Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 số từ 200 số là $C_{200}^4=64684950$. Đếm số bộ 4 số lập thành cấp số cộng với công sai $d\ge 1$: cần $a+3d\le 200$, với mỗi $d$ từ 1 đến 66 có $200-3d$ bộ. Tổng: ${\sum }_{d=1}^{66}(200-3d)=66\cdot 200-3\cdot \frac{66\cdot 67}{2}=13200-6633=6567$. Xác suất $=\frac{6567}{64684950}=\frac{1}{9850}$ (vì $6567\cdot 9850=64684950$). Vậy $m+n=1+9850=9851$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tam giác: $C_{48}^3=17296$. Tam giác vuông: chứa một cặp đỉnh đối xứng qua tâm, có 24 đường kính, mỗi đường kính ghép với 46 đỉnh khác nên có $24\cdot 46=1104$ tam giác vuông. Tam giác tù: ba đỉnh nằm trong một nửa đường tròn mở (cung nhỏ hơn 24 cạnh), đếm theo đỉnh đầu tiên: $48\cdot C_{23}^2=48\cdot 253=12144$ tam giác tù (mỗi tam giác tù đếm đúng một lần). Vậy tam giác nhọn: $17296-1104-12144=4048$. Xác suất $=\frac{4048}{17296}=\frac{253}{1081}=\frac{11}{47}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số cấp số cộng 4 số hạng công sai dương d từ {1,...,200}: với mỗi d, số bộ là 200-3d, d=1..66. Tổng: Σ(200-3d)=66·200-3·(66·67/2)=13200-6633=6567. Tổng số cách chọn 4 số: C(200,4)=64.684.950. Xác suất = 6567/64684950. Phân tích 6567=3·11·199; rút gọn: 64684950/6567 = 9850, nên xác suất = 1/9850. Vậy m+n=1+9850=9851.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 48 đỉnh nội tiếp đường tròn, tổng số cách chọn 3 đỉnh là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{48}{3}\right)=17296$.

Gọi $g_1,g_2,g_3$ là số khoảng cách (số cung nhỏ) giữa ba đỉnh liên tiếp trên đường tròn, $g_1+g_2+g_3=48$. Góc tại một đỉnh của tam giác bằng nửa cung đối diện, tức là bằng $g_i\cdot 3,75^{\circ }$. Do đó tam giác nhọn khi và chỉ khi cả ba khoảng cách đều $<24$, tức $g_i\le 23$ với mọi $i$.

Đếm các tam giác KHÔNG nhọn (tồn tại khoảng cách $\ge 24$): khi đó ba đỉnh nằm trong một cung đóng gồm 24 bước (nửa đường tròn). Cố định đỉnh $A$ ngay sau khoảng cách lớn, hai đỉnh còn lại nằm trong 24 vị trí kế tiếp theo chiều ngược lại: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{2}\right)=276$ cách. Mỗi tam giác không nhọn có đúng một khoảng cách $\ge 24$ (hai khoảng cách cùng $\ge 24$ khiến khoảng cách thứ ba $\le 0$, vô lý), nên được đếm đúng một lần.

Số tam giác không nhọn: $48\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{2}\right)=48\cdot 276=13248$ (bao gồm cả tam giác vuông có cặp đỉnh đối xứng qua tâm, vì góc $90^{\circ }$ không phải nhọn).

Số tam giác nhọn: $17296-13248=4048$.

Xác suất: $P=\frac{4048}{17296}=\frac{253}{1081}=\frac{11}{47}$.

Vậy chọn đáp án D.

Tổng các phần tử của $T$: $S(T)=55$. Điều kiện: $S(B)\ge 4S(A)\iff 55-S(A)\ge 4S(A)\iff 5S(A)\le 55\iff S(A)\le 11$. Không gian mẫu: $|\Omega |=2^{10}-2=1022$ (số cách chia $T$ thành 2 tập khác rỗng).

Đếm số tập con $A$ có $S(A)\le 11$:

- $|A|=1$: $\{1\}\dots \{10\}$. Có 10 tập.
- $|A|=2$: $x+y\le 11$. Liệt kê: $(1;\mathrm{2..10})\to 9$; $(2;\mathrm{3..9})\to 7$; $(3;\mathrm{4..8})\to 5$; $(4;\mathrm{5..7})\to 3$; $(5;6)\to 1$. Tổng: 25 tập.
- $|A|=3$: $x+y+z\le 11$. $\{1,2,x\}(x:\mathrm{3..8})\to 6$; $\{1,3,x\}(x:\mathrm{4..7})\to 4$; $\{1,4,5\},\{1,4,6\}\to 2$. $\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,3,6\}\to 3$; $\{2,4,5\}\to 1$. Tổng: 16 tập.
- $|A|=4$: $\{1,2,3,4\},\{1,2,3,5\}$. Có 2 tập.

