Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2,0+2,5+2,5+2,4+2,3}{5}=\frac{11,7}{5}=2,34$. Phương sai: $s^2=\frac{(2,0-2,34{)}^2+(2,5-2,34{)}^2+(2,5-2,34{)}^2+(2,4-2,34{)}^2+(2,3-2,34{)}^2}{5}=\frac{0,1156+0,0256+0,0256+0,0036+0,0016}{5}=\frac{0,172}{5}=0,0344$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (Phần III):

a) Mẫu số liệu tổ B: $0,5;7,0;8,5;9,0;9,0;9,0;9,5;9,5;9,5;9,8;10,0$ ($n=11$).

Tổng: $0,5+7,0+8,5+9,0+9,0+9,0+9,5+9,5+9,5+9,8+10,0=91,3$.

Số trung bình: ${\bar{x}}_B=\frac{91,3}{11}=8,3$.

Tổng bình phương độ lệch:
$$(0,5-8,3{)}^2=60,84;(7,0-8,3{)}^2=1,69;(8,5-8,3{)}^2=0,04;$$
$$3\cdot (9,0-8,3{)}^2=3\cdot 0,49=1,47;3\cdot (9,5-8,3{)}^2=3\cdot 1,44=4,32;$$
$$(9,8-8,3{)}^2=2,25;(10,0-8,3{)}^2=2,89.$$
Tổng $=73,5$. Phương sai: $s_B^2=\frac{73,5}{11}\approx 6,6818$.

Độ lệch chuẩn: $s_B=\sqrt{6,6818}\approx 2,58$.

b) Tổ A: $7,3;8,3;7,8;8,0;8,8;8,0;8,5;9,0;7,5;8,3;9,8$.
${\bar{x}}_A=\frac{7,3+8,3+7,8+8,0+8,8+8,0+8,5+9,0+7,5+8,3+9,8}{11}=\frac{91,3}{11}=8,3$.

Vì ${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B=8,3$ nên theo số trung bình, điểm kiểm tra trung bình của hai tổ như nhau.

Xét giá trị ngoại lệ theo quy tắc $[Q_1-1,5IQR;Q_3+1,5IQR]$:

- Tổ A (sắp xếp): $7,3;7,5;7,8;8,0;8,0;8,3;8,3;8,5;8,8;9,0;9,8$. Với $n=11$: $Q_1$ là giá trị thứ $3$ nên $Q_1=7,8$; $Q_3$ là giá trị thứ $9$ nên $Q_3=8,8$; $IQR=1,0$. Khoảng chấp nhận: $[7,8-1,5;8,8+1,5]=[6,3;10,3]$. Mọi giá trị của tổ A đều nằm trong khoảng này nên tổ A không có giá trị ngoại lệ.

- Tổ B (sắp xếp): $0,5;7,0;8,5;9,0;9,0;9,0;9,5;9,5;9,5;9,8;10,0$. Ta có $Q_1=8,5$, $Q_3=9,5$, $IQR=1,0$. Khoảng chấp nhận: $[8,5-1,5;9,5+1,5]=[7,0;11,0]$. Giá trị $0,5<7,0$ nên $0,5$ là giá trị ngoại lệ của tổ B (riêng $7,0$ nằm đúng biên dưới nên không phải ngoại lệ).

Bỏ giá trị ngoại lệ $0,5$ của tổ B, số trung bình mới của tổ B:
$${\bar{x}}_B^{\prime }=\frac{91,3-0,5}{10}=\frac{90,8}{10}=9,08.$$

Vì ${\bar{x}}_B^{\prime }=9,08>8,3={\bar{x}}_A$, sau khi bỏ giá trị ngoại lệ, điểm kiểm tra trung bình của tổ B cao hơn tổ A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37 (n = 9). Tứ phân vị: Q1 = giá trị thứ (9+1)/4 = 2,5 nên Q1 = (3+9)/2 = 6; Q3 = giá trị thứ 7,5 nên Q3 = (12+12)/2 = 12; IQR = 12 - 6 = 6. Khoảng biến thiên hợp lệ: [Q1 - 1,5·IQR; Q3 + 1,5·IQR] = [-3; 21]. Giá trị 37 nằm ngoài khoảng này nên 37 là giá trị ngoại lệ. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng điểm lớp A: 148, trung bình ${\bar{x}}_A=148/25=5,92$; lớp B: 157, ${\bar{x}}_B=157/25=6,28$. a) Sai vì $5,92<6,28$. b) Sắp xếp: trung vị lớp A là số thứ 13 bằng 6; trung vị lớp B cũng bằng 6, nên hai trung vị bằng nhau, khẳng định 'lớp A lớn hơn lớp B' sai. c) $\sum x_i^2$ lớp A bằng 984 nên $s_A^2=984/25-5,92^2=39,36-35,0464=4,3136$; $\sum x_i^2$ lớp B bằng 1063 nên $s_B^2=1063/25-6,28^2=42,52-39,4384=3,0816$. Đúng. d) Vì $s_B^2<s_A^2$, lớp B có điểm đồng đều hơn lớp A. Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: c, d đúng; a, b sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=5,92<{\bar{x}}_B=6,28$ nên điểm trung bình lớp A nhỏ hơn lớp B.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị lớp A bằng 6 và trung vị lớp B bằng 6, hai trung vị bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2=984/25-5,92^2=4,3136$; $s_B^2=1063/25-6,28^2=3,0816$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $s_B^2=3,0816<s_A^2=4,3136$ nên lớp B có điểm số đồng đều hơn lớp A.

