Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: lấy $B$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{BD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$. Khi đó $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{BG}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{3}$; $M\in BC$ với $BM=\frac{1}{3}BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{\vec{c}}{3}$; $N\in SC$ với $SN=\frac{1}{3}SC$ nên $\overrightarrow{BN}=\vec{s}+\frac{\vec{c}-\vec{s}}{3}=\frac{2\vec{s}+\vec{c}}{3}$.

a) Ta có:
$$\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BG}=\frac{\vec{c}}{3}-\frac{\vec{c}+\vec{d}}{3}=-\frac{\vec{d}}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BD},$$
suy ra $GM\parallel BD\subset (SBD)$, do đó $GM\parallel (SBD)$.
Lại có:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{2\vec{s}+\vec{c}}{3}-\frac{\vec{c}}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BS},$$
suy ra $MN\parallel SB\subset (SBD)$, do đó $MN\parallel (SBD)$.
Hai đường thẳng $GM$ và $MN$ cắt nhau tại $M$ và cùng song song với mặt phẳng $(SBD)$, mặt phẳng $(GMN)$ không trùng $(SBD)$, vậy $(GMN)\parallel (SBD)$. (Điều này cũng đúng theo định lí Thales: trong tam giác $SBC$, $\frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CS}=\frac{2}{3}$ nên $MN\parallel SB$.)

b) Vì $(GMN)\parallel (SBD)$, hai mặt phẳng này cùng cắt mặt phẳng $(SDC)$, nên giao tuyến của $(GMN)$ với $(SDC)$ song song với giao tuyến của $(SBD)$ với $(SDC)$, tức song song với $SD$ (vì $(SBD)\cap (SDC)=SD$).
Mặt khác, vectơ $\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BS}$ là tổ hợp của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BS}$ của $(GMN)$, nên phương $SD$ nằm trong $(GMN)$; và $N\in SC\subset (SDC)$, $N\in (GMN)$.
Vậy giao tuyến của $(SDC)$ và $(GMN)$ là đường thẳng $d$ đi qua $N$ và song song với $SD$ (đường thẳng qua $N$, $N\in SC$, $d\parallel SD$).

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án chính thức, trang 9; không kèm lời giải chi tiết trong nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;2)$. Khi đó $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $E(1;\frac{1}{2};0)$, $I(0;0;1)$.

a) Đúng. Đường thẳng $IE$: $(t;\frac{t}{2};1-t)$. Mặt phẳng $(SBD)$ qua $S,B,D$ có phương trình $2x+2y+z=2$. Thay vào: $2t+t+1-t=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, tức $J$ với $\frac{IJ}{IE}=\frac{1}{2}$.

b) Sai. Mặt phẳng $(SCD)$ có phương trình $2y+z=2$. Đường $IE$ thay vào cho $2\cdot \frac{t}{2}+(1-t)=1\ne 2$ nên $IE\parallel (SCD)$. Mặt khác $OE$ có vectơ chỉ phương $(1;0;0)$ cùng phương với $DC$ nên $OE\parallel (SCD)$. Vectơ pháp tuyến của $(IOE)$ là $OE\times OI=(0;-1;-\frac{1}{2})$ cùng phương với $(0;2;1)$ — pháp tuyến của $(SCD)$. Vậy $(IOE)\parallel (SCD)$, hai mặt phẳng không cắt nhau, không tồn tại giao tuyến song song với $OE$.

c) Đúng. $O$ là trung điểm $AC$, $E$ là trung điểm $BC$ nên trong tam giác $ABC$, $OE\parallel AB\parallel DC$ với $DC\subset (SCD)$, $OE\not\subset (SCD)$. Vậy $OE\parallel (SCD)$.

d) Đúng. Theo lập luận trên $OE\parallel AB$ (đường trung bình của tam giác $ABC$).

