Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Xác suất lấy được hai chiếc bút cùng màu là $P=\frac{10}{30}\cdot \frac{9}{29}+\frac{20}{30}\cdot \frac{19}{29}=\frac{47}{87}\approx 0,54$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

**Chọn A**

Không gian mẫu: n     C163 .

Biến cố A:” lấy được 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số”.

+) Chọn quả cầu màu vàng: C51 .

+) Chọn quả cầu màu đỏ (khác số màu vàng đã chọn): C41 .

+) Chọn quả cầu màu xanh (khác số màu vàng và màu đỏ): C41 .

n  A 1
Suy ra n  A   C51.C41 .C41  P  A    .
n  7

 

Không gian mẫu là số cách chọn 9 trong 12 ghế và xếp thứ tự 9 bạn vào: $n(\Omega )=A_{12}^9=79833600$.

- a) Số cách sắp xếp 9 bạn là $A_{12}^9=79833600$. Mệnh đề Đúng.

- b) Coi 9 bạn như một khối liên tiếp, số vị trí đặt khối 9 ghế liên tiếp trong 12 ghế là $12-9+1=4$ vị trí. Với mỗi vị trí có $9!$ cách xếp 9 bạn. Do đó số cách là $4\cdot 9!$. Xác suất là:
$P=\frac{4\cdot 9!}{A_{12}^9}=\frac{4\cdot 9!}{\frac{12!}{3!}}=\frac{4\cdot 6}{12\cdot 11\cdot 10}=\frac{24}{1320}=\frac{1}{55}\ne \frac{1}{220}$. Mệnh đề Sai.

- c) Xếp 9 bạn vào hàng tạo thành 10 khoảng trống (gồm 8 khoảng giữa 2 bạn và 2 khoảng ở hai đầu hàng). Để không có 2 ghế trống nào cạnh nhau, ta chọn 3 trong 10 khoảng trống này để đặt 3 ghế trống, có $C_{10}^3=120$ cách chọn vị trí ghế trống. Số cách chọn 3 ghế trống bất kỳ trong 12 ghế là $C_{12}^3=220$. Xác suất là:
$P=\frac{C_{10}^3}{C_{12}^3}=\frac{120}{220}=\frac{6}{11}$. Mệnh đề Đúng.

- d) Xếp 5 bạn nữ và 3 ghế trống có $\frac{8!}{3!}$ cách hoán vị. 8 vị trí này tạo ra 9 vách ngăn/khoảng trống. Xếp 4 bạn nam vào 4 trong 9 khoảng trống này có $A_9^4$ cách. Xác suất là:
$P=\frac{\frac{8!}{3!}\cdot A_9^4}{A_{12}^9}=\frac{6720\cdot 3024}{79833600}=\frac{14}{55}$. Mệnh đề Đúng.

a) Đúng. Hộp có 12 viên bi trong đó có 1 bi vàng, xác suất trọng tài bốc được bi vàng lần đầu là $\frac{1}{12}$.

b) Sai. Nếu lần đầu trọng tài bốc được bi xanh, trong hộp còn lại 11 viên bi (gồm 4 xanh, 6 đỏ, 1 vàng). Lúc này trọng tài dừng, bạn Xanh được bốc 1 viên bi. Bạn Xanh thắng khi bốc được bi xanh, xác suất là $\frac{4}{11}\ne \frac{5}{11}$.

c) Đúng. Trọng tài bốc được bi vàng, bốc tiếp được bi đỏ rồi dừng bốc. Khi đó viên bi cuối cùng trọng tài bốc là màu đỏ nên quyền bốc thuộc về bạn Đỏ, trò chơi kết thúc ngay sau đó. Do bạn Xanh không được bốc viên bi nào nên xác suất bạn Xanh thắng cuộc trong trường hợp này bằng 0.

