Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: mỗi thùng chứa 25 quả nên tổng số táo hai thùng là 50 quả. b) Đúng: thùng B có 10+4=14 quả nặng từ 280g trở lên, thùng A có 4+3=7 quả, 14>7. c) Đúng: thùng A có 12+4+3=19 quả nặng từ 270g trở lên nên P(A)=19/25; thùng B có 7+10+4=21 quả nên P(B)=21/25; hai lần lấy độc lập nên xác suất = (19/25)(21/25)=399/625=0,6384. d) Đúng: số trung bình thùng A = (255·2+265·4+275·12+285·4+295·3)/25 = 6895/25 = 275,8g; thùng B = (255·1+265·3+275·7+285·10+295·4)/25 = 7005/25 = 280,2g; 275,8 < 280,2. Kết quả khớp đáp án mã đề 1008: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi thùng chứa 25 quả nên tổng số táo hai thùng là 50 quả, không phải 25 quả.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thùng B: 10+4=14 quả nặng từ 280g trở lên; thùng A: 4+3=7 quả. Vì 14>7 nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(A) = (12+4+3)/25 = 19/25; P(B) = (7+10+4)/25 = 21/25. Hai lần lấy độc lập nên P = 19/25 · 21/25 = 399/625 = 0,6384.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình thùng A = 6895/25 = 275,8g; thùng B = 7005/25 = 280,2g. Vì 275,8 < 280,2 nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi thùng chứa 25 quả nên tổng số táo hai thùng là 50 quả, không phải 25 quả → Sai. b) Số trung bình thùng A: ${\bar{x}}_A=\frac{255\cdot 2+265\cdot 4+275\cdot 12+285\cdot 4+295\cdot 3}{25}=\frac{6895}{25}=275,8$ g; thùng B: ${\bar{x}}_B=\frac{255\cdot 1+265\cdot 3+275\cdot 7+285\cdot 10+295\cdot 4}{25}=\frac{7005}{25}=280,2$ g. Vì $275,8<280,2$ → Đúng. c) Thùng A có $4+3=7$ quả nặng từ 280g trở lên; thùng B có $10+4=14$ quả; $14>7$ → Đúng. d) $P(A\ge 270)=\frac{12+4+3}{25}=\frac{19}{25}=0,76$; $P(B\ge 270)=\frac{7+10+4}{25}=\frac{21}{25}=0,84$. Hai lần lấy độc lập nên $P=0,76\cdot 0,84=0,6384$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1007: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi thùng 25 quả nên tổng là 50 quả, không phải 25 quả.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=275,8$ g < ${\bar{x}}_B=280,2$ g.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thùng B có 14 quả ≥ 280g, thùng A có 7 quả; 14 > 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{19}{25}\cdot \frac{21}{25}=0,76\cdot 0,84=0,6384$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (30 giá trị): 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 11, 12, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 24, 25, 26, 26, 28, 29, 29. Min = 3, max = 29, chọn 6 nhóm độ dài 4,5: [3;7,5) có 6; [7,5;12) có 4; [12;16,5) có 6; [16,5;21) có 4; [21;25,5) có 5; [25,5;30) có 5 (tổng 30).
a) Cỡ mẫu n = 30 → đúng.
b) Các giá trị đại diện: 5,25; 9,75; 14,25; 18,75; 23,25; 27,75. Trung bình = (6·5,25 + 4·9,75 + 6·14,25 + 4·18,75 + 5·23,25 + 5·27,75)/30 = 486/30 = 16,2 → đúng.
c) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là R = 30 − 3 = 27 ≠ 26 → sai.
d) Q1: vị trí 30/4 = 7,5 thuộc nhóm [7,5;12): Q1 = 7,5 + (7,5 − 6)/4 · 4,5 = 9,1875. Q3: vị trí 22,5 thuộc nhóm [21;25,5): Q3 = 21 + (22,5 − 20)/5 · 4,5 = 23,25. Khoảng tứ phân vị = 23,25 − 9,1875 = 14,0625 ≈ 14,1 ≠ 14,5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 30 giá trị nên cỡ mẫu n = 30.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với các nhóm [3;7,5), [7,5;12), [12;16,5), [16,5;21), [21;25,5), [25,5;30) có tần số 6, 4, 6, 4, 5, 5 và giá trị đại diện 5,25; 9,75; 14,25; 18,75; 23,25; 27,75, ta được x̄ = 486/30 = 16,2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là R = 30 − 3 = 27, không phải 26.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 7,5 + (7,5 − 6)/4 · 4,5 = 9,1875; Q3 = 21 + (22,5 − 20)/5 · 4,5 = 23,25; ΔQ = 23,25 − 9,1875 = 14,0625 ≈ 14,1 ≠ 14,5.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm tần số từ dữ liệu: [6,0;6,5) có 2 giá trị (6,3; 6,2); [6,5;7,0) có 5 giá trị (6,5; 6,8; 6,9; 6,6; 6,7); [7,0;7,5) có 10 giá trị (7,0; 7,1; 7,2; 7,4; 7,3; 7,2; 7,1; 7,0; 7,1; 7,3); [7,5;8,0) có 9 giá trị (7,5; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,8; 7,5; 7,7; 7,8); [8,0;8,5) có 3 giá trị (8,2; 8,3; 8,4); [8,5;9,0) có 1 giá trị (8,7). Vậy bảng tần số ở mệnh đề a là đúng.