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức MD 1111: Đ – S – Đ – Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hệ tọa độ đã chọn, đường thẳng $IE$: $(t;\frac{t}{2};1-t)$ cắt mặt phẳng $(SBD):2x+2y+z=2$ tại $t=\frac{1}{2}$, nên $\frac{IJ}{IE}=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả $OE\parallel DC\parallel (SCD)$ và $IE\parallel (SCD)$ (thay phương trình $IE$ vào $(SCD):2y+z=2$ cho $1\ne 2$), và pháp tuyến của $(IOE)$ là $(0;-1;-\frac{1}{2})$ cùng phương $(0;2;1)$. Vậy $(IOE)\parallel (SCD)$, hai mặt phẳng không có giao tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ trung điểm $AC$, $E$ trung điểm $BC$ nên $OE\parallel AB\parallel DC\subset (SCD)$ và $OE\not\subset (SCD)$, suy ra $OE\parallel (SCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $OE\parallel AB$.

Đáp số: 2027

Ta có: $\widehat{BAE}+\widehat{EAF}+\widehat{DAF}=90^o\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{DAF}=45^o$
$\Rightarrow \tan \left(\widehat{BAE}+\widehat{DAF}\right)=1\Rightarrow \frac{\tan \widehat{BAE}+\tan \widehat{DAF}}{1-\tan \widehat{BAE}.\tan \widehat{DAF}}=1$
Mà $\tan \widehat{BAE}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{2}$ nên $\tan \widehat{DAF}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{DF}{DA}=\frac{1}{3}\Rightarrow DF=\frac{1}{3}DA=\frac{1}{3}DC$
Gọi $H$ là giao điểm của $AF$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABCD)$
Ta có:
$\{\begin{array}{l}GF\subset (SAH)\\ GF//(SBC)\\ (SAH)\cap (SBC)=SH\end{array}\Rightarrow GF//SH$
$$\Rightarrow \frac{AG}{AS}=\frac{AF}{AH}.\text{Maˋ }\frac{AF}{AH}=\frac{DF}{DC}=\frac{1}{3}$$
$$\text{Neˆn }\frac{AG}{AS}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{GA}{GS}=\frac{1}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang AB // CD, AB = 2CD; E trung điểm AB; M trên SB với BM = 2SM (tức SM:MB = 1:2).

a) ĐÚNG. Vì E là trung điểm AB nên AE = AB/2 = CD, mà AE // CD nên tứ giác AECD là hình bình hành suy ra CE // AD.

b) ĐÚNG. Vì AB // CD, CD nằm trong (SCD) và AB không nằm trong (SCD), theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng thì AB // (SCD).

c) ĐÚNG. Ta có CD // AB nên CD // (SAB). Mặt phẳng (MCD) đi qua CD và cắt (SAB) theo giao tuyến d. Theo định lí về giao tuyến (nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia thì giao tuyến song song với đường thẳng đó), d // CD // AB và d đi qua M. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua M song song với AB.