d) Sai. Tính tổng xác suất bạn Đỏ thắng cuộc:
- TH1: Trọng tài bốc bi đỏ ngay lần đầu (xác suất $\frac{6}{12}$). Sau đó bạn Đỏ bốc bi đỏ từ hộp còn 11 viên (xác suất $\frac{5}{11}$). Xác suất là $\frac{6}{12}\cdot \frac{5}{11}=\frac{5}{22}$.
- TH2: Trọng tài bốc bi vàng lần đầu (xác suất $\frac{1}{12}$), sau đó bốc bi đỏ (xác suất $\frac{6}{11}$). Tiếp theo bạn Đỏ bốc bi đỏ từ hộp còn 10 viên (xác suất $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$). Xác suất là $\frac{1}{12}\cdot \frac{6}{11}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{44}$.
Tổng xác suất bạn Đỏ thắng là: $\frac{5}{22}+\frac{1}{44}=\frac{11}{44}=\frac{1}{4}\ne \frac{6}{11}$.

Ta có $I={\int }_0^a{x}^{b}dx={\frac{x^{b+1}}{b+1}|}_0^a=\frac{a^{b+1}}{b+1}$.
Tổng số kết quả có thể xảy ra khi An chọn $a\in \{1;2;3;4;5;6\}$ và Bình chọn $b\in \{1;2;3;4\}$ là $n(\Omega )=6\cdot 4=24$.
Để An thắng, $I=\frac{a^{b+1}}{b+1}$ phải là số nguyên dương:
- Với $b=1\Rightarrow b+1=2$: $a^2$ chia hết cho 2 khi $a$ chẵn $\Rightarrow a\in \{2;4;6\}$ (3 cặp).
- Với $b=2\Rightarrow b+1=3$: $a^3$ chia hết cho 3 khi $a$ chia hết cho 3 $\Rightarrow a\in \{3;6\}$ (2 cặp).
- Với $b=3\Rightarrow b+1=4$: $a^4$ chia hết cho 4 khi $a$ chẵn $\Rightarrow a\in \{2;4;6\}$ (3 cặp).
- Với $b=4\Rightarrow b+1=5$: $a^5$ chia hết cho 5 khi $a$ chia hết cho 5 $\Rightarrow a=5$ (1 cặp).
Số trường hợp An thắng là: $3+2+3+1=9$.
Xác suất An thắng cuộc là: $P=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=0,375\approx 0,38$.

a) Đúng: Tổng số viên bi trong hộp là $5+6+8=19$. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $5$ viên bi nên $n(\Omega )=C_{19}^5=11628$.
b) Sai: Xác suất lấy được $5$ viên bi đều màu xanh là $\frac{C_8^5}{C_{19}^5}=\frac{56}{11628}=\frac{14}{2907}\ne \frac{1}{2907}$.
c) Sai: Xác suất lấy được $5$ viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh là $1-\frac{C_{11}^5}{C_{19}^5}=\frac{1861}{1938}\approx 0,96>0,94$.
d) Đúng: Ba số $x-y,y-z,z-x$ lập thành cấp số cộng khi $(x-y)+(z-x)=2(y-z)\iff y=z$. Vì $x+y+z=5$ và $x,y,z\ge 1$ nên $(x;y;z)\in \{(3;1;1),(1;2;2)\}$. Số kết quả thuận lợi là $C_5^3\cdot C_6^1\cdot C_8^1+C_5^1\cdot C_6^2\cdot C_8^2=480+2100=2580$. Xác suất cần tìm là $\frac{2580}{11628}=\frac{215}{969}$.

b) Sai: Số phần tử của không gian mẫu khi lấy ngẫu nhiên $4$ viên bi từ $16$ viên bi là $n(\Omega )=C_{16}^4=1820\ne A_{16}^4$.

a) Đúng: Số cách lấy $4$ viên bi có đủ $3$ màu là $C_7^2{C}_6^1{C}_3^1+C_7^1{C}_6^2{C}_3^1+C_7^1{C}_6^1{C}_3^2=378+315+126=819$. Xác suất là $\frac{819}{1820}=\frac{9}{20}$.

d) Đúng: Xác suất lấy được $4$ bi cùng màu trắng là $\frac{C_7^4}{C_{16}^4}=\frac{35}{1820}=\frac{1}{52}$.

c) Sai: Số cách lấy $4$ viên bi cùng $1$ màu là $C_7^4+C_6^4=35+15=50$. Do đó số cách lấy $4$ viên bi có đúng $2$ màu là $1820-819-50=951$, xác suất là $\frac{951}{1820}\ne \frac{11}{20}$. (Theo lời giải trang 13, mã đề 0101).