b) Số trung bình của mẫu ghép nhóm (dùng giá trị đại diện): $\bar{x}=\frac{6,25\cdot 2+6,75\cdot 5+7,25\cdot 10+7,75\cdot 9+8,25\cdot 3+8,75\cdot 1}{30}=\frac{222}{30}=7,4$ giây, không phải 7,5 → sai.

c) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là hiệu hai đầu mút của lớp đầu và lớp cuối: $R=9,0-6,0=3,0\ne 3,1$ → sai.

d) Tần số tích lũy: 2; 7; 17; 26; 29; 30. Vì $\frac{n}{4}=7,5$ nên $Q_1$ thuộc lớp [7,0;7,5): $Q_1=7,0+\frac{7,5-7}{10}\cdot 0,5=7,025$. Vì $\frac{3n}{4}=22,5$ nên $Q_3$ thuộc lớp [7,5;8,0): $Q_3=7,5+\frac{22,5-17}{9}\cdot 0,5\approx 7,6528$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q\approx 7,6528-7,025=0,628\ne 0,781$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm được tần số các lớp lần lượt là 2; 5; 10; 9; 3; 1, đúng như bảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu ghép nhóm là 222/30 = 7,4 giây, không phải 7,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = 9,0 − 6,0 = 3,0 ≠ 3,1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 7,025; Q3 ≈ 7,6528 nên ΔQ ≈ 0,628 ≠ 0,781.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: 51, 53, 55, 57, 59 với tần số 15, 20, 45, 15, 5 (n=100).
a) Tần suất nhóm [52;54) = 20/100 = 20% → đúng.
b) Số trung vị: n/2 = 50, tần số tích lũy 15, 35, 80 nên trung vị thuộc nhóm [54;56): Me = 54 + (50−35)/45 · 2 = 54 + 30/45 ≈ 54,667 ≠ 54,909 → sai.
c) Khoảng biến thiên = 60 − 50 = 10 → đúng.
d) Số trung bình x̄ = (15·51+20·53+45·55+15·57+5·59)/100 = 5450/100 = 54,5. Σnᵢxᵢ² = 15·2601+20·2809+45·3025+15·3249+5·3481 = 297460, nên s² = 2974,6 − 54,5² = 2974,6 − 2970,25 = 4,35 và s = √4,35 ≈ 2,09 ≠ 4,35 (4,35 là phương sai, không phải độ lệch chuẩn) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tần suất = 20/100 = 20%.
b) (AI giải đề cho tôi)
Me = 54 + (50−35)/45·2 ≈ 54,667, không phải 54,909.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = 60 − 50 = 10.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 4,35 nên s = √4,35 ≈ 2,09; 4,35 là phương sai chứ không phải độ lệch chuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=45+34+23+18+5=125$. Tần số tích lũy: $45;79;102;120;125$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=31,25$ nằm trong nhóm $[0;2)$ nên
$$Q_1=0+\frac{31,25-0}{45}\cdot 2=\frac{62,5}{45}\approx 1,389.$$