d) ĐÚNG. Vì (P) // (SCD), giao tuyến của (P) với (SAB) là MN, nên MN // SD... chính xác hơn, giao tuyến (P)∩(SAB) song song với giao tuyến (SCD)∩(SAB) là đường d // AB, nên MN // AB. Tương tự PQ // CD // AB. Trong tam giác SAB: SM/SB = 1/3 nên MN/AB = SM/SB = 1/3 ⇒ MN = AB/3 = 2CD/3. Trong tam giác SAD: NP // SD nên AN/AS = SM/SB = 1/3 ⇒ AP/AD = 2/3. Tương tự trong tam giác SBC, điểm Q chia BC theo tỉ số BQ/BC = 2/3. Đặt hệ toạ độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(u;1;0), C(u+1;1;0) thì P = (2u/3; 2/3; 0), Q = (2 + 2(u−1)/3; 2/3; 0), suy ra PQ = 2 − 2/3 = 4/3 (độ dài, với CD = 1), tức PQ = 4CD/3. Vậy MN = 2CD/3 = PQ/2 ⇒ MN = (1/2)PQ, và MN // PQ nên MNPQ là hình thang có MN = (1/2)PQ. Khẳng định đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn ĐDDD (mã đề 0112).
a) (AI giải đề cho tôi)
AE = AB/2 = CD và AE // CD nên AECD là hình bình hành, suy ra CE // AD.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB // CD với CD ⊂ (SCD), AB ⊄ (SCD) nên AB // (SCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
CD // AB nên CD // (SAB); (MCD) chứa CD và cắt (SAB) theo giao tuyến d đi qua M, với d // CD // AB.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN // AB với MN = AB/3 = 2CD/3 (do SM/SB = 1/3); PQ // CD với PQ = 4CD/3 (do AP/AD = BQ/BC = 2/3). Vậy MN // PQ và MN = (1/2)PQ: MNPQ là hình thang thoả mãn đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: E là trung điểm AD nên ED = AD/2 = BC, mà ED ∥ BC (cùng song song AD) ⇒ EBCD là hình bình hành ⇒ BE ∥ CD.
b) Đúng: BC ∥ AD, AD ⊂ (SAD), BC ⊄ (SAD) ⇒ BC ∥ (SAD).
c) Đúng: Vì BC ∥ (SAD) và BC ⊂ (MBC), mặt phẳng (MBC) cắt (SAD) theo giao tuyến d đi qua M và d ∥ BC; mà BC ∥ AD nên d ∥ AD.
d) Sai: Chọn tọa độ A(0;0;0), D(2;0;0), B(1;1;0), C(2;1;0), S(0;0;3). Khi đó M trên SD với SM = 2MD: M(4/3;0;1). Mặt phẳng (SBC) có phương trình 3y + z = 9, nên (P) qua M song song (SBC) là 3y + z = 1. T giao: N trên SA: N(0;0;1); P trên AB: P(1/3;1/3;0); Q trên CD: Q(2;1/3;0). Suy ra MN = 4/3, PQ = 5/3, MN ∥ PQ nên MNPQ là hình thang nhưng MN = (4/5)PQ ≠ (3/4)PQ ⇒ khẳng định d) sai. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
E trung điểm AD nên ED = BC và ED ∥ BC ⇒ EBCD là hình bình hành ⇒ BE ∥ CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD ⊂ (SAD) và BC ⊄ (SAD) ⇒ BC ∥ (SAD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì BC ∥ (SAD), giao tuyến của (MBC) và (SAD) đi qua M và song song với BC, do đó song song với AD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ A(0;0;0), D(2;0;0), B(1;1;0), C(2;1;0), S(0;0;3) thì M(4/3;0;1), (P): 3y+z=1, cho N(0;0;1), P(1/3;1/3;0), Q(2;1/3;0). MN = 4/3, PQ = 5/3 ⇒ MN = (4/5)PQ ≠ (3/4)PQ.

$\frac{SH}{HB}.\frac{BD}{DO}.\frac{OI}{IS}=1\iff \frac{SH}{HB}.\frac{3}{1}.\frac{1}{2}=1$
$\iff \frac{SH}{HB}=\frac{2}{3}\iff \frac{SH}{SB}=\frac{2}{5}$
$\iff SH=\frac{2}{5}SB=\frac{2}{5}AB=\frac{4}{5}$
$SE=\frac{2}{3}SA=\frac{2}{3}AB=\frac{4}{3}$;
$FH=EH=\sqrt{S{E}^2+S{H}^2-2.SE.SH.\cos 60^{\circ }}=\frac{4\sqrt{19}}{15}$
$EF=\frac{2}{3}AC=\frac{4\sqrt{2}}{3}\Rightarrow S_{\Delta HEF}=\frac{8\sqrt{13}}{45};\frac{AK}{EH}=\frac{3}{2}$
$\Delta KAC\sim \Delta HEF\Rightarrow S_{\Delta KAC}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2{S}_{\Delta HEF}=\frac{2\sqrt{13}}{5}\approx 1,44$