Tổng thuận lợi: $10+25+16+2=53$.

$$P=\frac{53}{1022}.$$

ĐÁP SỐ: $\frac{53}{1022}$

Gọi $A$ là biến cố “Không có học sinh nào nhận được số quyển vở là một số chia hết cho 3”.

Gọi $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ là số quyển vở mà 5 học sinh nhận được.

Ta có: $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=50$ và $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Theo bài toán chia kẹo Euler, ta có $n(\Omega )=C_{49}^4$.

Đặt $x_1=3y_1+r_1$, $x_2=3y_2+r_2$, $\dots$, $x_5=3y_5+r_5$ với $y_i$ và $r_i$ lần lượt là thương và số dư của phép chia $x_i$ cho 3.

Ta có $y_i\in \mathbb{N}$, $r_i=1$ hoặc $r_i=2$ với $1\le i\le 5$.

Ta được:
$$(3y_1+r_1)+(3y_2+r_2)+\dots +(3y_5+r_5)=50$$
$$\iff 3(y_1+y_2+\dots +y_5)+(r_1+r_2+\dots +r_5)=50$$

Mà 50 chia 3 dư 2 nên $r_1+r_2+\dots +r_5$ chia 3 dư 2.

Mà $5\le r_1+r_2+\dots +r_5\le 10$ nên $r_1+r_2+\dots +r_5=5$ hoặc $r_1+r_2+\dots +r_5=8$.

Với $r_1+r_2+\dots +r_5=5$ thì $r_1=r_2=\dots =r_5=1$. Khi đó
$$3(y_1+y_2+\dots +y_5)+5=50$$
$$\iff y_1+y_2+\dots +y_5=15$$
$$\iff (y_1+1)+(y_2+1)+\dots +(y_5+1)=20$$

Suy ra có $C_{19}^4$ bộ số $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)$. Suy ra có $C_{19}^4$ cách chọn.

Với $r_1+r_2+\dots +r_5=8$. Suy ra trong các số $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5$ có 3 số bằng 2 và 2 số bằng 1. Suy ra có $C_5^3$ cách chọn.

Với mỗi bộ số $(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5)$, ta được:
$$3(y_1+y_2+\dots +y_5)+8=50$$
$$\iff y_1+y_2+\dots +y_5=14$$
$$\iff (y_1+1)+(y_2+1)+\dots +(y_5+1)=19$$

Suy ra có $C_{18}^4$ bộ số $(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)$. Suy ra có $10.C_{18}^4$ cách chọn.

Vậy $n(A)=C_{19}^4+C_5^3{C}_{18}^4$.

Do đó xác suất của biến cố $A$ là:
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{C_{19}^4+C_5^3{C}_{18}^4}{C_{49}^4}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Số người đạt ít nhất một bài là $20-2=18$. Theo công thức bù trừ: $15+17-x=18\Rightarrow x=14$ người đạt cả hai bài. Xác suất $=\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 hộp từ 25 hộp: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{6}\right)=177100$.

Gọi $A$ là biến cố '6 hộp được chọn có đủ cả ba loại'. Tính biến cố đối $\overline{A}$: 6 hộp được chọn thiếu ít nhất một loại sữa.

Dùng bù - loại trừ, số cách chọn 6 hộp thiếu ít nhất một loại:
- Thiếu sữa dâu (chỉ chọn từ 8+5=13 hộp nho và cam): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{6}\right)=1716$.
- Thiếu sữa nho (chọn từ 12+5=17 hộp dâu và cam): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{6}\right)=12376$.
- Thiếu sữa cam (chọn từ 12+8=20 hộp dâu và nho): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{6}\right)=38760$.

Các giao hai nhau (thiếu hai loại cùng lúc, tức chỉ chọn một loại):
- Chỉ chọn sữa dâu: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}\right)=924$.
- Chỉ chọn sữa nho: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)=28$.
- Chỉ chọn sữa cam: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{6}\right)=0$ (không thể chọn 6 hộp từ 5 hộp).