Trung vị: vị trí $\frac{n}{2}=62,5$ nằm trong nhóm $[2;4)$ nên
$$Q_2=2+\frac{62,5-45}{34}\cdot 2=2+\frac{35}{34}\approx 3,029.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=93,75$ nằm trong nhóm $[4;6)$ nên
$$Q_3=4+\frac{93,75-79}{23}\cdot 2=4+\frac{29,5}{23}\approx 5,283.$$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 5,283-1,389\approx 3,89\text{ (phuˊt)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hộ: $24+57+42+29+18=170$. Số hộ cần gửi thông báo: $25\%\cdot 170=42,5$ hộ (các hộ tiêu thụ nhiều nhất). Xét từ nhóm có lượng nước cao nhất xuống: nhóm $[15;18)$ có 18 hộ, nhóm $[12;15)$ có 29 hộ, cộng dồn $18+29=47>42,5$, nên mốc nằm trong nhóm $[12;15)$. Số hộ cần thêm từ nhóm $[12;15)$: $42,5-18=24,5$ hộ. Theo công thức nội suy, ngưỡng $x$ thỏa $\frac{15-x}{3}=\frac{24,5}{29}$, suy ra $x=15-\frac{24,5\cdot 3}{29}=15-2,\mathrm{5345...}\approx 12,5$. Vậy công ty cần gửi thông báo cho các hộ tiêu thụ từ khoảng $12,5m^3$ trở lên, khớp với đáp án 12.5.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=9+1+15+14+12=51$. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $12,5$; $17,5$; $22,5$; $27,5$; $32,5$.
a) Sai: giá trị đại diện của nhóm [10;15) là $\frac{10+15}{2}=12,5$, không phải 8,33.
b) Sai: số trung bình $\bar{x}=\frac{9\cdot 12,5+1\cdot 17,5+15\cdot 22,5+14\cdot 27,5+12\cdot 32,5}{51}=\frac{1242,5}{51}\approx 24,36\ne 25,16$.
c) Sai: $\frac{n}{4}=12,75$; tần số tích lũy là 9; 10; 25 nên nhóm chứa $Q_1$ là [20;25). $Q_1=20+\frac{12,75-10}{15}\cdot 5\approx 20,92\ne 21,42$.
d) Đúng: $\frac{3n}{4}=38,25$; nhóm chứa $Q_3$ là [25;30) (tần số tích lũy trước là 25). $Q_3=25+\frac{38,25-25}{14}\cdot 5\approx 29,73$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm [10;15) là (10+15)/2 = 12,5, không phải 8,33.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình = (9·12,5 + 1·17,5 + 15·22,5 + 14·27,5 + 12·32,5)/51 = 1242,5/51 ≈ 24,36 ≠ 25,16.
c) (AI giải đề cho tôi)
n/4 = 12,75; nhóm chứa Q1 là [20;25) vì tần số tích lũy: 9; 10; 25. Q1 = 20 + (12,75−10)/15·5 ≈ 20,92 ≠ 21,42.
d) (AI giải đề cho tôi)
3n/4 = 38,25; nhóm chứa Q3 là [25;30) (tần số tích lũy trước là 25). Q3 = 25 + (38,25−25)/14·5 ≈ 29,73.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tặng quà cho 25% của 100 hội viên, tức 25 hội viên có thời gian chạy bộ nhiều nhất. Nhóm [180;210) có 15 hội viên, nên cần thêm 10 hội viên từ nhóm [150;180) (có 20 hội viên). Vị trí cần tìm là mốc phân vị thứ 75: 25 hội viên nhiều nhất tương ứng giá trị phân vị 75. Áp dụng công thức phân vị nhóm: $x_{75}=150+\frac{25-15}{20}\cdot 30=150+15=165$. Vậy hội viên cần chạy bộ tối thiểu 165 phút để nhận quà tặng.

