Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh 3 cm.
a) Sai. Vì $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng, cùng độ dài), góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ là góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}{|}^2=9$, $|\overrightarrow{AC}|=3\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{AB}|=3$, nên $\cos =\frac{9}{3\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → Sai.
b) Đúng. Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
c) Đúng. $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ vì $ABCD$ là hình bình hành.
d) Đúng. $A{C}^{\prime }$ là đường chéo hình lập phương cạnh 3: $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=3\sqrt{3}$ cm.
Kết quả S, Đ, Đ, Đ khớp đáp án mã đề 102 (Phần II, Câu 4: SĐĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ thỏa $\cos =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{9}{3\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên góc bằng $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp với ba vectơ cùng xuất phát $A$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ vì $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là các hình bình hành.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^{\prime }$ là đường chéo hình lập phương cạnh 3: $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=3\sqrt{3}$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}\perp \vec{b}$ nên $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$. Khi đó $(\vec{a}-\vec{b})(2\vec{a}+\vec{b})=2{\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2=2|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=2\cdot 36-16=72-16=56$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (56).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án với quy tắc hiệu vectơ: $\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZY}$.
- A: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}$. Vì $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ nên A sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ nên B sai.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$. Hai vế bằng nhau, mệnh đề đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, còn $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$ nên D sai.
Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh 3 cm.
a) Vì $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ là góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông $ABCD$, bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → Sai.
b) $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AB$ cùng hướng và bằng độ dài, nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ → Đúng.
c) Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng.
d) $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ cm → Đúng.
Kết quả SĐĐĐ khớp bảng đáp án mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông $ABCD$ bằng $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ song song, cùng hướng và bằng độ dài với $\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$:
- A sai: $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{D{D}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}$ (cùng hướng, không đối nhau), nên $\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{D{D}_1}=2\overrightarrow{A{A}_1}\ne \vec{0}$.
- B đúng: quy tắc hình bình hành trên mặt phẳng $(ABCD)$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$.
- C đúng: quy tắc ba vectơ trong hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$.
- D đúng: $BC\parallel A_1{D}_1$ (vì $BC=AD=A_1{D}_1$ cùng hướng với $AD$), nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A_1{D}_1}$.
Vậy đẳng thức sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khối lượng riêng của nước là 1 kg/lít nên chai nước 1,5 lít có khối lượng m = 1,5 kg. Độ lớn lực hấp dẫn: P = mg = 1,5 · 9,8 = 14,7 (N).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$ cạnh $2a$, tam giác $ADC$ đều nên góc giữa $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DC}$ là góc $120°$ (vì hai vectơ cùng xuất phát từ điểm khác nhau: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DC}$, góc giữa chúng bằng $180°-60°=120°$). Do đó $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DC}=|AD|\cdot |DC|\cdot \cos 120°=2a\cdot 2a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-2a^2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông ABCD cạnh a. a) $BD=a\sqrt{2}\ne 2a$ → Sai. b) Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}=-a^2\ne a^2$ → Sai. d) Gọi $G$ là giao hai đường chéo (trọng tâm bộ 4 điểm), $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$, nên $T=4MG\ge 0$, min bằng $0$ khi $M=G$, không phải $2025a$ → Sai. Khớp đáp án chính thức SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường chéo hình vuông cạnh a có độ dài $a\sqrt{2}$, không bằng $2a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành với đỉnh B: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}=-|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BD}|\cos 45^0=-a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-a^2\ne a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $G$ là giao hai đường chéo: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$, nên $T=4MG\ge 0$, giá trị nhỏ nhất bằng $0$ khi $M\equiv G$, không phải $2025a$.

