Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ có hệ số góc âm (đường thẳng đi xuống từ trái qua phải), nên $f^{\prime }(1)<0$. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ có hệ số góc dương (đường thẳng đi lên từ trái qua phải), nên $f^{\prime }(2)>0$. Do đó $f^{\prime }(1)<f^{\prime }(2)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(2)=8-8+1=1$ và $f^{\prime }(x)=3x^2-4x$ nên $f^{\prime }(2)=12-8=4$. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 2 là $y=4(x-2)+1=4x-7$, tức $a=4,b=-7$. Vậy $a+2b=4+2(-7)=-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x$.

Tại $x_0=-1$:
- Tung độ tiếp điểm: $y_0=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+2=-1-3+2=-2$.
- Hệ số góc: $y^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-6(-1)=3+6=9$.

Phương trình tiếp tuyến:
$$y=y^{\prime }(-1)(x-x_0)+y_0=9(x+1)-2=9x+7.$$

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=9x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=2t-1$. Tại $t=2$: $v(2)=2\cdot 2-1=3(m/s)$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vật chạm đất khi $h(t)=0$: $24,5t-4,9t^2=0\Rightarrow t(24,5-4,9t)=0\Rightarrow t=0$ (lúc phóng) hoặc $t=5$ giây. Vận tốc là $v(t)=h^{\prime }(t)=24,5-9,8t$. Tại $t=5$: $v(5)=24,5-9,8\cdot 5=24,5-49=-24,5$ m/s (dấu âm do vật đi xuống). Vậy tốc độ của vật khi chạm đất là $24,5$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến của $y=\ln x$ tại điểm có tung độ bằng 1: hoành độ $x_0$ thỏa $\ln x_0=1\Rightarrow x_0=e$, tiếp điểm $(e;1)$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{x}$, hệ số góc $k=y^{\prime }(e)=\frac{1}{e}$. Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{1}{e}(x-e)+1=\frac{x}{e}$ (vì $\frac{1}{e}(x-e)+1=\frac{x}{e}-1+1=\frac{x}{e}$). Vậy $y=\frac{x}{e}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$: $y(1)=\frac{1}{3}+1-2+1=\frac{1}{3}$, đúng bằng tung độ điểm $M$. Đạo hàm $y^{\prime }=x^2+2x-2$ nên $y^{\prime }(1)=1+2-2=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{1}{3}+1\cdot (x-1)=x-\frac{2}{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-3$. Tại $x=2$: $y^{\prime }(2)=3\cdot 4-3=9$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ là $9$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ xác định tại $x_0=2$. Tọa độ tiếp điểm: $y_0=\frac{2+1}{2-1}=3$, tức điểm $T(2;3)$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$. Tại $x_0=2$: $y^{\prime }(2)=\frac{-2}{1}=-2$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=y^{\prime }(2)(x-2)+y_0=-2(x-2)+3=-2x+7$.