(AI giải đề cho tôi)
25\% của 80 vận động viên là 20 người nhanh nhất. Tần số tích lũy: nhóm $[20;24)$ có 8 người, nhóm $[24;28)$ có $8+16=24$ người. Vì $8<20\le 24$, giá trị phân vị nằm trong nhóm $[24;28)$. Suy ra thời gian tối đa để nhận huy chương là: $24+\frac{20-8}{16}\times 4=24+3=27$ (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Số nhân viên được thưởng: $25\%$ của $60=15$ nhân viên. Xét từ nhóm có số đơn cao nhất xuống: nhóm $[700;800)$ có $6$ nhân viên, cần thêm $15-6=9$ nhân viên từ nhóm $[600;700)$. Theo mẫu số liệu ghép nhóm, $9$ nhân viên này phân bố đều trong nhóm $[600;700)$ gồm $15$ nhân viên, nên mốc thưởng cách đều: $600+\frac{9}{15}\cdot (700-600)=600+60=660$. Vậy nhân viên cần giao thành công tối thiểu $660$ đơn hàng để được nhận thưởng.

(AI giải đề cho tôi)
Nha Trang: n=20, vị trí Q1 là 20/4=5. Tần số tích lũy: 1,2,3,11,18,20 nên nhóm chứa Q1 là [220;250) (a sai). Q1 = 220 + (5-3)/8 · 30 = 227,5 (d đúng). Quy Nhơn: n=20, trung vị ở vị trí 10; tần số tích lũy: 0,1,3,7,17,20 nên nhóm chứa trung vị là [250;280) (b đúng). Q3 ở vị trí 15, thuộc [250;280): Q3 = 250 + (15-7)/10 · 30 = 274 (c đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí Q1 = 20/4 = 5; tần số tích lũy đến nhóm [190;220) là 3, đến [220;250) là 11, nên Q1 thuộc nhóm [220;250), không phải [130;160).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị ở vị trí 10; tần số tích lũy đến [220;250) là 7, đến [250;280) là 17, nên trung vị thuộc [250;280).
c) (AI giải đề cho tôi)
Q3 ở vị trí 15, thuộc nhóm [250;280): Q3 = 250 + (15-7)/10 · 30 = 274.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 220 + (5-3)/8 · 30 = 220 + 7,5 = 227,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25+38+62+42+37+29=233$. Nhóm chứa tứ phân vị được xác định bằng tích lũy tần số: 25; 63; 125; 167; 204; 233.

- $Q_1$: vị trí $\frac{n}{4}=58,25$ thuộc nhóm $[30;35)$:
$$Q_1=30+5\cdot \frac{58,25-25}{38}=30+5\cdot \frac{33,25}{38}=34,375.$$

- $Q_2$: vị trí $\frac{n}{2}=116,5$ thuộc nhóm $[35;40)$:
$$Q_2=35+5\cdot \frac{116,5-63}{62}=35+\frac{267,5}{62}\approx 39,31.$$

- $Q_3$: vị trí $\frac{3n}{4}=174,75$ thuộc nhóm $[45;50)$:
$$Q_3=45+5\cdot \frac{174,75-167}{37}=45+\frac{38,75}{37}\approx 46,05.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $Q_1=34,375$, $Q_2=39,31$, $Q_3=46,05$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số quả: n = 18+20+24+15+13 = 90.

Ngưỡng dưới tương ứng tứ phân vị thứ nhất Q_1 (25% quả nhẹ nhất), ngưỡng trên tương ứng tứ phân vị thứ ba Q_3 (75%).

Tính Q_1: vị trí 0,25·90 = 22,5. Tần số tích lũy: 18; 38; 62; 77; 90. Vì 18 < 22,5 ≤ 38 nên Q_1 thuộc nhóm [82; 84):
$$Q_1=82+\frac{22,5-18}{20}\cdot 2=82+0,45=82,45\approx 82.$$

Tính Q_3: vị trí 0,75·90 = 67,5. Vì 62 < 67,5 ≤ 77 nên Q_3 thuộc nhóm [86; 88):
$$Q_3=86+\frac{67,5-62}{15}\cdot 2=86+\frac{11}{15}\approx 86,73\approx 87.$$

