Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Một trung tâm an ninh mạng sử dụng hai bộ lọc độc lập $S_1$ và $S_2$ để quét các tập tin lạ. Qua thống kê, tỷ lệ tập tin có mã độc trong hệ thống là $2\%$.
- Đối với một tập tin có mã độc, xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,9$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,8$ và xác suất bị cả hai bộ lọc cùng cảnh báo là $0,75$.
- Đối với một tập tin không có mã độc, xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,05$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,03$ và xác suất nó không bị bộ lọc nào cảnh báo là $0,93$.
Một tập tin được quét và bị ít nhất một bộ lọc cảnh báo. Xác suất để tập tin đó thực sự có mã độc là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất $0,95$ và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất $0,01$. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn, xác suất để đó là thư rác bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giả sử $5\%$ email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là $95\%$ và có $10\%$ những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc.

Có một kho chứa bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau ($24$ lon/thùng) gồm $2$ loại: loại I để lẫn mỗi thùng $5$ lon quá hạn sử dụng, loại II để lẫn mỗi thùng $3$ lon quá hạn. Biết số lượng thùng loại I gấp $2$ lần số lượng thùng loại II. Chọn ngẫu nhiên $1$ thùng từ trong kho, từ thùng đó chọn ngẫu nhiên $10$ lon thì thấy trong $10$ lon đó có hai lon quá hạn sử dụng. Tính xác suất $10$ lon được lấy là bia loại I (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một trường đại học trao hai loại học bổng $A$ và $B$ cho sinh viên trong trường, một sinh viên có thể được nhận cả hai loại học bổng $A$ và $B$. Trong số các sinh viên được trao học bổng loại $A$ có $12\%$ số bạn được trao học bổng loại $B$ và trong số các sinh viên không được trao học bổng loại $A$ có $10\%$ số bạn được trao học bổng loại $B$. Có $10,2\%$ số sinh viên toàn trường được trao học bổng loại $B$. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong trường.

Nhằm đưa ra cảnh báo sớm về tình trạng sức khỏe của cư dân, người ta sử dụng một ứng dụng trí tuệ nhân tạo để sàng lọc nguy cơ mắc bệnh dựa trên hồ sơ y tế được lưu trữ. Khi phát hiện nguy cơ mắc bệnh, ứng dụng này sẽ gửi cảnh báo để giúp người dân đi khám bệnh kịp thời. Người ta dùng ứng dụng này để tầm soát nguy cơ mắc một loại bệnh.
Kết quả thu được khi quét thử nghiệm hồ sơ y tế của $10000$ người như sau: Có $1000$ người nhận được cảnh báo và $9000$ người còn lại không nhận được cảnh báo từ ứng dụng. Trong số $1000$ người nhận được cảnh báo thì có $700$ người có bệnh và $300$ người không có bệnh. Trong số $9000$ người không nhận được cảnh báo thì có $100$ người có bệnh và $8900$ người không có bệnh.
Chọn ngẫu nhiên một người trong số $10000$ người nói trên.

Một ứng viên tham gia quy trình tuyển dụng gồm ba vòng phỏng vấn liên tiếp. Quy định của quy trình là ứng viên chỉ được đi tiếp vào vòng sau nếu vượt qua vòng trước đó và sẽ bị loại ngay lập tức nếu không đạt ở bất kỳ vòng nào. Giả sử xác suất để ứng viên này vượt qua các vòng như sau:
Xác suất vượt qua vòng 1 là $0,7$.
Nếu đã vượt qua vòng 1, xác suất để vượt qua vòng 2 là $0,6$.
Nếu đã vượt qua cả vòng 1 và vòng 2, xác suất vượt qua vòng 3 là $0,5$.
Biết rằng ứng viên này cuối cùng đã không trúng tuyển (bị loại). Tính xác suất để ứng viên đó bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3 (tức là đã vượt qua được ít nhất vòng 1), (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tại một công ty công nghệ, hệ thống trí tuệ nhân tạo (AI) được sử dụng để lọc email rác (spam). Qua thống kê, tỉ lệ email bị hệ thống phân loại là "Rác" (đưa vào hộp thư rác) là $15\%$. Tuy nhiên, hệ thống nhận diện không chính xác tuyệt đối:
Trong số những email bị phân loại là "Rác", có $4\%$ thực chất là email "Bình thường" (bị nhận diện nhầm).
Trong số những email được phân loại là "Bình thường" (đưa vào hộp thư chính), có $1\%$ thực chất là email "Rác" (bị bỏ lọt).
Chọn ngẫu nhiên một email được gửi đến hệ thống.

Kết quả khảo sát những bệnh nhân là học sinh bị tai nạn xe máy điện về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy: Tỷ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là $26\%$; tỷ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là $90\%$; tỷ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là $18\%$.

Một hộp đựng $10$ quả cầu đỏ và $8$ quả cầu xanh cùng kích thước và khối lượng. Hùng lấy một quả không hoàn lại. Sau đó Lâm lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Gọi $A$ là biến cố “Hùng lấy được quả cầu đỏ”, $B$ là biến cố “Lâm lấy được một quả cầu đỏ”. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho sơ đồ cây của hai biến cố $A$ và $B$. Chọn mệnh đề đúng hoặc sai.
[IMAGE_1]

Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với $90\%$ các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với $80\%$ các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là $1\%$. Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng $\frac{a}{b}$ (Phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ bằng bao nhiêu?

Một loại thuốc do $2$ nhà máy I, II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy I, II lần lượt là $6\%,7\%$. Trong một lô thuốc được bán ra thị trường gồm $450$ sản phẩm của nhà máy I và $550$ sản phẩm của nhà máy II. Một khách hàng đã mua ngẫu nhiên $1$ sản phẩm của lô hàng đó. Giả sử thuốc được mua là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm thuốc được mua này thuộc nhà máy I (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Có hai chiếc hộp, hộp I có $6$ quả bóng màu đỏ và $4$ quả bóng màu vàng, hộp II có $7$ quả bóng màu đỏ và $3$ quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một lớp học có tỉ lệ học sinh nữ là $60\%$, trong đó tỉ lệ học sinh nam và học sinh nữ tham gia câu lạc bộ Hip hop của trường lần lượt là $25\%$ và $5\%$. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp có tham gia câu lạc bộ Hip hop, tính xác suất để học sinh đó là nam.

Một căn bệnh có $2\%$ dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là $99\%$. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính $99\%$ số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chẩn đoán đúng $97\%$. Lấy một người đi kiểm tra. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một căn bệnh X có $1\%$ dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là $99\%$. Với những người bị bệnh X, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính $99\%$ số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chẩn đoán đúng $99$ trong $100$ trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có $3\%$ tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây ra tai nạn thì có $21\%$ là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh $X$ mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,3\%$ và một loại xét nghiệm $Y$ mà ai mắc bệnh $X$ khi xét nghiệm $Y$ cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh $X$ lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm $Y$. Chọn ngẫu nhiên một người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm $Y$. Xác suất người đó bị mắc bệnh $X$ là bao nhiêu? *(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*

Ở một địa phương có $10\%$ dân số mắc căn bệnh $X$. Một phương pháp chẩn đoán có tỷ lệ chính xác là $97\%$ (nghĩa là, nếu người đó thực sự mắc bệnh, xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính là $97\%$). Tuy nhiên, phương pháp này không hoàn hảo, tức là nếu một người không mắc bệnh, xác suất để xét nghiệm vẫn cho kết quả dương tính (dương tính giả) là $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một người dân của địa phương đó đi xét nghiệm. Nếu một người được kiểm tra cho kết quả dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?