Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+x$; $9+x$; $33+x$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $(9+x{)}^2=(1+x)(33+x)$.
Khai triển: $81+18x+x^2=33+34x+x^2\Rightarrow 48=16x\Rightarrow x=3$.
Thử lại với $x=3$: ba số là $4;12;36$ với công bội $q=3$, thỏa mãn.
Vậy $x=3$, chọn đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị ô tô giảm 5% mỗi năm nên sau 10 năm giá trị còn lại là $800\cdot (0,95{)}^{10}$. Tính: $(0,95{)}^{10}\approx 0,5987369$, suy ra $800\cdot 0,5987369\approx 478,99$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được 479 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (479).

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+0,0091=1,0091$. Từ năm 2020 đến năm 2030 là 10 năm, nên dân số năm 2030 là $97\cdot (1,0091{)}^{10}\approx 97\cdot 1,0949\approx 106,2$ triệu người. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được 106 triệu người. Kết quả khớp với đáp án nguồn (106).

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+1,33\%=1,0133$. Từ tháng 12/2018 đến tháng 12/2025 là $n=7$ năm, nên dân số năm 2025 là:
$$u_7=95,93\cdot (1,0133{)}^7\approx 95,93\cdot 1,0967\approx 105,2\text{ (triệu người)}.$$
Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $105$ triệu người, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Phần III Câu 1: 105).

(AI giải đề cho tôi)
Lương năm thứ nhất là 50 triệu đồng, mỗi năm tăng 4% nên lương theo năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=50$ và công bội $q=1,04$. Lương năm thứ 10 là $u_{10}=50\cdot 1,04^9\approx 50\cdot 1,423312\approx 71,1656$ triệu đồng, làm tròn đến hàng phần chục ta được $71,2$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (71,2).

(AI giải đề cho tôi)
Lương năm thứ $n$ là số hạng thứ $n$ của cấp số nhân với $u_1=48$, công bội $q=1,05$. Vậy lương năm thứ 10: $u_{10}=48\cdot 1,05^9\approx 48\cdot 1,5513\approx 74,4638\approx 74,5$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn 74,5.

+) Số tiền trả cho lần lượt các mũi khoan giếng lập thành cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=90.000$ và công bội $q=1,04$. Cần tính $S_{60}$.
+) Ta có: $S_{40}=u_1\frac{1-q^{60}}{1-q}=90000.\frac{1-1,04^{60}}{1-1,04}\approx \mathrm{21.419.162}$ (đồng). (Ghi chú: nguồn ghi $S_{40}$, đúng ra là $S_{60}$ — lỗi đánh máy trong tài liệu gốc, giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3$, suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-6}{-3}=2$. a) $u_6=u_1{q}^5=2\cdot (-3{)}^5=-486$ → Đúng. b) $S_5=u_1\frac{1-q^5}{1-q}=2\cdot \frac{1-(-3{)}^5}{1-(-3)}=2\cdot \frac{244}{4}=122\ne -121$ → Sai. c) Công bội $q=-3\ne 3$ → Sai. d) $u_n=u_1{q}^{n-1}=2\cdot (-3{)}^{n-1}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 0102): D S S D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $q=-3$, $u_1=2$ thì $u_6=2\cdot (-3{)}^5=-486$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_5=2\cdot \frac{1-(-3{)}^5}{1-(-3)}=122\ne -121$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1{q}^{n-1}=2\cdot (-3{)}^{n-1}$, kiểm tra $u_2=-6$, $u_3=18$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3$. a) Sai vì $q=-3\ne 3$. b) $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-6}{-3}=2$ nên $u_n=2\cdot (-3{)}^{n-1}$: Đúng. c) $u_6=2\cdot (-3{)}^5=2\cdot (-243)=-486$: Đúng. d) $S_5=\frac{2\left(1-(-3{)}^5\right)}{1-(-3)}=\frac{2(1+243)}{4}=122\ne -121$: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 0101): S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3\ne 3$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-6}{-3}=2$, do đó $u_n=2\cdot (-3{)}^{n-1}$: đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_6=2\cdot (-3{)}^5=-486$: đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_5=\frac{2(1-(-3{)}^5)}{4}=122\ne -121$: sai.

Gọi $u_n$ là giá trị của chiếc máy sau $n$ năm kể từ khi mua (tính bằng đơn vị triệu đồng). Dãy $(u_n)$ lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=800\cdot 0,9=720$ và công bội $q=0,9$. Ta có $u_{10}=u_1\cdot q^9=720\cdot 0,9^9\approx 278,9$. Vậy giá trị của chiếc máy đó sau 10 năm là 278,9 triệu đồng.

Kể từ năm 2020, dân số hằng năm của quốc gia đó (tính bằng đơn vị triệu người) lập thành cấp số nhân $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=97$ và công bội $q=1,0091$. Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 tương ứng với $u_{11}=u_1{q}^{10}=97\cdot 1,0091^{10}\approx 106,2$. Vậy dân số của quốc gia đó vào năm 2030 là 106,2 triệu người.