Vậy ngưỡng phân loại: quả nhỏ có khối lượng dưới khoảng 82 gam (Q_1), quả vừa từ Q_1 đến Q_3 (khoảng 82 đến 87 gam), quả to trên khoảng 87 gam (Q_3). Kết quả khớp với đáp án nguồn: Q_1 = 82; Q_3 = 87 (làm tròn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N=40$, nên $\frac{3N}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30$. Tần số tích lũy: nhóm $[10;15)$: 2; $[15;20)$: 7; $[20;25)$: 22; $[25;30)$: 30. Vì tần số tích lũy đạt 30 lần đầu tại nhóm $[25;30)$, tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm này với $x_{Q_3}=25$, $n_{Q_3}=8$, $N_{Q_3}=22$, $h=5$. Do đó $Q_3=25+\left(\frac{30-22}{8}\right)\cdot 5=25+5=30$ (nghìn đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số trường $n=4+19+6+2+3+1=35$. Cần tìm điểm ngưỡng sao cho $25\%$ trường có điểm cao nhất, tức tìm phân vị thứ $75$ (giá trị mà $75\%$ trường có điểm thấp hơn hoặc bằng). Vị trí: $0,75\cdot 35=26,25$, nên xét giá trị thứ $27$. Tần số tích lũy: dưới 20 là 4; đến [30;40) là $4+19+6=29$. Vì $23<26,25\le 29$, phân vị nằm trong nhóm $[30;40)$ với $n_1=6$, $c=30$, $d=10$. Áp dụng công thức phân vị: $p_{75}=30+\frac{26,25-23}{6}\cdot 10=30+\frac{32,5}{6}\approx 35,4$. Vậy điểm ngưỡng là $35,4$, khớp với đáp án nguồn.

Ngưỡng điểm để chọn 25\% sản phẩm có điểm cao nhất chính là tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu.
Cỡ mẫu $n=6+11+16+15+7+5=60$, $\frac{3n}{4}=45$.
Vì $6+11+16=33<45\le 33+15=48$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[70;80)$.
Ta có $Q_3=70+\frac{45-33}{15}.10=78$.
Vậy ngưỡng điểm cần xác định là 78 điểm.

a) Đúng: Khoảng biến thiên $R=60-10=50$ phút.
b) Đúng: Trung vị $M_e=20+\frac{50-15}{40}\cdot 10=28,75$ phút $=28$ phút $45$ giây.
c) Sai: Mốt $M_o=20+\frac{40-15}{(40-15)+(40-25)}\cdot 10=26,25\ne 25$ phút.
d) Đúng: Có $80$ đơn giao dưới $40$ phút thu được $80\cdot 20000=1600000$ đồng, lớn hơn tiền bồi thường cho $20$ đơn giao từ $40$ phút trở lên ($20\cdot 60000=1200000$ đồng).

a) **Đúng**. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=100-40=60$.
b) **Sai**. Ta có $M_e=Q_2\in [60;70)\Rightarrow Q_2=60+\frac{50-25}{25}\cdot 10=70\ne 71$.
c) **Đúng**. Số trung bình của mẫu số liệu là $\bar{x}=\frac{45\cdot 10+55\cdot 15+65\cdot 25+75\cdot 30+85\cdot 15+95\cdot 5}{100}=69$. Điểm của Bình là $69,5<Q_2=70$ (xếp loại chưa đạt) nhưng lớn hơn $\bar{x}=69$.
d) **Đúng**. Ta có $Q_3\in [70;80)\Rightarrow Q_3=70+\frac{75-50}{30}\cdot 10\approx 78,33$. Vì không có học sinh nào có điểm bằng các tứ phân vị nên nhóm "chưa đạt" có $50$ học sinh, nhóm "tiềm năng" có $25$ học sinh, và nhóm "xuất sắc" có $25$ học sinh (trong đó có An với $82$ điểm). Số cách chọn $4$ học sinh luôn có mặt An và đủ cả $3$ nhóm là $n(A)=C_{50}^1{C}_{25}^1{C}_{24}^1+C_{50}^2{C}_{25}^1+C_{50}^1{C}_{25}^2=75625$. Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{75625}{C_{100}^4}=\frac{275}{14259}$.

Ngưỡng doanh số để chọn $25\%$ nhân viên có doanh số cao nhất chính là tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm ($n=100$).
Vì $\frac{3n}{4}=75$ và tần số tích lũy của $3$ nhóm đầu là $25+20+20=65<75<65+15=80$, nên nhóm chứa $Q_3$ là $[50;60)$.
Khi đó $Q_3=50+\frac{75-65}{15}\cdot 10=50+\frac{20}{3}\approx 56,7$ (triệu đồng).