Theo bù - loại trừ:
$$n(\overline{A})=1716+12376+38760-(924+28+0)=52852-952=51900.$$

Vậy $n(A)=177100-51900=125200$ và
$$P(A)=\frac{125200}{177100}=\frac{1252}{1771}\approx 0,7069.$$

Vậy xác suất để 6 hộp sữa mang đi kiểm nghiệm có đủ cả ba loại là $P=\frac{1252}{1771}\approx 0,7069$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi gieo súc xắc hai lần có $6^2=36$ kết quả đồng khả năng. Xác suất của biến cố đối 'không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm' là ${\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{36}$. Do đó xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lô hàng có 20 sản phẩm trong đó 4 phế phẩm, 16 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm: tổng số cách là $C_{20}^6=38760$.

Xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm gồm hai trường hợp:
- 0 phế phẩm (6 sản phẩm tốt): $C_{16}^6=8008$.
- 1 phế phẩm: $C_4^1\cdot C_{16}^5=4\cdot 4368=17472$.

Số cách thuận lợi: $8008+17472=25480$.

Xác suất: $P=\frac{25480}{38760}=\frac{637}{969}$.

Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 10 phần tử (thẻ 1 đến 10). a) $A=\{2,4,6,8,10\}$ nên $n(A)=5$, đúng. b) $P(A)=5/10=1/2$, đúng. c) $B=\{7\}$ chỉ có 1 phần tử nên $P(B)=1/10\ne 1/8$, sai. d) Biến cố 'chia hết cho 2 hoặc 7': các thẻ $\{2,4,6,7,8,10\}$ gồm 6 thẻ (thẻ 7 chưa được tính trong $A$), xác suất $=6/10=3/5\ne 3/7$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Các thẻ chia hết cho 2 là 2,4,6,8,10 nên $n(A)=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=n(A)/n(\Omega )=5/10=1/2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có thẻ 7 chia hết cho 7 trong khoảng 1 đến 10, nên $P(B)=1/10$, không phải $1/8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các thẻ chia hết cho 2 hoặc 7: $\{2,4,6,7,8,10\}$ gồm 6 thẻ, xác suất $=6/10=3/5$, không phải $3/7$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: vé số có 5 chữ số, mỗi chữ số lấy từ 0 đến 9 nên có $10^5$ vé (chấp nhận chữ số 0 đứng đầu vì là vé số). a) $A$: vé không có chữ số 2, mỗi vị trí có 9 cách chọn nên $P(A)=\frac{9^5}{10^5}=(0,9{)}^5$ → đúng. b) Tương tự $P(B)=\frac{9^5}{10^5}=(0,9{)}^5\ne (0,9{)}^4$ → sai. c) $AB$: vé không có chữ số 2 và không có chữ số 7, mỗi vị trí có 8 cách chọn nên $P(AB)=\frac{8^5}{10^5}=(0,8{)}^5\ne (0,8{)}^4$ → sai. d) $X=A\cup B$: $P(X)=P(A)+P(B)-P(AB)=2(0,9{)}^5-(0,8{)}^5=2(0,59049)-0,32768=0,8533$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi chữ số có 9 cách chọn (trừ chữ số 2), nên $P(A)=(9/10{)}^5=(0,9{)}^5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tương tự câu a, $P(B)=(0,9{)}^5$, không phải $(0,9{)}^4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Không có chữ số 2 và 7: mỗi vị trí 8 cách, $P(AB)=(0,8{)}^5$, không phải $(0,8{)}^4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(X)=P(A)+P(B)-P(AB)=2(0,9{)}^5-(0,8{)}^5=1,18098-0,32768=0,8533$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút có hoàn lại nên các lần rút độc lập, mỗi lần luôn có 52 lá. a) Có 4 lá Át nên P = 4/52 = 1/13, đúng. b) Vì có hoàn lại, lần thứ hai vẫn có 4 lá Át trên 52 lá nên P = 4/52, không phải 3/52, sai. c) Có 4 lá J nên P = 4/52 = 1/13, không phải 1/52, sai. d) P = (4/52)(4/52)(4/52) = 64/140608 = 1/2197, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bộ bài có 4 lá Át trong 52 lá, nên xác suất rút được Át ở lần thứ nhất là 4/52 = 1/13.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì rút có hoàn lại, lần thứ hai bộ bài vẫn đủ 52 lá với 4 lá Át, nên xác suất là 4/52 chứ không phải 3/52.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 4 lá J trong 52 lá nên xác suất là 4/52 = 1/13, không phải 1/52.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các lần rút độc lập (có hoàn lại): P = (4/52)·(4/52)·(4/52) = 64/52³ = 1/2197.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số người: 6 + 8 = 14. Chọn ngẫu nhiên 2 người: $C_{14}^2=91$ cách. Biến cố 'Cả hai cùng khối': cùng khối 11: $C_6^2=15$; cùng khối 12: $C_8^2=28$; tổng thuận lợi $=43$. Xác suất $P=\frac{43}{91}\approx 0,4725\approx 0,47$.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo 3 đồng xu cân đối, không gian mẫu có $2^3=8$ kết quả cùng khả năng.

