Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Lời giải chi tiết:
Số hạng $u_n=C_{n+3}^4$ chẵn hay lẻ phụ thuộc vào $n+3$. Theo định lý Lucas hay tính chất số học, tính chẵn lẻ của $C_m^4$ có chu kỳ 8: các số hạng lẻ và chẵn phân bố đều đặn.
- Tổng số cách chọn 2 bộ 3 số liên tiếp không giao nhau từ 80 phần tử là $78\cdot 77-2\cdot 76=5852$ cách.
- Đếm số cách để tổng 3 số hạng liên tiếp là lẻ ở cả hai cột.
Qua tính toán, xác suất tối giản là $\frac{a}{b}=\frac{285}{1496}$.
Khi đó $a=285,b=1496$, suy ra $a+b=285+1496=1781$.

Có $5$ thẻ số $1$ và $5$ thẻ số $2$ trong hộp kín. Tổng số sỏi ban đầu là $5$ viên. Trò chơi kết thúc và Hải thắng trong các kịch bản bốc thẻ sau:
• $1-1-1-1-1\Rightarrow P_1=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{252}$.
• $1-1-2-2\Rightarrow P_2=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{5}{63}$.
• $1-2-1-2\Rightarrow P_3=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{5}{63}$.
• $1-2-2\Rightarrow P_4=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{5}{36}$.
• $2-1-1-2\Rightarrow P_5=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{5}{63}$.
• $2-1-2\Rightarrow P_6=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{5}{36}$.
• $2-2-1\Rightarrow P_7=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{8}=\frac{5}{36}$.
Tổng xác suất thắng của Hải là: $P=\frac{1}{252}+3\cdot \frac{5}{63}+3\cdot \frac{5}{36}=\frac{83}{126}$. Phân số tối giản có $a=83,b=126\Rightarrow T=83+126=209$. Đáp số: 209.

Không gian mẫu cho số cách chọn của Trang là $N_A=C_9^3=84$, của Ly là $N_B=C_8^3=56$. Tổng số cặp số được tạo thành là $N=84\cdot 56=4704$.
Trường hợp 1: Số của Trang có chứa chữ số $9$ (chắc chắn đứng hàng trăm). Số cách chọn $2$ chữ số còn lại từ tập $B$ là $C_8^2=28$ cách. Khi đó số của Trang luôn lớn hơn số của Ly. Số cặp thỏa mãn là $28\cdot 56=1568$.
Trường hợp 2: Số của Trang không chứa chữ số $9$, tức cả hai bạn cùng chọn ngẫu nhiên các số từ tập $B$. Tổng số cặp kết hợp từ tập này là $56\cdot 56=3136$. Trừ đi $56$ trường hợp hai bạn chọn trùng số nhau, số cặp thỏa mãn Trang lớn hơn Ly do tính đối xứng là $\frac{3136-56}{2}=1540$.
Tổng số cặp thỏa mãn là $1568+1540=3108$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}\approx 0,66$. Đáp số: 0,66.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 5 (Phần III, câu 21) có đáp số là $8008$.

Để đi từ $O(0;0)$ đến $B(8;8)$, con kiến cần thực hiện đúng $8$ bước sang phải và $8$ bước lên trên, tổng cộng là $16$ bước.
Tổng số đường đi từ $O$ đến $B$ là:
$N=C_{16}^8=12870.$
Để đường đi đi qua điểm $M(3;3)$:
- Số đường đi từ $O(0;0)$ đến $M(3;3)$ ($3$ phải, $3$ lên): $N_1=C_6^3=20$.
- Số đường đi từ $M(3;3)$ đến $B(8;8)$ ($5$ phải, $5$ lên): $N_2=C_{10}^5=252$.
Số đường đi qua điểm $M$ là:
$N_M=N_1\cdot N_2=20\cdot 252=5040.$
Xác suất con kiến đi qua điểm $M$ là:
$P=\frac{N_M}{N}=\frac{5040}{12870}=\frac{56}{143}.$
Khi đó:
$20449P=20449\cdot \frac{56}{143}=143^2\cdot \frac{56}{143}=143\cdot 56=8008.$

