Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;1;-1)$.
e) Thay $A(1;1;2)$ vào $d$: $x=1+t=1\Rightarrow t=0$, khi đó $y=0\ne 1$. Vậy $A$ không thuộc $d$ → Sai.
f) Vectơ chỉ phương của $d$ là $(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$ → Sai.
g) $\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$ → Đúng.
h) Giải hệ: $1+t=2+s$, $t=1+s$, $-1+2t=1-s$. Từ hai phương trình đầu suy ra $t=1+s$ (thỏa mãn). Thay vào: $-1+2(1+s)=1-s\Rightarrow 1+2s=1-s\Rightarrow s=0,t=1$. Giao điểm là $(2;1;1)$, tồn tại → hai đường cắt nhau → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: e) Sai; f) Sai; g) Đúng; h) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;1;2)$ vào $d$: $t=0$ từ $x=1+t=1$ nhưng khi đó $y=t=0\ne 1$. Vậy $A$ không thuộc $d$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;1;-1)$, tích vô hướng $1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình tham số được $t=1,s=0$, giao điểm $(2;1;1)$ tồn tại duy nhất nên $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, nên côsin của nó không âm. Do đó $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Phương án A thiếu giá trị tuyệt đối; B sai mẫu số (tổng thay vì tích); D sai căn thức. Đáp án khớp với mã đề 103, câu 4: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng d có phương trình tham số x=1+t, y=t, z=-1+2t nên một vectơ chỉ phương là u=(1;1;2). Đúng.
b) Thay t=0 vào d ta được điểm (1;0;-1), nên điểm A(1;0;-1) thuộc d. Đúng.
c) d có vectơ chỉ phương u=(1;1;2) qua điểm (1;0;-1); d' có vectơ chỉ phương u'=(1;1;-1) qua điểm (2;1;1). Giải hệ: 1+t=2+s, t=1+s, -1+2t=1-s. Từ hai phương trình đầu suy ra s=t-1 (phù hợp), thay vào phương trình cuối: -1+2t=1-(t-1)=2-t ⟹ 3t=3 ⟹ t=1, s=0. Vậy d và d' cắt nhau tại điểm (2;1;1), do đó chúng KHÔNG chéo nhau. Mệnh đề 'chéo nhau' là Sai.
d) Ta có u·u' = 1·1 + 1·1 + 2·(-1) = 0, nên d' vuông góc với d. Mệnh đề 'd' không vuông góc với d' là Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d, hệ số của t cho vectơ chỉ phương u=(1;1;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với t=0, d đi qua điểm (1;0;-1) nên A(1;0;-1) thuộc d.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng được t=1, s=0, chúng cắt nhau tại (2;1;1), nên không chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
u·u' = 1+1-2 = 0 nên d' vuông góc với d; mệnh đề 'không vuông góc' sai.

(AI giải đề cho tôi)
d có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;2)$ (theo hệ số của $t$). a) Sai vì $(1;0;2)$ không là vectơ chỉ phương của $d$. b) Với $A(1;1;2)$: từ $y=t=1$ suy ra $x=1+t=2\ne 1$, nên $A\notin d$ → Sai. c) $d^{\prime }$ có $\overrightarrow{u^{\prime }}=(1;1;-1)$ qua điểm $(2;1;1)$. Hệ: $1+t=2+s$, $t=1+s$, $-1+2t=1-s$. Từ hai phương trình sau: $1+2s=1-s\Rightarrow s=0,t=1$, thỏa phương trình đầu. Hai đường thẳng cắt nhau tại $(2;1;1)$ → Đúng. d) $\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn: Đ S Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $y=1\Rightarrow t=1\Rightarrow x=1+t=2\ne 1$, nên $A(1;1;2)\notin d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng được $t=1,s=0$, giao điểm $(2;1;1)$, nên $d,d^{\prime }$ cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=(1)(1)+(1)(1)+(2)(-1)=0$ nên $d\perp d^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay t=0 vào d: (1;0;-1) = A nên A thuộc d → Đúng. b) VTCP của d là (1;1;2) → Đúng. c) VTCP của d' là (1;1;-1), tích vô hướng (1;1;2)·(1;1;-1)=1+1-2=0 nên d ⊥ d'; mệnh đề 'không vuông góc' → Sai. d) d đi qua (1;0;-1), d' đi qua (2;1;1). Giải hệ (1+t;t;-1+2t)=(2+s;1+s;1-s): từ hai phương trình đầu t=1+s; thay vào: -1+2(1+s)=1-s ⟹ 1+2s=1-s ⟹ s=0, t=1, giao điểm (2;1;1). Hai đường thẳng cắt nhau nên không chéo nhau → Sai. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 104: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với t=0, điểm trên d là (1;0;-1)=A nên A thuộc d.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của d có hệ số (1;1;2) nên đó là một VTCP.
c) (AI giải đề cho tôi)
(1;1;2)·(1;1;-1)=1+1-2=0 nên d vuông góc d'; do đó mệnh đề 'không vuông góc' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau tại (2;1;1) (t=1, s=0) nên không chéo nhau.