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án nguồn (mã 211, câu 15) là ĐĐSĐ, khớp với kết quả giải độc lập:

a) ĐÚNG. Tập các điểm trong $(ABCD)$ cách đều $AB$ và $CD$ (hai đường thẳng song song) là đường trung bình của hình bình hành, đi qua trung điểm $P$ của $AD$, trung điểm $Q$ của $BC$ và tâm $O$. Xét mặt phẳng qua $N$ song song $(SAB)$: nó cắt $(SAD)$ theo đường thẳng qua $N$ song song $SA$ (cụ thể trong tam giác $SAD$, đường qua trung điểm $N$ của $SD$ song song $SA$ đi qua trung điểm $P$ của $AD$), và cắt $(ABCD)$ theo đường qua $P$ song song $AB$ — chính là đường trung bình $PQ$. Vậy với mọi $G$ trên đường trung bình này, $GN\parallel (SAB)$. → Đúng.

b) Trong tam giác $SAD$, $M$ trung điểm $SA$, $N$ trung điểm $SD$ nên $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $MN\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$. Suy ra $MN\parallel (SBC)$. → Đúng.

c) Trong tam giác $SAC$: $O$ trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ trung điểm $SA$ nên $OM\parallel SC$. Trong tam giác $SBD$: $O$ trung điểm $BD$, $N$ trung điểm $SD$ nên $ON\parallel SB$. Vì $OM,ON$ là hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(SBC)$ nên $(OMN)\parallel (SBC)$. Khi $F\in ON$ thì $F\in (OMN)$ và $M\in (OMN)$, do đó $MF\subset (OMN)\parallel (SBC)$, tức $MF$ không cắt mặt phẳng $(SBC)$. → Sai.

d) Như chứng minh ở ý c: $OM\parallel SC$, $ON\parallel SB$ nên $(OMN)\parallel (SBC)$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(1;0;0)$, $C=(0;1;0)$, $A^{\prime }=(0;0;h)$, $B^{\prime }=(1;0;h)$, $C^{\prime }=(0;1;h)$. Khi đó $M=(0;0;h/2)$, $N=(1/2;0;h/2)$, $P=(0;1/2;h/2)$.

a) $MN$ là đoạn nối trung điểm $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ nên $MN\parallel AB$, không song song với $AC$ (và $MN$ chéo với $AC$). → Sai.

b) Mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $\overrightarrow{M{B}^{\prime }}=(1;0;h/2)$, $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=(0;1;h/2)$, pháp tuyến $\vec{n}=(-h/2;-h/2;1)$. Ta có $\overrightarrow{AP}=(0;1/2;h/2)$, tích vô hướng $\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=-h/4+h/2=h/4\ne 0$, nên $AP$ không song song với $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. → Sai.

c) Mặt phẳng $(ANP)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{AN}\times \overrightarrow{AP}=(-h^2/4;-h/4;1/4)$, khác phương với pháp tuyến $(0;0;1)$ của $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, nên hai mặt phẳng không song song (chúng cắt nhau theo đường thẳng qua $A$). → Sai.

d) Với $AB=\sqrt{3}$, tọa độ nhân hệ số $\sqrt{3}$: $E=(\sqrt{3}/2;0;0)$, $E^{\prime }=(\sqrt{3}/3;0;h)$. Mặt phẳng qua $E{E}^{\prime }$ song song $BC$ (chỉ phương $(-1;1;0)$) có phương trình (đơn vị $AB=1$): $hx+hy+\frac{z}{6}=\frac{h}{2}$.
- Trên $MN$: điểm $(t;0;h/2)$ thỏa $ht+h/12=h/2\Rightarrow t=5/12$, nên $I=(5/12;0;h/2)$.
- Trên $MP$: điểm $(0;s/2;h/2)$ thỏa $hs/2+h/12=h/2\Rightarrow s=5/6$, nên $J=(0;5/12;h/2)$.