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-2x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$, $y^{\prime }(1)=-3$. Tiếp tuyến: $y=-3(x-1)-2=-3x+1$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-2)-(3x+5)}{(x-2{)}^2}=\frac{-11}{(x-2{)}^2}$ với $x\ne 2$. Tiếp tuyến $(d)$ song song với $(\Delta ):y=-11x+2$ nên hệ số góc $k=-11$. Giải $\frac{-11}{(x-2{)}^2}=-11\iff (x-2{)}^2=1\iff x=1$ hoặc $x=3$.
- Với $x_0=1$: $y_0=f(1)=\frac{3+5}{-1}=-8$, tiếp tuyến: $y=-8-11(x-1)=-11x+3$.
- Với $x_0=3$: $y_0=f(3)=\frac{9+5}{1}=14$... kiểm tra lại: $f(3)=\frac{14}{1}=14$, tiếp tuyến: $y=14-11(x-3)=-11x+47$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $y=-11x+3$ và $y=-11x+47$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Với $f(x)=\sqrt{6x+4}$: $f(0)=\sqrt{4}=2$, $f(2)=\sqrt{16}=4$. Do đó $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{6x+4}-2}{x}$ và $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{6x+4}-4}{x-2}$. Kiểm tra từng phương án: A sai vì tử số phải là $\sqrt{6x+4}-2$ chứ không phải $\sqrt{6x+4}-4$; B sai vì $f(2)=4$ nên tử số phải là $\sqrt{6x+4}-4$; C sai vì tử số phải là hiệu $\sqrt{6x+4}-4$; D đúng vì khớp hoàn toàn với định nghĩa đạo hàm tại $x=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $V(t)=5000{\left(1-\frac{t}{40}\right)}^2$, $0\le t\le 40$. Theo định nghĩa trong đề, lưu lượng $Q=V^{\prime }(t)=5000\cdot 2\left(1-\frac{t}{40}\right)\cdot \left(-\frac{1}{40}\right)=-250\left(1-\frac{t}{40}\right)$ lít/phút (giá trị âm vì thể tích giảm). Trong thực tế, lưu lượng nước chảy ra được hiểu là tốc độ dòng chảy — một đại lượng dương bằng $|Q(t)|=250\left(1-\frac{t}{40}\right)$ lít/phút. Đây chính là quy ước nhất quán của đáp án nguồn (trang 8, PHẦN II, Câu 2: SĐSS).
a) $V(30)=5000{\left(1-\frac{30}{40}\right)}^2=5000\cdot \frac{1}{16}=312,5$ lít $>300$ lít, nên khẳng định 'còn lại ít hơn 300 lít' là Sai.
b) Lưu lượng sau 5 phút: $|Q(5)|=250\left(1-\frac{5}{40}\right)=250\cdot \frac{35}{40}=218,75$ lít/phút → Đúng.
c) $Q(10)=-187,5$ lít/phút về dấu đại số, nhưng lưu lượng nước chảy (đại lượng dương) là $187,5$ lít/phút, không phải $-187,5$ lít/phút → Sai theo quy ước lưu lượng dương.
d) Bể chảy hết $\frac{3}{4}$ tức còn $V=1250$ lít: $5000{\left(1-\frac{t}{40}\right)}^2=1250\Rightarrow 1-\frac{t}{40}=\frac{1}{2}\Rightarrow t=20$ phút. Khi đó lưu lượng là $|Q(20)|=250\cdot \frac{1}{2}=125$ lít/phút (dương), không phải $-125$ lít/phút → Sai theo quy ước lưu lượng dương.
Đáp án nguồn (trang 8, PHẦN II, Câu 2): SĐSS — nhất quán với quy ước lưu lượng là tốc độ dòng chảy dương.
a) (AI giải đề cho tôi)
V(30)=312,5 lít > 300 lít nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lưu lượng sau 5 phút là 218,75 lít/phút → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lưu lượng (đại lượng dương) sau 10 phút là 187,5 lít/phút, không phải −187,5 lít/phút → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi bể còn 1/4 (t=20 phút), lưu lượng là 125 lít/phút (dương), không phải −125 lít/phút → Sai.

Ta có: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-3t+10$. Khi vận tốc của vật đạt $20m/s$ ta có: $$t^2-3t+10=20\iff t^2-3t-10=0$$ $$\iff \left[\begin{array}{c}t=5\\ t=-2\end{array}\right].$$ Vì $t>0$ nên nhận $t=5(s)$. Lúc đó quãng đường vật đi được là: $s(5)-s(0)=\frac{337}{6}-2\approx 54,2m$. Đáp án: 54,2

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2+6t+1$. Tại $t=5$: $v(5)=3\cdot 25+6\cdot 5+1=75+30+1=106$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn 106.

Nguồn lời giải (trang 9) được viết cho điểm $A(2;5)$, khác với đề bài $A(2;3)$ trên trang 6: a) Ta có $f^{\prime }(x)=2x+1$; b) Tính được hệ số góc của tiếp tuyến $f^{\prime }(2)=5$; Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm $A(2;5)$ là $y=f^{\prime }(2).(x-2)+5\iff y=5.(x-2)+5\iff y=5x-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2+2t+3$. Tại $t=3$: $v(3)=9+6+3=18$ (m/s). Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2+4t+3$. Tại $t=6$: $v(6)=3\cdot 36+4\cdot 6+3=108+24+3=135$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn 135.

Nguồn lời giải (trang 9) được viết cho điểm $A(2;5)$, khác với đề bài $A(2;3)$ trên trang 3: a) Ta có $f^{\prime }(x)=2x+1$; b) Tính được hệ số góc của tiếp tuyến $f^{\prime }(2)=5$; Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm $A(2;5)$ là $y=f^{\prime }(2).(x-2)+5\iff y=5.(x-2)+5\iff y=5x-5$.

$f(x)=x^3-3x^2+4x+3\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2-6x+4$.

Gọi $x_0$ là hoành độ của tiếp điểm.

Ta có: $f(x_0)=x_0^3-3x_0^2+4x_0+3=5\iff x_0^3-3x_0^2+4x_0-2=0\iff x_0=1$.

$f^{\prime }(1)=3.1^2-6.1+4=1$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+4x+1$ tại điểm có tung độ bằng 5 là $y=1(x-1)+5\iff y=x+4$.