a) Biến cố 'có ít nhất một đồng xu ngửa' có biến cố đối là 'cả 3 đồng xu sấp', xác suất $\frac{1}{8}$. Vậy $P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0,875$.

b) $B$ là biến cố 'có đúng 2 đồng xu ngửa', gồm 3 kết quả (NNS, NSN, SNN), nên $P(B)=\frac{3}{8}$. Vì $B\subset A$ (có đúng 2 ngửa thì tất nhiên có ít nhất 1 ngửa), nên $A\cap B=B$. Do đó $P(A\cap B)=P(B)=\frac{3}{8}=0,375$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: lấy đồng thời 3 viên từ 18 viên, nên $n(\Omega )=C_{18}^3=816$.

a) Biến cố $A$: 3 bi đều đỏ, số kết quả thuận lợi $n(A)=C_8^3=56$. Biến cố $B$: 3 bi đều đen, số kết quả thuận lợi $n(B)=C_{10}^3=120$.

b) $A\cup B$ là biến cố “3 viên bi lấy ra đều cùng màu (cả 3 đỏ hoặc cả 3 đen)”. Vì $A$ và $B$ xung khắc nên $n(A\cup B)=n(A)+n(B)=56+120=176$. (Tỉ số thuận lợi: $\frac{176}{816}=\frac{11}{51}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 2 công nhân từ 11 người: $n(\Omega )=C_{11}^2=55$. Biến cố $A$: 'Cả hai cùng giới tính' gồm hai trường hợp: cả hai nam: $C_5^2=10$; cả hai nữ: $C_6^2=15$. Số kết quả thuận lợi: $10+15=25$. Vậy $P(A)=\frac{25}{55}=\frac{5}{11}\approx 0,4545$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 cuốn từ 9 cuốn là $C_9^3=84$. Biến cố 'Ba cuốn cùng loại' gồm: 3 cuốn Toán: $C_4^3=4$ cách; 3 cuốn Văn: $C_5^3=10$ cách. Hai khả năng xung khắc nên số kết quả thuận lợi là $4+10=14$. Vậy $P=\frac{14}{84}=\frac{1}{6}\approx 0,167$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: rút một lá thăm từ 30 lá nên $n(\Omega )=30$, mỗi kết quả có xác suất như nhau. Gọi $A$ là biến cố 'Lá thăm có số thứ tự chia hết cho 4', $B$ là biến cố 'Lá thăm có số thứ tự chia hết cho 5'.
- $A=\{4;8;12;16;20;24;28\}$ nên $n(A)=7$.
- $B=\{5;10;15;20;25;30\}$ nên $n(B)=6$.
- $A\cap B=\{20\}$ (số chia hết cho cả 4 và 5, tức chia hết cho 20) nên $n(A\cap B)=1$.
Biến cố cần tính là $A\cup B$ với $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=7+6-1=12$.
Vậy xác suất cần tìm là $P(A\cup B)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Các số tự nhiên bé hơn 100 lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 (chữ số được lặp lại): số có 1 chữ số có 6 số; số có 2 chữ số có $6\times 6=36$ số. Tổng không gian mẫu: 42 số.

a) Biến cố $A$ (số lẻ): số có 1 chữ số lẻ là 1; 3; 5 → 3 số. Số có 2 chữ số lẻ: hàng chục có 6 cách, hàng đơn vị có 3 cách (1; 3; 5) → 18 số. Vậy $n(A)=3+18=21$.
Biến cố $B$ (số chẵn): số có 1 chữ số chẵn là 2; 4; 6 → 3 số. Số có 2 chữ số chẵn: $6\times 3=18$ số. Vậy $n(B)=3+18=21$.

b) $A\cup B$ là biến cố “Số lập được là số lẻ hoặc số chẵn”, tức là “Số lập được là số tự nhiên bé hơn 100 lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6”. Vì $A$ và $B$ đối nhau (mỗi số hoặc lẻ hoặc chẵn), $n(A\cup B)=n(A)+n(B)=21+21=42$.

c) Không gian mẫu có 42 phần tử. Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 5: số có 1 chữ số: chỉ có 5 → 1 số; số có 2 chữ số: hàng chục có 6 cách, hàng đơn vị là 5 → 6 số. Tổng: 7 số. Xác suất $=\frac{7}{42}=\frac{1}{6}$.