$IJ=\sqrt{(5/12{)}^2+(5/12{)}^2}=\frac{5\sqrt{2}}{12}$ (với $AB=1$). Nhân hệ số $\sqrt{3}$: $IJ=\frac{5\sqrt{6}}{12}$. Vậy $a=5$, $b=12$ (tối giản), $a+b=17$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ nối trung điểm $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ nên $MN\parallel AB$, không song song với $AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với pháp tuyến $\vec{n}=(-h/2;-h/2;1)$ của $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, $\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=h/4\ne 0$ nên $AP$ không song song với $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(ANP)$ chứa $A$ không thuộc $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và pháp tuyến không cùng phương, hai mặt phẳng cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ được $I=(5/12;0;h/2)$, $J=(0;5/12;h/2)$ (đơn vị $AB=1$), $IJ=5\sqrt{2}/12$; với $AB=\sqrt{3}$ thì $IJ=\frac{5\sqrt{6}}{12}$, $a+b=5+12=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A$ làm gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ thì $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Vì $O$ là trung điểm $AC$ và $M$ là trung điểm $AO$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}(\vec{b}+\vec{d})$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$, song song với $BD$ và $SA$, cắt $SC$ tại $N$. Vì $SA\parallel (\alpha )$, trong mặt phẳng $(SAC)$ đường thẳng qua $M$ song song với $SA$ cắt $SC$ tại $N$. Tọa độ hóa: $N=M+t\overrightarrow{AS}$ cũng nằm trên $SC$: $N=S+u(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AS})$. So sánh hệ số theo $\overrightarrow{AC}$: $u=\frac{1}{4}$; hệ số theo $\overrightarrow{AS}$: $t=1-u=\frac{3}{4}$. Vậy $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$, suy ra $SN=\frac{1}{4}SC$, $NC=\frac{3}{4}SC$, do đó $k=\frac{SN}{NC}=\frac{1}{3}\approx 0,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(ABC)$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AC$ tại $P$. Vì $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$ nên theo Thales $\frac{AP}{AC}=\frac{1}{3}$, do đó $\frac{CP}{CA}=\frac{2}{3}$. Trong mặt phẳng $(ACD)$, mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $MP$ song song $BC$; mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $(ACD)$ theo đường thẳng qua $P$ song song với $AD$ (vì $\alpha \parallel AD$), cắt $CD$ tại $N$. Khi đó $PN\parallel AD$ nên $\frac{CN}{CD}=\frac{CP}{CA}=\frac{2}{3}$. Vậy $CN=\frac{2}{3}\cdot 6=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Ta có $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{G_{1}M}+\overrightarrow{M{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA})$. Lấy $I$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$, suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MI}$, tức $G_1{G}_2\parallel AB$ và $G_1{G}_2=\frac{2}{3}AB$... nhưng chú ý: $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA})=\frac{2}{3}\overrightarrow{MI}$ với $I$ trung điểm $AB$, do đó $G_1{G}_2=\frac{2}{3}MI=\frac{1}{3}AB$ (vì $MI=\frac{1}{2}AB$). Vậy mệnh đề $G_1{G}_2=\frac{2}{3}AB$ là SAI, đáp án D. Kiểm tra các mệnh đề còn lại: $G_1{G}_2\parallel AB$ nên $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ và $G_1{G}_2\parallel (ABC)$ (vì $G_1,G_2$ không thuộc các mặt phẳng đó) → B, C đúng. Xét tam giác $ABC$: $G_2$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên trên đường trung tuyến từ $A$; $G_1$ trọng tâm tam giác $BCD$ nên trên đường trung tuyến từ $B$ của tam giác $BCD$; ba đường thẳng $B{G}_1,A{G}_2$ và đường thẳng qua trọng tâm... thực chất $B{G}_1,A{G}_2,CD$ đồng quy tại giao của hai trung tuyến tương ứng trong mặt phẳng $(BCD)$-$(ACD)$ cấu trúc: $A{G}_2$ cắt $CD$ tại trung điểm $M$ của $CD$ (trung tuyến của tam giác $ACD$), $B{G}_1$ cắt $CD$ tại trung điểm $M$ của $CD$ (trung tuyến của tam giác $BCD$). Vậy cả $A{G}_2$ và $B{G}_1$ đều đi qua $M$ thuộc $CD$, ba đường thẳng đồng quy tại $M$ → A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giả thiết hình thang có $AD\parallel BC$ với $AD$ là đáy lớn (theo đề và hình vẽ trang đề).