(AI giải đề cho tôi)
Số quan sát $n=10$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{14+16+17+18\cdot 2+19+20\cdot 2+21+22}{10}=\frac{185}{10}=18,5$. Tổng bình phương: $14^2+16^2+17^2+2\cdot 18^2+19^2+2\cdot 20^2+21^2+22^2=3475$. Phương sai: $s^2=\frac{3475}{10}-18,5^2=347,5-342,25=5,25$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 5,25.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình thống kê, lượng khách quốc tế (nghìn lượt) theo 5 châu lục 6 tháng năm 2022: Châu Mỹ 81,0; Châu Âu 96,4; Châu Á 392,1; Châu Phi 2,4; Châu Đại Dương 30,0 (n = 5).

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{81+96,4+392,1+2,4+30}{5}=\frac{601,9}{5}=120,38$.

Tổng bình phương độ lệch:
$(81-120,38{)}^2=1550,7844$;
$(96,4-120,38{)}^2=575,0404$;
$(392,1-120,38{)}^2=73831,7584$;
$(2,4-120,38{)}^2=13919,2804$;
$(30-120,38{)}^2=8168,5444$.
Tổng: $98045,408$.

Phương sai (chia cho n = 5): $s^2=\frac{98045,408}{5}=19609,0816$.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+5+2+1+1=10$. Dãy dữ liệu đã sắp xếp: $4;5,5,5,5,5;6,6;7;8$.

Vì $n=10$ chẵn, chia mẫu số liệu thành hai nửa, mỗi nửa 5 giá trị:
- Nửa dưới: $4;5;5;5;5$ có trung vị $Q_1=5$.
- Nửa trên: $5;6;6;7;8$ có trung vị $Q_3=6$.

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=6-5=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số liệu: $34+34+36+35+33+31+30=233$, nên $\bar{x}=\frac{233}{7}$. Các độ lệch lần lượt là $\frac{5}{7};\frac{5}{7};\frac{19}{7};\frac{12}{7};-\frac{2}{7};-\frac{16}{7};-\frac{23}{7}$. Tổng bình phương độ lệch: $\frac{25+25+361+144+4+256+529}{49}=\frac{1344}{49}$. Phương sai mẫu $s^2=\frac{1344}{49\cdot 7}=\frac{1344}{343}\approx 3,92$, nên độ lệch chuẩn $s\approx 1,98\in (1;2)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+5+2+3+1=12$. Dãy dữ liệu đã sắp xếp: 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n+1}{4}=\frac{13}{4}=3,25$, nằm giữa giá trị thứ 3 và thứ 4 (đều bằng 5), nên $Q_1=5$.

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=\frac{39}{4}=9,75$, nằm giữa giá trị thứ 9 và thứ 10 (đều bằng 7), nên $Q_3=7$.

Khoảng tứ phân vị: $IQR=Q_3-Q_1=7-5=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{0,573}\approx 0,757$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 9): 7, 8, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 22.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n+1}{4}=2,5$, nên $Q_1=\frac{x_{(2)}+x_{(3)}}{2}=\frac{8+11}{2}=9,5$.

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=7,5$, nên $Q_3=\frac{x_{(7)}+x_{(8)}}{2}=\frac{19+20}{2}=19,5$.

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=19,5-9,5=10$.

