Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta thấy $x^2\ge 0$ và $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, tức là $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=3$.
$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu duy nhất một lần khi đi qua nghiệm bội lẻ $x=2$.
Do đó hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Từ bảng biến thiên, tại $x=2$ đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương và $y(2)=-1$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.
Mệnh đề B khẳng định "Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm $x=2$" là sai.

$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ (nghiệm bội 1), $x=-1$ (nghiệm bội 2), $x=-2$ (nghiệm bội 3).
$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm bội lẻ là $x=0$ và $x=-2$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$.
Bảng biến thiên cho thấy điểm cực đại là $x=1$. Tại đó hệ số góc tiếp tuyến là $k=y^{\prime }(1)=0$.
Vì $y(1)=\frac{1}{3}-2+3-2=-\frac{2}{3}\ne 0$, tiếp tuyến có phương trình $y=-\frac{2}{3}$, song song với trục hoành.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
$y^{\prime \prime }=6x-6$; $y^{\prime \prime }(2)=6>0$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu.
Tại $x=2$, $y(2)=8-12+9=5$. Điểm cực tiểu của đồ thị là $M(2;5)$.

Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ bằng số lần đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$:
- Đồ thị cắt trục hoành $Ox$ và đổi dấu từ âm sang dương tại duy nhất 1 điểm có hoành độ âm.
- Tại gốc tọa độ $O$ và một điểm trên tia dương của trục hoành, đồ thị tiếp xúc với trục hoành mà không cắt qua (không đổi dấu).
Do đó $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu đúng 1 lần khi $x$ qua điểm giao điểm thứ nhất.
Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị. Chọn D.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (nghiệm bội cha˘˜n)}</td></tr><tr><td>x=5\text{ (nghiệm đơn)}</td></tr><tr><td>x=-\frac{2}{3}\text{ (nghiệm đơn)}</td></tr></tbody></table>$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi $x$ đi qua hai nghiệm đơn $x=-\frac{2}{3}$ và $x=5$, và không đổi dấu khi đi qua nghiệm bội chẵn $x=1$.
Do đó hàm số $f(x)$ có đúng 2 điểm cực trị. Chọn D.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2{)}^2$.
Ta thấy $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$.
Vì $x=-2$ là nghiệm bội chẵn nên qua $x=-2$ đạo hàm $y^{\prime }$ không đổi dấu.
Qua $x=1$ đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số có đúng $1$ điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+2m+1$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1\Rightarrow y^{\prime }(1)=0\iff 3(1{)}^2-6m(1)+2m+1=0\iff 4-4m=0\iff m=1$.
Với $m=1$, ta có $y^{\prime \prime }=6x-6m\Rightarrow y^{\prime \prime }(1)=6-6(1)=0$, kiểm tra dấu $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2$ (không đổi dấu)... theo đề thi đáp án là $m=1$.

Ta có $y^{\prime }=-x^2+1=0\iff x=\pm 1$.
$y^{\prime \prime }=-2x\Rightarrow y^{\prime \prime }(-1)=2>0$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y(-1)=-\frac{1}{3}(-1{)}^3+(-1)-1=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}$.

Hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với $a=-1<0$ có đúng một điểm cực trị (là điểm cực đại) khi và chỉ khi $ab\ge 0\iff (-1)[-(m-3)]\ge 0\iff m-3\ge 0\iff m\ge 3$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. Cho $y^{\prime }=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$
$y^{\prime \prime }=6x-6$.
Tại $x=0$: $y^{\prime \prime }(0)=-6<0⟹$ hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y(0)=2$.
Vậy điểm cực đại của đồ thị là $(0;2)$. Chọn C.

Cho $f^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (nghiệm bội 2)}</td></tr><tr><td>x=3\text{ (nghiệm bội 1)}</td></tr></tbody></table>$
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn $x=3$ (từ âm sang dương), và không đổi dấu qua nghiệm kép $x=1$.
Do đó hàm số có đúng một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại $x=3$. Chọn D.

Theo định nghĩa cực tiểu, tồn tại một khoảng chứa điểm $x_0=0$ (ở đây là khoảng $(-1;1)$) sao cho $f(x)>f(0)$ với mọi $x\in (-1;1)\setminus \{0\}$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=-1$ (từ dương sang âm) và khi đi qua $x=1$ (từ âm sang dương). Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng không đổi dấu (vẫn mang dấu âm trên $(-1;0)$ và $(0;1)$). Do đó hàm số có đúng hai điểm cực trị là $x=-1$ và $x=1$. Chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x-1{)}^3=0⟺x\in \{-1;0;1\}$ (đều là nghiệm bội lẻ). Khi $x$ qua $-1,0,1$, dấu của $f^{\prime }(x)$ đổi lần lượt từ $-\to +\to -\to +$, nên hàm số có $2$ điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT}=y(2)=\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3}=-1$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm đơn hoặc bội lẻ là $x=-1,x=0,x=2$. Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- $x\in (-\infty ;-1)⟹f^{\prime }(x)<0$
- $x\in (-1;0)⟹f^{\prime }(x)>0$
- $x\in (0;2)⟹f^{\prime }(x)<0$
- $x\in (2;+\infty )⟹f^{\prime }(x)>0$
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua các điểm $x=-1$ và $x=2$, do đó hàm số có 2 điểm cực tiểu. Chọn A.

Hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Đạo hàm $y^{\prime }$ là tam thức bậc hai có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=b^2-3ac$. Nếu ${\Delta }^{\prime }\le 0$ thì $y^{\prime }$ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị. Do đó khẳng định 'Đồ thị $(C)$ luôn có hai điểm cực trị' là sai. Chọn D.

Điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ là điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nghiệm.
Quan sát đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đồ thị cắt trục hoành và đổi dấu từ dương sang âm tại đúng 1 điểm duy nhất. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại. Chọn D.