**a) Chứng minh $MQ\parallel (SAB)$.**

Đường thẳng qua $M$ song song với $SA$ cắt $(SBC)$ tại $N$, nên $MN\parallel SA$.

Ta có:
- $SA\subset (SAB)$;
- $M$ nằm bên trong hình thang $ABCD$ (thuộc mặt đáy), mà $(SAB)\cap (ABCD)=AB$, và $M\notin AB$, suy ra $M\notin (SAB)$, do đó $MN\not\subset (SAB)$.

Vậy $MN\parallel (SAB)$. Vì $Q\in MN$ nên $MQ$ cùng nằm trên đường thẳng $MN$, suy ra $MQ\parallel (SAB)$. (Đpcm)

**b) Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.**

Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ với $BC$ (có vì $M$ nằm trong hình thang và $BC\parallel AD$).

Xét mặt phẳng $(SAMN)$: vì $MN\parallel SA$ nên $S,A,M,N$ đồng phẳng. Mặt phẳng này cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $SN$ (vì $S,N$ cùng thuộc cả hai mặt phẳng) và cắt mặt đáy theo $AM$. Điểm $K=AM\cap BC$ thuộc $AM\subset (SAMN)$ và thuộc $BC\subset (SBC)$, nên $K$ thuộc giao tuyến, tức là $S,N,K$ thẳng hàng, với thứ tự $A,M,K$ trên đường thẳng $AK$ và $N$ nằm giữa $S$ và $K$.

Trong mặt phẳng $(SAK)$, vì $MN\parallel SA$:
$$△KMN\sim △KSA\Rightarrow \frac{MN}{SA}=\frac{KM}{KA}.$$

Gọi $L$ là giao điểm của đường thẳng $BM$ với $AD$. Xét mặt phẳng $(SBMP)$: vì $MP\parallel SB$ nên $S,B,M,P$ đồng phẳng. Mặt phẳng này cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $SP$ và cắt mặt đáy theo $BM$. Điểm $L=BM\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng, nên $S,P,L$ thẳng hàng, với thứ tự $L,M,B$ và $P$ nằm giữa $S$ và $L$.

Trong mặt phẳng $(SBL)$, vì $MP\parallel SB$:
$$△LMP\sim △LSB\Rightarrow \frac{MP}{SB}=\frac{LM}{LB}.$$

Vì $AD\parallel BC$, áp dụng định lý Thales cho hai cột mốc $A,M,K$ và $L,M,B$ cùng đi qua $M$: các đoạn thẳng $AK$ và $BL$ bị các đường thẳng song song $AD\parallel BC$ cắt tại $A,L$ và $K,B$, nên
$$\frac{KM}{KA}+\frac{LM}{LB}=\frac{MK+ML}{?}$$
Cách thấy trực tiếp: vì $AD\parallel BC$, khoảng cách từ $M$ đến $AD$ cộng khoảng cách từ $M$ đến $BC$ bằng khoảng cách giữa hai đáy (chiều cao hình thang) $h$. Suy ra
$$\frac{KM}{KA}=\frac{h-d(M,AD)}{h}=1-\frac{d(M,AD)}{h},\frac{LM}{LB}=\frac{d(M,AD)}{h},$$
(vì $\frac{KM}{KA}=\frac{d(M,BC)}{h}$ và $\frac{LM}{LB}=\frac{d(M,AD)}{h}$ do $K\in BC$, $L\in AD$).
Cộng lại:
$$\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=\frac{KM}{KA}+\frac{LM}{LB}=\frac{d(M,BC)+d(M,AD)}{h}=\frac{h}{h}=1.$$