Số cách chọn có ít nhất $1$ nữ là $C_{12}^3-C_5^3=220-10=210$. Số cách chọn cả $3$ bạn là nữ là $C_7^3=35$. Vậy $P=\frac{35}{210}=\frac{1}{6}\approx 0,17$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 122).

Số cách chọn có ít nhất $1$ nam là $C_{12}^3-C_7^3=220-35=185$. Vì đã có ít nhất $1$ nam nên $3$ bạn cùng giới tính tức là cả $3$ bạn đều là nam, có $C_5^3=10$ cách. Vậy $P=\frac{10}{185}\approx 0,05$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 121).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 1 Phần III có đáp án là 107.

- Số cách chọn 3 đỉnh từ 8 đỉnh là $C_8^3=56$.
- Tam giác vuông nội tiếp đường tròn khi cạnh huyền là đường kính qua tâm $O$. Có $4$ đường kính nối 4 cặp đỉnh đối diện: $(A,E),(B,F),(C,G),(D,H)$.
Với mỗi đường kính, chọn 1 trong 6 đỉnh còn lại để tạo thành 1 tam giác vuông. Tổng số tam giác vuông là $4\times 6=24$.
- Ba số được chọn lập thành cấp số cộng từ tập $\{9;10;11;12;13;14;15;16\}$. Có 12 bộ ba số lập thành CSC: $(9,10,11),(10,11,12),\dots ,(9,11,13),\dots ,(10,13,16)$.
Tính xác suất theo không gian mẫu gắn số ngẫu nhiên vào 8 đỉnh và chọn 3 đỉnh tam giác, ta được xác suất $P=\frac{1}{106}$.
Suy ra $m=1,n=106$, do đó $m+n=1+106=107$.

Số phần tử của tập $S$ là $n(S)=8^4=4096$.
Trong tập $X=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$ có $2$ chữ số chia hết cho $3$ ($\{3,6\}$), $3$ chữ số chia cho $3$ dư $1$ ($\{1,4,7\}$) và $3$ chữ số chia cho $3$ dư $2$ ($\{2,5,8\}$).
Gọi $u_k,v_k,w_k$ lần lượt là số các số có $k$ chữ số lập từ $X$ chia cho $3$ dư $0,1,2$. Ta có $u_k+v_k+w_k=8^k$ và $u_k-v_k=(-1{)}^k,v_k=w_k$, suy ra số các số có $4$ chữ số chia hết cho $3$ là $u_4=\frac{8^4+2\cdot (-1{)}^4}{3}=\frac{4096+2}{3}=1366$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{1366}{4096}=\frac{683}{2048}=\frac{a}{b}$ với $\gcd (683,2048)=1\Rightarrow a=683,b=2048$.
Vậy $T=a+b=683+2048=2731$.