Gọi $u_n$ là giá trị của chiếc máy sau $n$ năm kể từ khi mua (tính bằng đơn vị triệu đồng). Dãy $(u_n)$ lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=800\cdot 0,9=720$ và công bội $q=0,9$. Ta có $u_{10}=u_1\cdot q^9=720\cdot 0,9^9\approx 278,9$. Vậy giá trị của chiếc máy đó sau 10 năm là 278,9 triệu đồng.

Kể từ năm 2020, dân số hằng năm của quốc gia đó (tính bằng đơn vị triệu người) lập thành cấp số nhân $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=97$ và công bội $q=1,0091$. Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 tương ứng với $u_{11}=u_1{q}^{10}=97\cdot 1,0091^{10}\approx 106,2$. Vậy dân số của quốc gia đó vào năm 2030 là 106,2 triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, $q=-2$, số hạng tổng quát $u_n=3\cdot (-2{)}^{n-1}$. a) $u_2=3\cdot (-2)=-6$, đúng. b) Vì $q=-2<0$, dãy đổi dấu ($3,-6,12,-24,\dots$) nên không phải dãy giảm, sai. c) Số hạng cuối $192=3\cdot (-2{)}^{n-1}\Rightarrow (-2{)}^{n-1}=64=(-2{)}^6\Rightarrow n-1=6\Rightarrow n=7$, tức cấp số nhân có 7 số hạng ($3,-6,12,-24,48,-96,192$), nên khẳng định 'có 6 số hạng' sai. d) $S_7=\frac{3\left(1-(-2{)}^7\right)}{1-(-2)}=\frac{3(1+128)}{3}=129$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1\cdot q=3\cdot (-2)=-6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $q=-2<0$, các số hạng đổi dấu: $3,-6,12,-24,\dots$ nên dãy không giảm và không tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$192=3\cdot (-2{)}^{n-1}\Rightarrow (-2{)}^{n-1}=64=(-2{)}^6\Rightarrow n=7$. Cấp số nhân có 7 số hạng, không phải 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_7=\frac{3(1-(-2{)}^7)}{1+2}=\frac{3\cdot 129}{3}=129$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 3 giờ = 6 khoảng 30 phút, nhiệt độ giảm còn 75% mỗi lần: $T=28\cdot (0,75{)}^6=28\cdot 0,177978515625\approx 4,9834\approx 4,98{}^{\circ }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 48. a) Với $u_n=\frac{-3}{4}\cdot 2^n$, ta có $u_1=\frac{-3}{4}\cdot 2=-\frac{3}{2}$. Với mọi $n\ge 1$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{-3}{4}\cdot 2^{n+1}}{\frac{-3}{4}\cdot 2^n}=2$ không đổi, nên $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=-\frac{3}{2}$, công bội $q=2$. b) Với $u_n=(-0,75{)}^n$, ta có $u_1=-0,75=-\frac{3}{4}$. Với mọi $n\ge 1$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(-0,75{)}^{n+1}}{(-0,75{)}^n}=-0,75$ không đổi, nên $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=-\frac{3}{4}$, công bội $q=-0,75=-\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=-5$, $q=2$, nên số hạng tổng quát $u_n=u_1{q}^{n-1}=-5\cdot 2^{n-1}$.

a) $u_9=-5\cdot 2^8=-5\cdot 256=-1280$.

b) Giải $-320=-5\cdot 2^{n-1}\Rightarrow 2^{n-1}=64=2^6\Rightarrow n-1=6\Rightarrow n=7$. Vậy $-320$ là số hạng thứ $7$.

c) Nếu $160=-5\cdot 2^{n-1}$ thì $2^{n-1}=-32$, vô nghiệm vì $2^{n-1}>0$ với mọi $n$. Vậy $160$ không phải là số hạng của cấp số nhân (các số hạng đều âm do $u_1<0$, $q>0$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_2=\frac{u_3}{q}=\frac{16}{q}$ và $u_4=u_{3}q=16q$. Theo đề: $u_2+u_4=40\Rightarrow 16\left(\frac{1}{q}+q\right)=40\Rightarrow q+\frac{1}{q}=\frac{5}{2}$. Nhân hai vế với $2q$: $2q^2-5q+2=0\Rightarrow q=2$ hoặc $q=\frac{1}{2}$. Vì $q>1$ nên $q=2$. Suy ra $u_1=\frac{u_3}{q^2}=\frac{16}{4}=4$. Vậy $u_1=4$, $q=2$. Kiểm tra: $u_2=8$, $u_4=32$, $u_2+u_4=40$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $2x-1;x;2x+1$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $x^2=(2x-1)(2x+1)=4x^2-1$, suy ra $3x^2=1$, tức $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Với các giá trị này cả ba số đều khác 0 nên cấp số nhân hợp lệ (công bội $q=\frac{x}{2x-1}$ xác định). Vậy đáp án C.