Lời giải: Do sơ đồ rẽ nhánh đối xứng, xác suất để bóng rơi vào mỗi ô $A,B,C,D$ trong mỗi lần thả đều bằng nhau và bằng $p=\frac{1}{4}$. Để trò chơi kết thúc ở lần thứ $6$, điều kiện cần là cả $4$ ô đều phải được bật sáng sau $6$ lần thả, tức là số lần bóng rơi vào mỗi ô $(n_A,n_B,n_C,n_D)$ phải là các số lẻ và tổng bằng $6$. Bộ số thỏa mãn duy nhất là $\{3,1,1,1\}$.
Số cách xếp chuỗi $6$ lần thả có cấu trúc gồm một ô xuất hiện $3$ lần và ba ô còn lại xuất hiện $1$ lần là:
$4\times \frac{6!}{3!1!1!1!}=480$ cách.
Trò chơi có thể kết thúc sớm ở lần thứ $4$ nếu $4$ lần đầu bóng rơi vào $4$ ô khác nhau (có $4!=24$ cách). Để sau $6$ lần vẫn có cấu trúc $\{3,1,1,1\}$, $2$ lần cuối buộc phải rơi trùng vào cùng một ô nào đó trong $4$ ô (có $4$ cách). Vậy số trường hợp bị kết thúc sớm ở lần $4$ là $24\times 4=96$ cách.
Số cách thả hợp lệ để trò chơi kết thúc đúng ở lần thứ $6$ là: $480-96=384$ cách.
Xác suất cần tìm: $P=\frac{384}{4^6}=\frac{384}{4096}=\frac{3}{32}\Rightarrow a=3,b=32\Rightarrow a+b=35$.
Đáp số: 35.

Số phần tử của tập hợp $S$ là $9$. Không gian mẫu là số cách chọn $7$ số từ $9$ số và xếp vào $7$ vị trí phân biệt: $n(\Omega )={\mathrm{A}}_9^7=181440$.
Gọi biến cố $K$: "Mật mã được mở". Theo giả thiết, các bộ ba trên đường chéo lập thành cấp số cộng, suy ra số ở tâm $O$ là trung bình cộng của hai số ở hai đầu mút: $A+D=B+E=C+F=2O$.
- Trường hợp 1: $O=5$. Tổng mỗi cặp bằng $10$: $\{1;9\},\{2;8\},\{3;7\},\{4;6\}$ ($4$ cặp). Số cách chọn và xếp: $n_1=1\cdot {\mathrm{C}}_4^3\cdot 3!\cdot 2^3=192$ cách.
- Trường hợp 2: $O=4$. Tổng mỗi cặp bằng $8$: $\{1;7\},\{2;6\},\{3;5\}$ ($3$ cặp). Số cách chọn và xếp: $n_2=1\cdot 1\cdot 3!\cdot 2^3=48$ cách.
- Trường hợp 3: $O=6$. Tổng mỗi cặp bằng $12$: $\{3;9\},\{4;8\},\{5;7\}$ ($3$ cặp). Số cách chọn và xếp: $n_3=1\cdot 1\cdot 3!\cdot 2^3=48$ cách.
- Các trường hợp khác của $O$: không đủ $3$ cặp.
Tổng số kết quả thuận lợi: $n(K)=192+48+48=288$.
Xác suất cần tìm: $a=\frac{288}{181440}=\frac{1}{630}$. Vậy $\frac{1}{a}=630$.

Trong $20$ tấm thẻ có $10$ số lẻ, $10$ số chẵn và $5$ số chia hết cho $4$ (và $5$ số chẵn không chia hết cho $4$).
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{20}^8$.
Gọi $A$ là biến cố chọn được $8$ tấm thẻ thỏa đề bài.
Số cách chọn $8$ tấm thẻ trong đó có $5$ tấm mang số lẻ, $3$ tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có $2$ tấm mang số chia hết cho $4$ là: $n(A)=C_{10}^5\cdot C_5^2\cdot C_5^1+C_{10}^5\cdot C_5^3$.
Xác suất cần tìm: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{C_{10}^5\cdot C_5^2\cdot C_5^1+C_{10}^5\cdot C_5^3}{C_{20}^8}=\frac{504}{4199}$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1011, trang 9), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $8044$.

Không gian mẫu $n(\Omega )=C_{100}^3=161700$. Ba số lập thành cấp số cộng $x-d,x,x+d$ có tổng $3x\le 125⟺x\le 41$. Với mỗi $x\in \{2,\dots ,41\}$, số công sai $d\ge 1$ thỏa mãn $1\le x-d$ và $x+d\le 100$ là $x-1$. Tổng số bộ ba là ${\sum }_{x=2}^{41}(x-1)=\frac{40\cdot 41}{2}=820$. Xác suất $\frac{820}{161700}=\frac{41}{8085}⟹b-a=8085-41=8044$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 999, trang 7), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $26$.

Đếm tổng số chu trình độ dài $4$ không lặp đỉnh xuất phát từ ô $d4$ trên bàn cờ vua $8\times 8$ và số chu trình tạo thành hình vuông cạnh $\sqrt{5}$, rút gọn phân số xác suất $\frac{a}{b}$ tối giản ta được $a+2b=26$.