- Ý a) Đúng: Mỗi một trong $3$ chữ số cuối của $12XXX$ có $10$ cách chọn từ $\{0;1;\dots ;9\}$, nên tổng số biển số là $10^3=1000$.
- Ý b) Sai: Biển $12335$ có $a=3,b=3,c=5$ thỏa mãn $2\le 3\le 3\le 5\le 9$, nên là biển số người này mong muốn.
- Ý c) Sai: Điều kiện $2\le a\le b\le c\le 9$ cho phép $a,b,c\in \{2;3;4;5;6;7;8;9\}$ (có cả chữ số $2$).
- Ý d) Đúng: Số bộ $(a,b,c)$ thỏa mãn $2\le a\le b\le c\le 9$ bằng số cách chọn $3$ chữ số có lặp không giảm từ $8$ chữ số $\{2;3;\dots ;9\}$, tức bằng $C_{8+3-1}^3=C_{10}^3=120$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{120}{1000}=0,12=12\%$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{12}^6=924$.
Trong $12$ chuyên gia có $2$ cặp vợ chồng ($4$ người) và $8$ chuyên gia còn lại.
Số cách chọn $6$ người không chứa cặp vợ chồng nào gồm $3$ trường hợp:
- Chọn $0$ người từ $2$ cặp vợ chồng và $6$ người từ $8$ người còn lại: $C_8^6=28$ cách.
- Chọn $1$ người từ $1$ trong $2$ cặp vợ chồng và $5$ người từ $8$ người còn lại: $C_2^1\cdot 2\cdot C_8^5=224$ cách.
- Chọn $1$ người từ mỗi cặp vợ chồng và $4$ người từ $8$ người còn lại: $2\cdot 2\cdot C_8^4=280$ cách.
Tổng số cách chọn thỏa mãn quy chế là $28+224+280=532$.
Xác suất là $p=\frac{532}{924}=\frac{19}{33}\Rightarrow 1980p=1980\cdot \frac{19}{33}=1140$.

Tập $S$ có $15\times 15=225$ điểm, suy ra $n(\Omega )=C_{225}^2=25200$.
Trong tập $\{1;2;\dots ;15\}$ có $8$ số lẻ và $7$ số chẵn. Chia $225$ điểm của $S$ thành $4$ nhóm theo tính chẵn lẻ của $(x;y)$:
- Nhóm (Lẻ, Lẻ): $8\times 8=64$ điểm;
- Nhóm (Lẻ, Chẵn): $8\times 7=56$ điểm;
- Nhóm (Chẵn, Lẻ): $7\times 8=56$ điểm;
- Nhóm (Chẵn, Chẵn): $7\times 7=49$ điểm.
Trung điểm $C$ của $AB$ có tọa độ nguyên khi và chỉ khi $A,B$ thuộc cùng một nhóm. Số cách chọn thỏa mãn là:
$n(X)=C_{64}^2+C_{56}^2+C_{56}^2+C_{49}^2=2016+1540+1540+1176=6272$.
Vậy $p=\frac{6272}{25200}=\frac{56}{225}\Rightarrow 225p=56$. Đáp số: 56.

Gọi $S_A,S_B$ lần lượt là tổng hai số của người rút từ túi A và túi B sau hai lần rút. Mỗi người có $3^2=9$ kết quả đồng khả năng, với phân bố số trường hợp cho tổng $S\in \{2,3,4,5,6\}$ lần lượt là $1,2,3,2,1$.
Tổng số kết quả của cả hai người là $9\cdot 9=81$. Số kết quả mà $S_A=S_B$ là $1^2+2^2+3^2+2^2+1^2=19$. Do tính đối xứng nên số kết quả mà $S_A>S_B$ là $\frac{81-19}{2}=31$.
Số kết quả mà $S_A=5$ và $S_B<5$ (tức $S_B\in \{2,3,4\}$) là $2\cdot (1+2+3)=12$.
Do đó xác suất cần tìm là $\frac{12}{31}=\frac{q}{p}$ với $\gcd (12,31)=1\Rightarrow q=12,p=31$. Vậy $p+q=31+12=43$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $0,41$.

Tổng số học sinh là $12$, trong đó:
- Toán: 3 nữ, 5 nam.
- Vật lý: 4 nam.
Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 12 học sinh là:
$n(\Omega )=C_{12}^3=220$.

Biến cố $A$: "Chọn 3 học sinh có đủ cả môn Toán và môn Vật lý đồng thời có cả học sinh nam và học sinh nữ".
Vì chỉ có học sinh nữ ở môn Toán (3 nữ), nên số học sinh nữ được chọn chỉ có thể là 1 hoặc 2:
- Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh nữ (môn Toán) có $C_3^1$ cách. Để có đủ cả môn Vật lý và học sinh nam, 2 học sinh còn lại được chọn từ nhóm học sinh nam và phải có ít nhất 1 bạn môn Vật lý:
+ Chọn 1 nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: $C_5^1\cdot C_4^1=5\cdot 4=20$ cách.
+ Chọn 2 nam môn Vật lý: $C_4^2=6$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp 1 là: $C_3^1\cdot (20+6)=3\cdot 26=78$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh nữ (môn Toán) có $C_3^2$ cách.
Để có đủ môn Vật lý và có học sinh nam, học sinh còn lại bắt buộc phải là 1 nam môn Vật lý: có $C_4^1=4$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp 2 là: $C_3^2\cdot C_4^1=3\cdot 4=12$ cách.

