Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{OC}$ nằm trên đường thẳng đường kính $CF$. Các vecto có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ là: các vecto nằm trên đường thẳng $CF$ là $\overrightarrow{CF},\overrightarrow{FC}$; các vecto trên hai cạnh song song với $CF$ là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{ED}$. Tổng cộng 6 vecto (không kể vecto - không). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, đường thẳng $OC$ cũng đi qua đỉnh $F$ (vì $C$ và $F$ là hai đỉnh đối nhau qua tâm), nên phương của $\overrightarrow{OC}$ là phương của đường thẳng $CF$. Các đoạn thẳng nối hai đỉnh của lục giác và song song (cùng phương) với $CF$ là: $CF$, $AB$, $DE$. Với mỗi đoạn thẳng có 2 vecto (hai chiều), ta được các vecto khác vecto - không cùng phương với $\overrightarrow{OC}$: $\overrightarrow{FC}$, $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{ED}$, $\overrightarrow{DE}$ — tổng cộng 6 vecto. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1011, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp, tổng ba vectơ cạnh xuất phát từ đỉnh D' của hình hộp bằng vectơ đường chéo đi từ D' đến đỉnh đối diện: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{D^{\prime }B}$. Cụ thể: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), và $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{D^{\prime }D}$ nên $\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }B}+2\overrightarrow{D^{\prime }D}$... xét lại trực tiếp: $\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}$; cách đúng là dùng quy tắc hình hộp với ba cạnh $D^{\prime }{A}^{\prime },D^{\prime }{C}^{\prime },D^{\prime }D$ cho đường chéo $D^{\prime }B$ (đỉnh đối diện của D' là B). Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }B}$, khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 2, mã đề 1002: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (mã đề 1203), tứ diện ABCD với M trung điểm AD, N trung điểm BC, I trung điểm MN.
a) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=(\vec{B}-\vec{A})-(\vec{D}-\vec{C})=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}$. Mặt khác $2\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}-\frac{\vec{A}+\vec{D}}{2}$ nên $2\overrightarrow{MN}=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{MN}$, không phải $2\overrightarrow{NM}$ (vì $2\overrightarrow{NM}=-2\overrightarrow{MN}$). Khẳng định a) SAI.
b) Vì M là trung điểm AD: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM}$; vì N là trung điểm BC: $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IN}$. Cộng lại: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}=2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MI})=\vec{0}$ vì I là trung điểm MN. ĐÚNG.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\vec{B}-\vec{A}-\vec{D}+\vec{C}$ và $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}+\vec{B}$, hai vế bằng nhau. ĐÚNG.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{B}-\vec{A}+\vec{D}-\vec{C}$ và $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\vec{D}-\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}$, hai vế bằng nhau. ĐÚNG.
Kết quả SĐĐĐ khớp bảng đáp án mã 1203 (Câu 4: SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}=2\overrightarrow{MN}$, còn $2\overrightarrow{NM}=-2\overrightarrow{MN}$, nên đẳng thức $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{NM}$ SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM}$, $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IN}$; cộng lại $2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}=\vec{0}$ vì I là trung điểm MN. ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\vec{B}-\vec{A}-\vec{D}+\vec{C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$. ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{B}-\vec{A}+\vec{D}-\vec{C}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$. ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác A'B'C' nên $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, ta có: $$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}=\vec{a}+\frac{1}{3}\left(\vec{b}+\vec{c}\right).$$ Kết quả trùng với đáp án B và với bảng đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1201: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$. Do đó $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$, cùng hướng và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$), nên $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$ (quy tắc ba điểm). Vậy $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$, khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 10, Đề 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì cạnh hình lập phương bằng $a$ nên $|\overrightarrow{AB}|=a$. B đúng vì $G$ là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G{D}^{\prime }}=\vec{0}$. D đúng vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. C sai vì $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ cùng hướng với $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (đều hướng lên), còn $\overrightarrow{A^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ hướng xuống, nên $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A^{\prime }A}$. Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overline{AB}=\overline{DC}$ và $\overline{CB}=\overline{DA}$. Ta có $\overline{AB}+\overline{CA}=\overline{CB}=\overline{DA}$. Do đó $\overline{SD}+\overline{AB}+\overline{CA}=\overline{SD}+\overline{DA}=\overline{SD}+\overline{DA}=\overline{SA}$ (quy tắc ba điểm: $\overline{SD}+\overline{DA}=\overline{SA}$). Vậy đáp án là $\overline{SA}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD có cạnh $AB=\sqrt{10}$, tam giác ABC đều nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 60^{\circ }=\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}\cdot \frac{1}{2}=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 001: 5).

Chọn B.

Mệnh đề sai là: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai Vectơ đối nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SM}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, suy ra $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{SM}$, do đó $3\overrightarrow{SG}=\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}$. Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}$, khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (đề 1001, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\vec{a}}^2=16$, ${\vec{b}}^2=9$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=10$.

$\vec{x}\cdot \vec{y}=(\vec{a}-2\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})={\vec{a}}^2-3\vec{a}\cdot \vec{b}+2{\vec{b}}^2=16-30+18=4$.

$|\vec{x}{|}^2=16-4\cdot 10+4\cdot 9=12\Rightarrow |\vec{x}|=2\sqrt{3}$; $|\vec{y}{|}^2=16-2\cdot 10+9=5\Rightarrow |\vec{y}|=\sqrt{5}$.

$\cos \alpha =\frac{4}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{15}}$. Khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét phương án C: $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc hình bình hành vì $ABCD$ là hình bình hành). Khi đó $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, do đó $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$. Vậy khẳng định C đúng.

Kiểm tra các phương án khác:
- A: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$, nên tổng bằng $2\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{D{B}^{\prime }}$ (sai).
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (sai).
- D: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, nên tổng bằng $2\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (sai).

Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $SM$ và $\overrightarrow{SM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{SG}$. Do đó $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{SC}$. Mặt khác $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{GC}$... kiểm tra trực tiếp: với $S$ làm gốc, $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}$ là tính chất quen thuộc của trọng tâm (vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{SG}$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=4+16+2\cdot 2\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=20+8=28$. Vậy $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ (giao hai đường chéo). Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $O$ là hình chiếu của $S$ trên mặt đáy và $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, do đó khẳng định A đúng. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}\ne \vec{0}$ (vì $S\ne O$), nên khẳng định B sai. Khẳng định C đúng vì $ABCD$ là hình vuông: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. Khẳng định D đúng vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{AS}$. Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (hai vectơ cùng phương, cùng chiều, cùng độ dài do $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$). Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ theo quy tắc tam giác. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (MD0911, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ với A bên phải, B trên phải, C trên trái, D bên trái, E dưới trái, F dưới phải. Đặt tọa độ: $A(1;0),B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),C(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),D(-1;0),E(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),F(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),O(0;0)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$. Kiểm tra: $\overrightarrow{FO}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{OC}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{ED}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{AB}$. Các phương án khác sai vì: A có $\overrightarrow{FD}=(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\ne \overrightarrow{AB}$; B có $\overrightarrow{AC}=(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\ne \overrightarrow{AB}$; C có $\overrightarrow{BO}=(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})\ne \overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án là D, khớp đáp án nguồn (Mã đề 232, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$. b) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\ne 7$. c) Sai: $O$ là tâm hình chữ nhật nên $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, các vectơ không cùng hướng. d) Đúng: $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp BA$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3a Đúng, 3b Sai, 3c Sai, 3d Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ với $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là tâm hình chữ nhật: $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, các vectơ không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp BA$, suy ra $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos \widehat{BAC}=-5\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=-30\cdot \frac{1}{2}=-15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-15).