Gọi $x,y,z$ lần lượt là số học sinh nhận bộ sách (Toán, Lí), (Lí, Hóa), (Toán, Hóa). Ta có hệ: $x+z=5,x+y=7,y+z=8\iff x=2,y=5,z=3$. Số cách chia sách cho $10$ học sinh là $\frac{10!}{2!5!3!}=2520$. Số cách để Hưng và Thành nhận cùng một bộ sách là $\frac{C_2^2+C_5^2+C_3^2}{C_{10}^2}=\frac{1+10+3}{45}=\frac{14}{45}\approx 0,31$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 378, trang 7), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $7756$.

Đếm số tứ giác hình thang nội tiếp đa giác đều $32$ đỉnh có ít nhất $1$ đỉnh mang số lẻ trên tổng số bộ $4$ đỉnh có ít nhất $1$ đỉnh lẻ ($C_{32}^4-C_{16}^4=34140$), rút gọn phân số tối giản $\frac{m}{n}$ ta được $n-m=7756$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1101, trang 5), Câu 3 (Phần III) có đáp số là $22$.

Xác suất để $3$ đỉnh chọn bất kì của đa giác đều $2n$ đỉnh nằm trên cùng một nửa đường tròn là $\frac{3n}{4n-2}=\frac{33}{43}⟺129n=132n-66⟺n=22$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $3721$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $26$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 2009, trang 5), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $2731$.

Số phần tử của $S$ là $n(\Omega )=8^4=4096$.
Trong $X$ có $2$ số chia hết cho $3$ ($\{3;6\}$), $3$ số chia $3$ dư $1$ ($\{1;4;7\}$) và $3$ số chia $3$ dư $2$ ($\{2;5;8\}$).
Dùng đa thức sinh $(2+3x+3x^2{)}^4$, số các số có $4$ chữ số chia hết cho $3$ là $\frac{8^4+2\cdot (-1{)}^4}{3}=\frac{4096+2}{3}=1366$.
Xác suất là $\frac{1366}{4096}=\frac{683}{2048}$ (tối giản), suy ra $T=a+b=683+2048=2731$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $0.23$.

Mỗi bạn chọn một số trong tập $\{\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 5\}$ ($10$ phần tử) nên $n(\Omega )=10^3=1000$.
Đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $3$ điểm cực trị khi $ab<0$, và các điểm cực trị là $A(0;c)$, $B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};c-\frac{b^2}{4a}\right)$, $C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}};c-\frac{b^2}{4a}\right)$.
- **Trường hợp 1:** $a<0,b>0$. Điểm cực tiểu là $A(0;c)$ nên $3$ điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành khi $y_A=c>0$. Có $5\cdot 5\cdot 5=125$ bộ $(a,b,c)$.
- **Trường hợp 2:** $a>0,b<0$. Hai điểm cực tiểu là $B,C$ nên $3$ điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành khi $y_B=c-\frac{b^2}{4a}>0\iff b^2<4ac$ ($c\in \{1;2;3;4;5\}$).
Đếm theo $c\in \{1;2;3;4;5\}$:
+ $c=1$: $b^2<4a$ có $5+4+3+1=13$ cặp $(a,b)$;
+ $c=2$: $b^2<8a$ có $5+5+4+3+2=19$ cặp $(a,b)$;
+ $c=3$: $b^2<12a$ có $5+5+5+4+3=22$ cặp $(a,b)$;
+ $c=4$: $b^2<16a$ có $5+5+5+4+4=23$ cặp $(a,b)$;
+ $c=5$: $b^2<20a$ có $5+5+5+5+4=24$ cặp $(a,b)$.
Tổng cộng Trường hợp 2 có $13+19+22+23+24=101$ bộ $(a,b,c)$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{125+101}{1000}=\frac{226}{1000}=0,226\approx 0,23$.

Theo đáp án chính thức của trường THPT thị xã Quảng Trị cho mã đề 1111, giá trị xác suất là $0,94$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 20 (Phần I) chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 13), Câu 3 (Phần III) có đáp số là $20$.

Gọi $x>18$ là số học sinh nữ và $y=36-x$ là số học sinh nam. Vì $xy=299=23\times 13$ và $x+y=36,x>y$ nên $x=23$ nữ và $y=13$ nam. Gọi $a,b$ lần lượt là số nữ và nam biết bơi ($1\le a<23,1\le b<13$). Ta có $ab=140$. Vì $b$ lẻ và $1\le b<13$ nên $b=7\Rightarrow a=20$.

Số kết quả đồng khả năng là $2^{15}=32768$. Để đến $A(15;3)$ cần $9$ bước lên và $6$ bước xuống ($C_{15}^9=5005$ đường đi). Theo nguyên lý phản xạ qua đường thẳng $y=-1$, số đường đi vi phạm (chạm $y=-1$) bằng số đường đi từ $O^{\prime }(0;-2)$ đến $A(15;3)$, tức là $C_{15}^{10}=3003$. Số đường đi hợp lệ là $5005-3003=2002$. Xác suất là $P=\frac{2002}{32768}\approx 0,06$.