Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SAC, M là trung điểm SA, N là trung điểm SC nên MN là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (ABCD)$. Vậy A đúng. Các phương án B, D sai vì MN cắt các mặt phẳng (SAB), (SBC) tại M, N. Phương án C sai: nếu $MN\parallel (SBD)$ thì do $MN\parallel AC$ ta có $AC\parallel (SBD)$, nhưng AC cắt BD tại giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD, mâu thuẫn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì $M,N$ là trung điểm $SA,SD$ nên $MN//AD$. Mà $AD//BC$ (hình bình hành) nên $MN//BC$, với $MN\not\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$. Suy ra $MN//(SBC)$.

b) Đúng. $O$ là giao hai đường chéo nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$. Trong tam giác $SAC$: $OM//SC$. Trong tam giác $SBD$: $ON//SB$. Hai đường thẳng cắt nhau $OM,ON$ lần lượt song song với $SC,SB$ của mặt phẳng $(SBC)$ nên $(OMN)//(SBC)$.

c) Sai. Vì $(OMN)//(SBC)$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(OMN)$, kể cả $MF$ với $F\in ON$, đều song song hoặc nằm trong mặt $(SBC)$ (không cắt). Thực tế $MF\subset (OMN)//(SBC)$ nên $MF$ không cắt $(SBC)$.

d) Đúng. Tập hợp điểm $G$ thuộc $(ABCD)$ cách đều $AB$ và $CD$ là đường trung bình của hình bình hành, tức đường thẳng qua $O$ song song với $AB$ (và $CD$). Xét mặt phẳng $(\alpha )$ qua $N$ song song $(SAB)$: trong $(SAD)$, đường qua $N$ song song $SA$ cắt $AD$ tại trung điểm $K$ của $AD$; khi đó $(\alpha )\cap (ABCD)$ là đường thẳng qua $K$ song song $AB$, chính là đường trung bình qua $O$. Vậy với mọi $G$ trên đường này, $GN\subset (\alpha )//(SAB)$, tức $GN//(SAB)$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $MN//AD//BC$, do đó $MN//(SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O$ trung điểm $AC,BD$ nên $OM//SC$, $ON//SB$; hai đường cắt nhau nên $(OMN)//(SBC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MF\subset (OMN)//(SBC)$ nên $MF$ song song với $(SBC)$, không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G$ nằm trên đường trung bình qua $O$ song song $AB$; mặt phẳng qua $N$ song song $(SAB)$ cắt $(ABCD)$ theo đường thẳng này nên $GN//(SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $O$ là giao hai đường chéo hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$; $M$ là trung điểm $SA$. Vậy $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$. Mà $SC\subset (SBC)$ và $OM\not\subset (SBC)$, do đó $OM\parallel (SBC)$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Xét tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$, do đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$. Mà $SC\subset (SBC)$ và $OM\not\subset (SBC)$, nên $OM\parallel (SBC)$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1105.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$. Đường thẳng $b$ là giao tuyến của $(Q)$ và $(P)$ nên $b\subset (P)$. Trong mặt phẳng $(Q)$, $a$ và $b$ phân biệt (vì $a$ không nằm trong $(P)$ còn $b\subset (P)$) và $a$ không cắt $b$ (nếu cắt thì điểm chung thuộc $(P)$, mâu thuẫn với $a\parallel (P)$). Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng $(Q)$ và không cắt nhau thì song song. Vậy $a\parallel b$, đáp án C, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$. Các phương án B, C, D sai vì $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$ (nên không song song với $(SBC)$), và $MN$ cắt các mặt phẳng $(SAB)$, $(SAC)$ tại $M$, $N$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\subset (\alpha )$ và $b\not\subset (\alpha )$. Xét từng mệnh đề:
- A sai: nếu $b\parallel (\alpha )$ thì $b$ có thể song song hoặc chéo với $a$, không bắt buộc $b\parallel a$.
- B sai: nếu $b$ cắt $(\alpha )$ tại điểm $H$ không thuộc $a$ thì $b$ và $a$ chéo nhau, không cắt nhau.
- C đúng: nếu $b\parallel a$, $a\subset (\alpha )$, $b\not\subset (\alpha )$ thì theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $b\parallel (\alpha )$.
- D sai: nếu $b\parallel (\alpha )$ và $b\parallel c$ thì $c$ có thể nằm trong $(\alpha )$ (khi $c\subset (\alpha )$), nên không kết luận được $c\parallel (\alpha )$.
Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $MN//AC$. Mà $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN//(ABCD)$. Các phương án B, C sai vì $MN$ cắt các mặt phẳng $(SAB)$, $(SCD)$ tại $M$, $N$; phương án D sai vì nếu $MN//(SBC)$ thì do $MN//AC$ và $AC\cap (SBC)=C$ dẫn đến mâu thuẫn. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Xét mặt phẳng $(BCD)$: đường thẳng $BC$ nằm trong $(BCD)$, và $MN\not\subset (BCD)$ (vì $M\notin (BCD)$). Theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $MN\parallel (BCD)$. Các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ đều chứa $M$ hoặc $N$ (hoặc chứa đường thẳng cắt $MN$), nên không song song với $MN$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 112, câu 5).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì $M,N$ là trung điểm $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD$. Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, vậy $MN\parallel BC$. Vì $BC\not\subset (MNO)$ và $MN\subset (MNO)$ nên $BC\parallel (MNO)$.
b) Đúng. $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD$.
c) Đúng. $(SBD)$ chứa $S$, $O$ (vì $O$ là giao của $BD$ với $AC$, $O\in BD$); $(SAC)$ chứa $S$, $O$. Hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa $S$ và $O$ nên giao tuyến là $SO$.
d) Sai. $N\in SD\subset (SBD)$ nên $N$ nằm trong mặt phẳng $(SBD)$, do đó $NO$ không thể song song với $(SBD)$ ($NO$ cắt mặt phẳng tại $N$). Thực chất $NO$ là đường trung bình tam giác $SBD$ nên $NO\parallel SB$, nhưng vì $N$ thuộc $(SBD)$ nên khẳng định 'NO song song (SBD)' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, Đ, S.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Xét mặt phẳng $(BCD)$: đường thẳng $BC$ nằm trong $(BCD)$, còn $MN$ không nằm trong $(BCD)$ (vì $M\notin (BCD)$). Do đó $MN\parallel (BCD)$. Các mặt phẳng $(ACD)$, $(ABC)$, $(ABD)$ đều chứa $N$ hoặc $M$ (hoặc chứa đường thẳng cắt $MN$), nên không song song với $MN$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 111, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $BC$, khi đó $G$ nằm trên $AI$ với $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}$. Ta có $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AG}$. Vì $BM=2MD$ nên $\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}$, suy ra $\vec{M}$ là tổ hợp của $B,D$. Tính theo vectơ: $\overrightarrow{MG}=\frac{\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}}{3}$, tức $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ACD)$. Mặt khác $M\notin (ACD)$ (vì $M\in BD$, $BD$ cắt $(ACD)$ tại $D$), nên đường thẳng $MG$ song song với mặt phẳng $(ACD)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AD$. Vì $AD\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (ABCD)$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