Lời giải:



Ta có: $\overrightarrow{KA}-3\overrightarrow{KB}=\vec{0}\iff \overrightarrow{KA}=3\overrightarrow{KB}$

Suy ra: $\overrightarrow{KA}$, $\overrightarrow{KB}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{KA}\right|=3\left|\overrightarrow{KB}\right|$ (0,25)

(Giải thích cách khác đúng vẫn tính điểm) (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.
a) Theo quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$. Đúng.
b) $|\overrightarrow{BD}|=BD=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông), không bằng $2a$. Sai.
c) Góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là $135^{\circ }$ (vì $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}$), nên $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{DB}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-a^2\ne a^2$. Sai.
d) Gọi $O$ là tâm hình vuông, ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$, nên $T=4|\overrightarrow{MO}|\ge 0$, đạt giá trị nhỏ nhất $T=0$ khi $M\equiv O$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $0$, không phải $2025a$. Sai.
Kết quả khớp đáp án chính thức (Phần 2, Câu 2: D-S-S-S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{BD}|=a\sqrt{2}\ne 2a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{DB}=a\cdot a\sqrt{2}\cos 135^{\circ }=-a^2\ne a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vectơ bằng $4\overrightarrow{MO}$ nên $T_{\min }=0$ khi $M$ là tâm hình vuông, không phải $2025a$.

Lời giải:



Ta có: $\overrightarrow{KA}-3\overrightarrow{KB}=\vec{0}\iff \overrightarrow{KA}=3\overrightarrow{KB}$

Suy ra: $\overrightarrow{KA}$, $\overrightarrow{KB}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{KA}\right|=3\left|\overrightarrow{KB}\right|$ (0,25)

(Giải thích cách khác đúng vẫn tính điểm) (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
a) O là tâm hình vuông nên O là trung điểm AC, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ → đúng.
b) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$ → đúng.
c) $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc $\widehat{ABC}=90^{\circ }$ (góc của hình vuông), không phải $30^{\circ }$ → sai.
d) $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}$, và $BD$ là đường chéo hình vuông cạnh $a$ nên $|\overrightarrow{BD}|=a\sqrt{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc $\widehat{ABC}=90^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}$, đường chéo hình vuông nên độ dài bằng $a\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FE}$ (vì $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$... chứng minh trực tiếp như sau):

Cách 1: Với mọi điểm, ta có $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$ và $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EH}$. Do đó:
$$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EH})+(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF})=(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EG})+\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF},$$
vì $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EG}=\vec{0}$.

Cách 2: Ta có $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FH}$ và $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HF}$. Suy ra:
$$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FH})+(\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HF})=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}+(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HF})=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF},$$
vì $\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HF}=\vec{0}$.

Vậy $\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}$ với mọi vị trí của 4 điểm $E,F,G,H$ (đpcm).

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{KP}$
$\iff \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{KM}=\vec{0}$
$\iff \overrightarrow{MM}=\vec{0}$ (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$ là giao hai đường chéo.
a) Đúng: $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$.
b) Sai: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$, không phải $\overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}$).
c) Đúng: tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $45^{\circ }$.
d) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt{2}\ne 2a$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{BD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, độ dài bằng $a\sqrt{2}\ne 2a$.

$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}$
$\iff \overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\vec{0}$
$\iff \overrightarrow{GG}=\vec{0}$ (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$.
a) $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$: Đúng.
b) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$: Đúng.
c) $△ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=BC=a$, góc $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}=90^{\circ }\ne 30^{\circ }$: Sai.
d) $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông): Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}=90^{\circ }$ vì $△ABC$ vuông cân tại $B$, không phải $30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ nên độ dài bằng $AC=a\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$:
- A sai: Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $\left(\vec{a},\vec{b}\right)=0^{\circ }$ (cùng chiều) hoặc $180^{\circ }$ (ngược chiều), không phải luôn là $180^{\circ }$.
- B đúng: Nếu tồn tại $k\in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$ thì theo định nghĩa hai vectơ cùng phương, $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
- C sai: Đẳng thức $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|$ chỉ xảy ra khi $\vec{a},\vec{b}$ cùng chiều; nói chung chỉ có bất đẳng thức $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|\le \left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|$.
- D sai: $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ nghĩa là $\vec{a}\perp \vec{b}$ (hoặc một vectơ bằng $\vec{0}$), không suy ra $\vec{a}=-\vec{b}$.
Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 4101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\vec{a}+2\vec{b}{)}^2={\vec{a}}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4{\vec{b}}^2$. Với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=5$ thì ${\vec{a}}^2={\vec{b}}^2=25$, và $\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot 5\cdot \cos 120^{\circ }=25\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{25}{2}$. Do đó $(\vec{a}+2\vec{b}{)}^2=25+4\cdot (-\frac{25}{2})+4\cdot 25=25-50+100=75$. Kết quả trùng với đáp án D của đề.