Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $SA$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$. $N$ thuộc $SB$ nên $N$ cũng thuộc $(SAB)$, do đó $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$. Để $MN$ song song với $(ABCD)$, theo định lí về giao tuyến, $MN$ phải song song với giao tuyến $AB$ của $(SAB)$ và $(ABCD)$. Trong tam giác $SAB$, đường thẳng qua $M$ (trung điểm $SA$) song song với $AB$ cắt $SB$ tại trung điểm của $SB$. Vậy $N$ phải là trung điểm $SB$, tức $\frac{SN}{SB}=\frac{1}{2}$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, $MN\parallel AB\parallel (ABCD)$ (vì $MN$ không nằm trong $(ABCD)$). Đáp án: $x=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, vì $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $EF\parallel BC$. Mà $BC\subset (BCD)$ và $EF\not\subset (BCD)$ (vì $E\in AB$, $F\in AC$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $EF\parallel (BCD)$. Vậy đáp án A. Các phương án khác sai: B sai vì $EF$ song song với $(BCD)$ nên không thể cắt; C sai vì $EF$ cắt mặt phẳng $(ABD)$ tại $E$; D sai vì $EF\subset (ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $AC$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $EF\not\subset (BCD)$ (vì $E\in AB$, mà $AB$ chỉ cắt $(BCD)$ tại $B$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $EF\parallel (BCD)$. Vậy đáp án A. Các phương án khác sai: B sai vì $EF$ song song với $(BCD)$; C sai vì $EF$ cắt $(ABD)$ tại $E$ nên không song song; D sai vì $EF\subset (ABC)$ nên không thể song song với $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $c$ là giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$. Vì $d\parallel (\alpha )$ nên $d$ không có điểm chung với $(\alpha )$, do đó $d$ không thể trùng hoặc cắt giao tuyến $c$ (vì $c\subset (\alpha )$). Tương tự $d$ không nằm trong $(\beta )$. Mặt khác, nếu $d$ cắt $c$ tại một điểm thì điểm đó thuộc cả hai mặt phẳng, mâu thuẫn với $d\parallel (\alpha )$. Vậy $d$ và $c$ không có điểm chung, tức $c\parallel d$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau. B đúng: theo định lý, nếu $a\parallel (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b\parallel a$; do đó luôn tồn tại đường thẳng $b$ trong $(P)$ sao cho $b\parallel a$. C sai vì $a\parallel (P)$ và $b\subset (P)$ chỉ cho $a$ và $b$ không cắt nhau, chúng có thể chéo nhau chứ chưa chắc song song. D sai vì $a\parallel (P)$ và $b$ cắt $(P)$ thì $a$ và $b$ có thể song song (ví dụ $a$ nằm trong mặt phẳng song song với $(P)$ chứa... thực tế $a$ và $b$ có thể chéo nhau hoặc song song, không nhất thiết cắt nhau). Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBD$, $M$ là trung điểm $SB$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $MN\parallel BD$. Vì $BD\subset (SBD)$ và $MN\not\subset (SBD)$ nên $MN\parallel (SBD)$. Với các mặt phẳng khác: $BD$ không nằm trong $(SAB)$, $(SAC)$, $(SCD)$ nên không kết luận được song song theo định lý nhận biết; thực tế $MN$ cắt các mặt phẳng đó (chẳng hạn $MN$ cắt $(SAC)$ vì $BD$ cắt $AC$). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $MN\parallel (BCD)$. Các mặt phẳng $(ACD)$, $(ABD)$ chứa $M$ hoặc $N$ nên không thể song song với $MN$; $(ABC)$ chứa $MN$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ (do $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$, không thuộc $(BCD)$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $MN\parallel (BCD)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Lấy điểm $O$ bất kỳ trên $a$. Qua $O$ vẽ đường thẳng $b^{\prime }$ song song với $b$. Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $b^{\prime }$ không trùng với $a$, do đó $a$ và $b^{\prime }$ cắt nhau tại $O$ và xác định duy nhất một mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$ và $b^{\prime }$. Mặt phẳng này song song với $b$ (vì $b\parallel b^{\prime }\subset (\alpha )$ và $b\not\subset (\alpha )$). Mặt phẳng bất kỳ chứa $a$ và song song với $b$ đều phải chứa đường $b^{\prime }$ qua điểm bất kỳ trên $a$ song song với $b$, nên là duy nhất. Vậy có đúng 1 mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABD$ nên $G\in BI$ và $\frac{BG}{BI}=\frac{2}{3}$. Theo giả thiết $BM=2MC$ nên $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}$. Xét $\Delta BIC$ có $\frac{BG}{BI}=\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}$, theo định lý Thales ta được $MG\parallel IC$. Mà $IC\subset (ACD)$ và $MG$ không nằm trong $(ACD)$, do đó $MG\parallel (ACD)$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD,SD,SA$.

- A: Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $AB$, $Q$ là trung điểm $SA$ nên $MQ\parallel SB$. Vì $SB\subset (SBC)$ và $MQ\not\subset (SBC)$ nên $MQ\parallel (SBC)$. Khẳng định A đúng.

- B: $P$ là trung điểm $SD$ và $Q$ là trung điểm $SA$, cả $P$ và $Q$ đều nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, do đó $PQ\subset (SAD)$. Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng không thể song song với mặt phẳng đó, nên khẳng định $PQ\parallel (SAD)$ là sai. (Chú ý: trong tam giác $SAD$ thì $PQ\parallel AD$, nhưng $PQ$ nằm trong $(SAD)$.)