Đáp án theo bảng HD chấm (đề 103, Phần II Câu 1): S S Đ Đ, tức a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. (Ghi chú: bản gốc in nhãn các ý là e), f), g), h).)
a) Thay tọa độ $A(1;1;2)$ vào phương trình tham số của $d$: từ $y=t=1$ suy ra $x=1+1=2\ne 1$, nên $A$ không thuộc $d$. Sai.
b) Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$. Sai.
c) $\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;1;-1)$; tích vô hướng $\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$. Đúng.
d) Điểm $d^{\prime }$ qua $(2;1;1)$ thuộc $d$ (với $t=1$: $x=2,y=1,z=1$), và hai vectơ chỉ phương không cùng phương, nên $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đề 102, Phần II Câu 2. a) Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$ → Đúng. b) Với $t=0$: $d$ đi qua điểm $(1;0;-1)$, nên $A(1;0;-1)\in d$ → Đúng. c) $d$ đi qua $P(1;0;-1)$ với $\vec{u}=(1;1;2)$; $d^{\prime }$ đi qua $Q(2;1;1)$ với ${\vec{u}}^{\prime }=(1;1;-1)$. Giải $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$: từ hai phương trình đầu $t=1+s$ thỏa mãn, thay vào phương trình thứ ba: $-1+2(1+s)=1-s\iff 1+2s=1-s\iff s=0,t=1$. Vậy $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$, không chéo nhau → Sai. d) $\vec{u}\cdot {\vec{u}}^{\prime }=1+1-2=0$ nên $d^{\prime }\perp d$, do đó khẳng định '$d^{\prime }$ không vuông góc với $d$' → Sai. Kết quả khớp bảng HD chấm: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d$: $x=1+t,y=t,z=-1+2t$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=0$, điểm trên $d$ là $(1;0;-1)=A$, nên $A\in d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ tọa độ của $d$ và $d^{\prime }$: $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$ cho nghiệm $t=1,s=0$, hai đường cắt nhau tại $(2;1;1)$, nên không chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot {\vec{u}}^{\prime }=(1)(1)+(1)(1)+(2)(-1)=0$, nên $d^{\prime }\perp d$; khẳng định 'không vuông góc' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đề 101, Phần II Câu 2. Đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;2)$ và đi qua điểm $(1;0;-1)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua điểm $(2;1;1)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(1;1;-1)$.
a) Sai: vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$.
b) Sai: với $A(1;1;2)$, từ $y=t=1$ suy ra $t=1$ khi đó $x=1+t=2\ne 1$, nên $A\notin d$.
c) Đúng: giải hệ $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$. Từ hai phương trình sau: $-1+2(1+s)=1-s\Rightarrow 3s=0\Rightarrow s=0,t=1$. Kiểm tra: $1+1=2=2+0$ thỏa mãn. Vậy $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$.
d) Đúng: $\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=1\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot (-1)=0$, nên $d^{\prime }\perp d$.
Kết quả khớp bảng HD chấm: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(1;1;2)$: $y=t=1\Rightarrow t=1\Rightarrow x=1+t=2\ne 1$, nên $A\notin d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình tham số: $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$ cho $s=0,t=1$, thỏa mọi phương trình. Vậy $d,d^{\prime }$ cắt nhau tại $(2;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=(1;1;2)\cdot (1;1;-1)=1+1-2=0$, nên $d^{\prime }\perp d$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u_1=(1;-2;-3)$ và $u_2=(-4;1;5)$. Tính $\cos (d_1,d_2)=\frac{|u_1\cdot u_2|}{|u_1||u_2|}=\frac{|-4-2-15|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{42}}=\frac{21}{\sqrt{588}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $30^0$, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-2;-3)$, VTCP của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-4;1;5)$.
$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|1\cdot (-4)+(-2)\cdot 1+(-3)\cdot 5|}{\sqrt{1+4+9}\cdot \sqrt{16+1+25}}=\frac{|-4-2-15|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{42}}=\frac{21}{\sqrt{588}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $30^{\circ }$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 1+2\cdot 1=-1-1+2=0$. Vậy hai vectơ vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$.