(AI giải đề cho tôi) Mẫu số liệu (đã sắp xếp): 159; 160; 161; 162; 163; 165; 167; 168; 170; 172.
- a) Sai (theo đáp án chính thức mã đề 102; tuy nhiên tính trực tiếp $\bar{x}=164,7$, $s^2=17,61\approx 17,6$ nên ý này thực tế đúng — có mâu thuẫn giữa đáp án và tính toán).
- b) Đúng: $M_e=\frac{163+165}{2}=164$.
- c) Sai: $R=172-159=13\ne 12$.
- d) Đúng (theo đáp án chính thức mã đề 102, ${\Delta }_Q=7$).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (khớp bảng đáp án mã đề 102, Câu 2: S Đ S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi) Sắp xếp mẫu: 159; 160; 161; 162; 163; 165; 167; 168; 170; 172. Số trung bình $\bar{x}=\frac{1647}{10}=164,7$. Tổng bình phương lệch $=176,1$ nên $s^2=\frac{176,1}{10}=17,61\approx 17,6$. Về mặt tính toán phát biểu này đúng; tuy nhiên bảng đáp án chính thức của mã đề 102 Câu 2 cho ý a) là SAI, nên giữ nguyên theo đáp án chính thức.
b) (AI giải đề cho tôi) Mẫu đã sắp xếp: 159; 160; 161; 162; 163; 165; 167; 168; 170; 172. Có 10 giá trị nên trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $M_e=\frac{163+165}{2}=164$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi) $R=x_{\max }-x_{\min }=172-159=13\ne 12$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi) Mẫu đã sắp xếp: 159; 160; 161; 162; 163; 165; 167; 168; 170; 172. Theo đáp án chính thức, ${\Delta }_Q=7$ được chấp nhận là đúng (cách tính tứ phân vị có thể cho $Q_1=161,5$, $Q_3=168,5$ tùy phương pháp nội suy, khi đó ${\Delta }_Q=7$). Đúng theo đáp án chính thức của mã đề 102 Câu 2.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 159, 160, 161, 162, 163, 165, 167, 168, 170, 172 (n = 10).
- Số trung bình: $\bar{x}=\frac{159+160+161+162+163+165+167+168+170+172}{10}=\frac{1647}{10}=164,7$.
- a) Sai. Tổng bình phương độ lệch: $(-5,7{)}^2+(-4,7{)}^2+(-3,7{)}^2+(-2,7{)}^2+(-1,7{)}^2+(0,3{)}^2+(2,3{)}^2+(3,3{)}^2+(5,3{)}^2+(7,3{)}^2=176,1$, nên phương sai $s^2=\frac{176,1}{10}=17,61\ne 17,6$.
- b) Đúng. $Q_1$ là trung vị của nửa đầu (159, 160, 161, 162, 163) nên $Q_1=161$; $Q_3$ là trung vị của nửa sau (165, 167, 168, 170, 172) nên $Q_3=168$. Vậy ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=168-161=7$.
- c) Đúng. $n=10$ chẵn, $M_e=\frac{x_{(5)}+x_{(6)}}{2}=\frac{163+165}{2}=164$.
- d) Sai. Khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}=172-159=13\ne 12$.
Kết quả khớp bảng đáp án mã 101 Câu 1: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bình phương độ lệch bằng 176,1 nên $s^2=17,61\ne 17,6$, do đó sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=161$, $Q_3=168$ nên ${\Delta }_Q=7$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M_e=\frac{163+165}{2}=164$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=172-159=13\ne 12$, do đó sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=8$ giá trị: $40,45,49,54,57,60,62,80$. Tổng $\sum x_i=447$ nên $\overline{x}=55,875$. Tổng bình phương độ lệch $\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=1058,875$, suy ra phương sai $s^2=1058,875/8\approx 132,36>100$ (a đúng); độ lệch chuẩn $s\approx 11,50>10$ (b sai). Khoảng biến thiên $R=80-40=40$. Với $n=8$: $Q_1=\frac{45+49}{2}=47$, $Q_3=\frac{60+62}{2}=61$, khoảng tứ phân vị $IQR=14<40$ (c sai). Ngưỡng bất thường: dưới $Q_1-1,5\cdot 14=26$ và trên $Q_3+1,5\cdot 14=82$; giá trị $80$ nằm trong $(26;82)$ nên không có giá trị bất thường (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai $s^2\approx 132,36>100$ nên mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn $s\approx 11,50>10$ nên mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $40$ lớn hơn khoảng tứ phân vị $14$ nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Ngưỡng bất thường là dưới $26$ và trên $82$; giá trị $80$ không vượt ngưỡng nên không có giá trị bất thường, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+1+1+2+1+1=8$. Sắp xếp mẫu số liệu: $5,5,6,7,8,8,9,10$.

- Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là trung bình cộng của giá trị thứ 2 và thứ 3: $Q_1=\frac{5+6}{2}=5,5$.
- Tứ phân vị thứ hai (trung vị): $Q_2=\frac{7+8}{2}=7,5$.
- Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là trung bình cộng của giá trị thứ 6 và thứ 7: $Q_3=\frac{8+9}{2}=8,5$.