- C: Với hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$. Cụ thể $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B})$; vì $A+C=B+D$ (tính chất hình bình hành) suy ra $\overrightarrow{MN}=\vec{C}-\vec{B}=\overrightarrow{BC}$. Vậy $MN\parallel BC\parallel AD$. Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$. Khẳng định C đúng.

- D: Trong tam giác $SDC$, $P$ là trung điểm $SD$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $PN\parallel SC$. Vì $SC\subset (SBC)$ và $PN\not\subset (SBC)$ nên $PN\parallel (SBC)$. Khẳng định D đúng.

Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ACD)$ và $MN\not\subset (ACD)$ nên $MN\parallel (ACD)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$, $J$ lần lượt là trọng tâm của $△ABC$ và $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (cùng phương với các cạnh bên của lăng trụ). Xét các mặt của lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: hai mặt đáy $(ABC)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt đường thẳng $IJ$ nên không song song với $IJ$. Ba mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ đều chứa các đường thẳng song song với $A{A}^{\prime }$ (chính là các cạnh bên), do đó đều song song với $IJ$. Vậy $n=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $d\not\subset (a)$:
- A đúng: Nếu $d//(a)$, lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $d$, giao tuyến $(\alpha )\cap (a)=\Delta$ thì $d//\Delta$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng).
- B sai: Nếu $d//(a)$ và $b\subset (a)$ thì $d$ và $b$ không thể cắt nhau (vì $d$ không có điểm chung với $(a)$), nhưng chúng có thể chéo nhau, không nhất thiết song song. Ví dụ trong hình hộp, đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ nhưng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ chéo với $BC$.
- C đúng: $d\cap (a)=A$. Nếu $\Delta$ đi qua $A$ thì $d$ cắt $\Delta$ tại $A$; nếu $\Delta$ không đi qua $A$ thì $d$ và $\Delta$ không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng, tức chéo nhau.
- D đúng: $d//c$, $c\subset (a)$, $d\not\subset (a)$ nên theo định lý về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, $d//(a)$.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$. Các phương án khác sai vì $MN$ cắt hoặc nằm trong các mặt phẳng đó: $MN$ nằm trong $(SAC)$, cắt $(SBC)$, $(SAB)$, $(SCD)$ tại các điểm thuộc $S$-side... cụ thể $MN$ không song song với $(SBC)$ vì $MN$ và $(SBC)$ có điểm chung khi xét đường thẳng qua $N$... đơn giản: $MN$ cắt mặt $(SBC)$, $(SAB)$, $(SCD)$ (chúng chứa $S$ và $MN$ không qua $S$ nhưng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ cắt các mặt đó theo các đường qua $S$ không song song $MN$). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $AC$ nên $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ nên $MN\parallel (BCD)$. ĐÚNG.
b) Tương tự: $MN\parallel BC$ và $NP\parallel CD$ ($N,P$ trung điểm $AC,AD$ trong tam giác $ACD$). Trong $(MNP)$ có hai đường thẳng cắt nhau $MN,NP$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $BC,CD$ của $(BCD)$, nên $(MNP)\parallel (BCD)$. ĐÚNG.
c) $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $MP\parallel BD$. $MP$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ còn $BC$ nằm trong $(BCD)$; $MP$ không song song với $BC$ (vì $BD$ cắt $BC$ tại $B$) và $MP$ không nằm trong $(BCD)$, nên $MP$ và $BC$ chéo nhau, không cắt nhau. SAI.
d) $(DMN)\cap (ACD)$: cả hai mặt phẳng đều chứa điểm $D$; hơn nữa $N\in AC\subset (ACD)$ và $N\in (DMN)$, nên giao tuyến là đường thẳng $DN$ chứ không phải $DM$ ($M\notin (ACD)$). SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng. Xét từng khẳng định: A) Sai, vì $a$ có thể nằm trong $(P)$ hoặc cắt $(P)$; $a\parallel (P)$ và $b\subset (P)$ chỉ cho $a$ và $b$ không cắt nhau (có thể chéo nhau). B) Sai, vì có thể $a\subset (P)$. C) Đúng: nếu $a\parallel b$, $b\subset (P)$ và $a\notin (P)$ thì theo định lý về dấu hiệu song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, $a\parallel (P)$. D) Sai, vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ (do $M\notin (BCD)$ vì $M$ nằm trên $AB$ mà $AB$ chỉ cắt $(BCD)$ tại $B$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $MN\parallel (BCD)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$ (vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, giao của hai đường chéo), $M$ là trung điểm $SA$. Suy ra $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $OM//SC$. Vì $SC\subset (SCD)$ và $OM\not\subset (SCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $OM//(SCD)$. Các phương án khác sai vì $OM$ cắt các mặt phẳng $(SBD)$ (tại điểm trong đoạn... thực chất $OM$ không song song với $(SBD)$, $(SAD)$, $(SAB)$ do $M\in (SAD)$ và $M\in (SAB)$ nên $OM$ không thể song song với hai mặt phẳng chứa $M$). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$. Đường thẳng $DC$ nằm trong mặt phẳng $(SDC)$, còn $AB$ không nằm trong $(SDC)$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng (nếu đường thẳng ngoài mặt phẳng song song với một đường thẳng trong mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng đó), ta có $AB\parallel (SDC)$. Kiểm tra các phương án khác: $AB$ cắt $(SAC)$ tại $A$, cắt $(SBC)$ tại $B$, nên không song song. Vậy đáp án B.