Đường thẳng $d_1$ đi qua $M_1(1;2;3)$ có VTCP ${\vec{a}}_1=(1;-1;2)$; $d_2$ đi qua $M_2(1;m;-2)$ có VTCP ${\vec{a}}_2=(2;1;-1)$. Ta có $[{\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2]=(-1;5;3)\ne \vec{0}$ và $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(0;m-2;-5)$. Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi $[{\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2]\cdot \overrightarrow{M_1{M}_2}=0\iff 5(m-2)-15=0\iff m=5$. Chọn đáp án D.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(0;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;2)$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=(2;-6;-4)$.
Tích có hướng $[\overrightarrow{AM},\vec{u}]=((-6)(2)-(-4)(-1);(-4)(1)-(2)(2);(2)(-1)-(-6)(1))=(-16;-8;4)=4(-4;-2;1)$.
Độ dài: $|[\overrightarrow{AM},\vec{u}]|=4\sqrt{16+4+1}=4\sqrt{21}$.
$|\vec{u}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$.
Khoảng cách từ $M$ tới $\Delta$ là:
$d(M,\Delta )=\frac{|[\overrightarrow{AM},\vec{u}]|}{|\vec{u}|}=\frac{4\sqrt{21}}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{14}.$

- a) Đúng.
- b) Sai vì $\frac{1+1}{1}=2\ne \frac{-8+4}{2}=-2$.
- c) Sai vì ${\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=5(1)+(-1)(2)+3(-1)=0$, nên hai đường thẳng vuông góc.
- d) Đúng vì $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(-5;8;11)$ và $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(-3;-5;6)$ có $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]\cdot \overrightarrow{M_1{M}_2}=41\ne 0$.

- a) Đúng.
- b) Đúng vì $\frac{1+1}{1}=\frac{-8+4}{-2}=\frac{8-6}{1}=2$.
- c) Sai vì ${\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=5\cdot 1+1\cdot (-2)+(-3)\cdot 1=0$, nên hai đường thẳng vuông góc với nhau.
- d) Đúng vì $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(-5;-8;-11)$ và $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(-3;-5;6)$ có $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]\cdot \overrightarrow{M_1{M}_2}=-11\ne 0$, suy ra hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ có các vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec{u}}_1=(-2;1;2)$ và ${\vec{u}}_2=(1;1;-4)$. Ta có $\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|{\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2|}{|{\vec{u}}_1|\cdot |{\vec{u}}_2|}=\frac{|-2+1-8|}{\sqrt{4+1+4}\cdot \sqrt{1+1+16}}=\frac{9}{3\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $45^{\circ }$. Chọn đáp án D.

Góc $\phi$ giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$ thỏa mãn $\cos \phi =|\cos ({\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2)|=\frac{|{\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2|}{|{\vec{u}}_1|\cdot |{\vec{u}}_2|}$.

Hai vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(2;1;-1)$ và ${\vec{u}}_2=(4;2;2)$ không cùng phương, đồng thời điểm $(3;1;-2)$ thuộc cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, nên hai đường thẳng cắt nhau.

Hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u}=(1;1;0)$ và ${\vec{u}}^{\prime }=(2;2;1)$. Ta có $\cos (\Delta ,{\Delta }^{\prime })=\frac{|1\cdot 2+1\cdot 2+0\cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}⟹(\Delta ,{\Delta }^{\prime })\approx 19,5^{\circ }$.

Chọn A.
Đường thẳng $d_1$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_1=(-2;4;6)=2(-1;2;3)$.
Đường thẳng $d_2$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_2=(-1;2;3)$.
Nhận thấy ${\vec{u}}_1=2{\vec{u}}_2$, nên $d_1$ song song hoặc trùng với $d_2$.
Lấy điểm $M(1;3;-2)\in d_1$, thay vào phương trình $d_2$:
$\{\begin{array}{l}1-t^{\prime }=1\\ 2+2t^{\prime }=3\\ 3t^{\prime }=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{t}^{\prime }=0\\ t^{\prime }=1/2\\ t^{\prime }=-2/3\end{array}$ (vô nghiệm).
Do đó $M\notin d_2$, suy ra $d_1\parallel d_2$.