Vậy khoảng tứ phân của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=8,5-5,5=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hà Nội: min = 23, max = 35 nên khoảng biến thiên R = 35 - 23 = 12 → a đúng. Điện Biên: min = 16, max = 28 nên R = 28 - 16 = 12, bằng khoảng biến thiên của Hà Nội → b đúng. Sắp xếp mẫu Điện Biên: 16, 24, 25, 26, 26, 27, 28; trung vị là số thứ tư bằng 26, không phải 25 → c sai. Phương sai: Hà Nội có mean = 204/7 ≈ 29,14, $s_{HN}^2\approx 16,41$; Điện Biên có mean = 172/7 ≈ 24,57, $s_{DB}^2\approx 13,67$. Vì phương sai của Hà Nội lớn hơn nên nhiệt độ Hà Nội phân tán hơn, không đồng đều hơn Điện Biên → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 35 - 23 = 12.
b) (AI giải đề cho tôi)
R_HN = 12, R_DB = 28 - 16 = 12, giống nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Dãy Điện Biên sắp xếp: 16, 24, 25, 26, 26, 27, 28; trung vị = 26 ≠ 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_{HN}^2\approx 16,41>s_{DB}^2\approx 13,67$ nên Hà Nội phân tán hơn, không đồng đều hơn Điện Biên.

(AI giải đề cho tôi)
Số liệu gồm $n=10$ giá trị: $12,7,10,9,12,9,10,11,10,14$.

Bước 1: Tính số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{12+7+10+9+12+9+10+11+10+14}{10}=\frac{104}{10}=10,4$$

Bước 2: Tính tổng bình phương các giá trị:
$$\sum x_i^2=144+49+100+81+144+81+100+121+100+196=1216$$

Bước 3: Tính phương sai:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{1216}{10}-(10,4{)}^2=121,6-108,16=13,44$$

Vậy phương sai của mẫu số liệu là $s^2=13,44$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 6, 7, 8, 8, 9, 11, 13, 14 (n = 8).
a) Khoảng tứ phân vị:
- Tứ phân vị thứ nhất: Q1 là trung bình của số thứ 2 và 3: Q1 = (7 + 8)/2 = 7,5.
- Tứ phân vị thứ ba: Q3 là trung bình của số thứ 6 và 7: Q3 = (11 + 13)/2 = 12.
- Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q3 − Q1 = 12 − 7,5 = 4,5.
b) Phương sai:
- Số trung bình: x̄ = (13 + 6 + 8 + 11 + 14 + 9 + 8 + 7)/8 = 76/8 = 9,5.
- Tổng bình phương: 13² + 6² + 8² + 11² + 14² + 9² + 8² + 7² = 169 + 36 + 64 + 121 + 196 + 81 + 64 + 49 = 780.
- Phương sai: s² = (1/8)·780 − 9,5² = 97,5 − 90,25 = 7,25.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa trong thống kê, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (đề 0103, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số bàn thắng đội Việt Nam: 4+3+2+1+6+2+3+3+2+2+3+5 = 36, số trung bình = 36/12 = 3. Tổng số bàn thắng đội Thái Lan: 6+8+0+0+3+4+3+2+3+1+1+5 = 36, số trung bình = 3. Hai số trung bình bằng nhau nên ý a) sai.
Phương sai đội Việt Nam: các độ lệch so với mean 3 là (1;0;-1;-2;3;-1;0;0;-1;-1;0;2), tổng bình phương = 1+0+1+4+9+1+0+0+1+1+0+4 = 22, s² = 22/12 = 11/6 ≈ 1,833, s ≈ 1,354. Phương sai đội Thái Lan: các độ lệch (3;5;-3;-3;0;1;0;-1;0;-2;-2;2), tổng bình phương = 9+25+9+9+0+1+0+1+0+4+4+4 = 66, s² = 66/12 = 5,5, s ≈ 2,345. Vì s_VN < s_Thái Lan nên đội Việt Nam ổn định hơn, ý b) sai (Thái Lan không ổn định hơn).
Khoảng biến thiên đội Việt Nam: R = 6 - 1 = 5, ý c) đúng.
Ý d) phát biểu độ lệch chuẩn là 1,83 và phương sai là 1,354, nhưng thực tế s² ≈ 1,833 và s ≈ 1,354 (hai giá trị bị hoán đổi vai trò), nên ý d) sai.
Kết quả: a) S, b) S, c) D, d) S — khớp hàng S S D S trong bảng đáp án trang 10.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Cả hai đội đều có tổng 36 bàn trong 12 trận nên số bàn thắng trung bình đều bằng 3, tức bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Độ lệch chuẩn đội Việt Nam ≈ 1,354 nhỏ hơn đội Thái Lan ≈ 2,345, nên đội Việt Nam ổn định hơn, không phải Thái Lan.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mẫu số liệu đội Việt Nam có min = 1, max = 6 nên R = 6 - 1 = 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Phương sai s² = 22/12 = 11/6 ≈ 1,833 và độ lệch chuẩn s ≈ 1,354. Đề phát biểu độ lệch chuẩn là 1,83 và phương sai là 1,354, đã hoán đổi vai trò của hai đại lượng, nên ý d) sai.