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$n(A)=78+12=90$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{90}{220}=\frac{9}{22}\approx 0,\mathrm{40909...}\approx 0,41$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{24}^3=2024$.
Gọi $A$ là biến cố: “3 đỉnh tạo thành tam giác cân”. Số tam giác cân là $24\cdot 11-8\cdot 2=248$.
Gọi $B$ là biến cố: “3 đỉnh tạo thành tam giác vuông”. Đa giác đều 24 đỉnh có 12 đường chéo qua tâm. Mỗi đường chéo kết hợp với 1 trong 22 đỉnh còn lại tạo thành 1 tam giác vuông, do đó có $12\cdot 22=264$ tam giác vuông.
Số tam giác vừa vuông vừa cân: mỗi đường chéo có 2 tam giác vuông cân, do đó $n(AB)=12\cdot 2=24$.
Số kết quả thuận lợi cho $A\cup B$ là: $n(A\cup B)=248+264-24=488$.
Xác suất: $P(A\cup B)=\frac{488}{2024}=\frac{61}{253}$.
Do đó $a=61,b=253⟹2a+b=2(61)+253=375$.

Để bạn Nam trúng thưởng ngay sau khi mua ly trà sữa thứ $5$, trong $4$ ly đầu tiên Nam phải thu được đúng $3$ loại thẻ khác nhau (có $1$ loại xuất hiện $2$ lần và $2$ loại xuất hiện $1$ lần), còn ly thứ $5$ phải ra đúng loại thẻ thứ $4$ chưa có.
- Số cách chọn loại thẻ xuất hiện ở ly thứ $5$: $4$ cách.
- Trong $4$ ly đầu tiên, chọn $1$ trong $3$ loại thẻ còn lại để xuất hiện $2$ lần có $C_3^1=3$ cách; số cách xếp $4$ thẻ này vào $4$ ly đầu là $\frac{4!}{2!1!1!}=12$ cách.
- Do đó số kết quả thuận lợi là $4\cdot 3\cdot 12=144$.
- Xác suất cần tìm là $P=\frac{144}{4^5}=\frac{144}{1024}=\frac{9}{64}=0,140625\approx 0,14$.

Số phần tử của $S$ là $|S|=8^4=4096$. Trong $X$ có $2$ chữ số chia hết cho $3$ ($\{3,6\}$), $3$ chữ số chia $3$ dư $1$ ($\{1,4,7\}$) và $3$ chữ số chia $3$ dư $2$ ($\{2,5,8\}$).
Số các số có $4$ chữ số thuộc $S$ chia hết cho $3$ là $\frac{8^4+(-1{)}^4+(-1{)}^4}{3}=\frac{4098}{3}=1366$.
Xác suất cần tìm là $\frac{1366}{4096}=\frac{683}{2048}$ (tối giản), suy ra $a=683,b=2048\Rightarrow T=b-a=2048-683=1365$. Đáp án: 1365.

Phân phối 7 gói dữ liệu cho 4 máy chủ sao cho mỗi máy nhận ít nhất 1 gói tương đương tìm số nghiệm nguyên dương của $x_1+x_2+x_3+x_4=7$.
Số phần tử của không gian mẫu: $|\Omega |=C_{7-1}^{4-1}=C_6^3=20$.
Biến cố $E$: máy chủ số 1 nhận đúng 2 gói ($x_1=2$). Khi đó $x_2+x_3+x_4=5$ với $x_2,x_3,x_4\ge 1$.
Số kết quả thuận lợi cho $E$: $|E|=C_{5-1}^{3-1}=C_4^2=6$.
Xác suất cần tìm là $P(E)=\frac{6}{20}=0,3$.