ $Oxyz$ thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), có $A^{\prime }(240;450;0)$ và $B^{\prime }(120;450;300)$. Biết chi phí lát gạch nền nhà là $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm hai mái nhà là $700.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm mặt trước và mặt sau nhà là $600.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí làm mỗi căn nhà là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 3. Trong một dự án phủ sóng viễn thông cho vùng cao, các kỹ sư cần lắp đặt một trạm phát sóng trên một sườn núi. Qua khảo sát, sườn núi này được mô hình hóa trong hệ tọa độ $Oxyz$ bằng mặt phẳng $(P):x+y-4z-4=0$ (với $z\ge 0$, đơn vị trên các trục là 100 m). Trạm phát sóng có cột ăng-ten cao 100m, được dựng thẳng đứng (song song với trục $Oz$) với chân cột $H(x_H;y_H;z_H)$ nằm trên sườn núi $(P)$. Thiết bị phát tín hiệu đặt tại đỉnh $S$ của cột có bán kính phủ sóng tối đa là $100\sqrt{54}\text{ m}$. Dưới chân núi có một khu dân cư nhỏ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Để đảm bảo sóng ổn định và bao phủ toàn bộ khu vực này, các kỹ sư tính toán yêu cầu hai vị trí trọng yếu là $A(-3;1;0)$ và $B(1;-1;0)$ phải nằm ở vạch ranh giới cuối cùng của vùng phủ sóng. Tính giá trị $T=x_H+y_H+z_H$.