Trong $(SAB)$ có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ (vì $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là đường trung bình của $△SAB$).

Mặt khác trong $(ABCD)$ ta có $AB\parallel CD$ do $ABCD$ là hình bình hành.

Từ đó ta có $\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }{B}^{\prime }\parallel CD\\ CD\subset (SCD)\\ A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (SCD)\end{array}\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
M là trọng tâm tam giác $ABC$ nên với $E$ là trung điểm $BC$, $A,M,E$ thẳng hàng và $AM=\frac{2}{3}AE$. Tương tự $N$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $AN=\frac{2}{3}AF$ với $F$ là trung điểm $BD$. Suy ra trong tam giác $AEF$: $\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}=\frac{2}{3}$, do đó $MN\parallel EF$. Mà $EF$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $EF\parallel CD$. Vậy $MN\parallel CD$. Do đó $MN$ song song với mọi mặt phẳng chứa $CD$: $(ACD)$, $(BCD)$, $(ECD)$. Còn $(ABD)$ chứa điểm $N$ nên $MN$ cắt (không song song với) $(ABD)$. Đáp án $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $MN\parallel CD$ với $CD\subset (ACD)$ và $MN\not\subset (ACD)$. Vậy $MN\parallel (ACD)$, đáp án B.

Kiểm tra các phương án khác:
- A: $MN$ cắt $(SBD)$ (vì $N\in SB\subset (SBD)$ nhưng $M\notin (SBD)$, đường thẳng $MN$ không song song với mặt phẳng chứa một điểm của nó), sai.
- C: $MN\subset (SAB)$ nên không thể song song với $(SAB)$, sai.
- D: $MN$ cắt $(SAC)$ tại $M$ (vì $M\in SA\subset (SAC)$), sai.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $A^{\prime },B^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$ nên $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là đường trung bình, do đó $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABCD)$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 2103: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$ nên theo định lí đường trung bình, $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABCD)$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$. Đáp án khớp với mã đề 1246: B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Vì $AB\parallel CD$ và $CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$, $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$. Khẳng định 'AB không song song' là sai.
b) Đúng: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ (tính chất hình hộp chữ nhật), $AB\subset (ABCD)$, $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$.
c) Sai: Mặt nước qua $E$ song song với đáy. Trong mặt phẳng chứa thanh $MN$, ta có $\frac{TB}{B{B}^{\prime }}=\frac{EN}{MN}=\frac{1,5}{4}$, suy ra $TB=3\cdot \frac{1,5}{4}=1,125$ m $\ne 2$ m.
d) Đúng: Nắp bể $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song với đáy $(ABCD)$ vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và hai đường thẳng này cắt nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$; khẳng định 'không song song' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, $AB\subset (ABCD)$, $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt nước qua $E$ song song với đáy nên $\frac{TB}{B{B}^{\prime }}=\frac{EN}{MN}=\frac{1,5}{4}$, suy ra $TB=3\cdot \frac{1,5}{4}=1,125$ m $\ne 2$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ với hai đường thẳng cắt nhau thuộc $(ABCD)$, nên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABCD)$.