**Kết luận:** $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang $ABCD$ với $AD\parallel BC$, $AD=2BC$, giao điểm $O=AC\cap BD$ thỏa mãn $\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=2$, suy ra $\frac{DO}{DB}=\frac{2}{3}$. Trong tam giác $SBD$: $M\in SD$ với $MD=2MS$ nên $\frac{DM}{DS}=\frac{2}{3}$. Xét tam giác $SBD$ có $\frac{DM}{DS}=\frac{DO}{DB}=\frac{2}{3}$, theo định lý Thales (đảo) thì $OM\parallel SB$. Mà $SB\subset (SBC)$ và $OM$ không nằm trong $(SBC)$, do đó $OM\parallel (SBC)$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0005, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang $ABCD$ với $AD\parallel BC$, $AD=2BC$, giao điểm $O=AC\cap BD$ thỏa $\frac{DO}{OB}=\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=2$, suy ra $\frac{DO}{DB}=\frac{2}{3}$. Trong tam giác $SBD$, điểm $M$ thuộc $SD$ với $MD=2MS$ nên $\frac{DM}{DS}=\frac{2}{3}$. Xét tam giác $SBD$: $\frac{DO}{DB}=\frac{DM}{DS}=\frac{2}{3}$, theo định lý Thales (đảo) ta có $OM\parallel SB$. Vì $SB\subset (SBC)$ và $OM\not\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 8 mã đề 0004: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $a\parallel b$. Xét từng mệnh đề:
- A đúng: nếu $(P)$ cắt $a$ tại điểm $M$ thì $M\notin b$ (vì $b\parallel a$). Nếu $(P)$ không cắt $b$ thì $b\subset (P)$ hoặc $b\parallel (P)$; khi đó qua $M$ trong $(P)$ luôn kẻ được đường thẳng song song với $b$, tức song song với $a$, và đường thẳng đó cắt $a$ tại $M$ — mâu thuẫn với tính chất đường thẳng song song. Vậy $(P)$ phải cắt $b$.
- B sai: $(P)$ song song với $a$ vẫn có thể chứa $b$ (ví dụ $(P)$ chứa $b$ và $b\parallel a$ thì $(P)\parallel a$ nhưng $(P)$ không song song với $b$ vì $(P)$ chứa $b$). Đây là mệnh đề sai.
- C đúng: vì $a\parallel b$, nếu $b\not\subset (P)$ thì $b\parallel (P)$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng); còn nếu $b\subset (P)$ thì $(P)$ chứa $b$.
- D đúng: tồn tại mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng song song $a$ và $b$.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy $A$ làm gốc, $G=\frac{A+B+D}{3}$, $M=\frac{B+2C}{3}$ (vì $BM=2MC$). Suy ra $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{A+D-2C}{3}=\frac{(A-C)+(D-C)}{3}$, tức $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp của hai vectơ $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ACD)$. Mặt khác $G\notin (ACD)$ (vì $G$ chứa thành phần $B$), nên $MG\parallel (ACD)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
1. $a//b,b\subset (P)\Rightarrow a//(P)$: SAI, vì $a$ có thể nằm trong $(P)$ ($a\subset (P)$).
2. $a//(P)$, với mọi $(Q)\supset a$: $(Q)\cap (P)=b\Rightarrow b//a$: ĐÚNG, vì $a\subset (Q)$, $a\not\subset (P)$, $a//(P)$ nên theo định lí về giao tuyến, $b//a$.
3. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó: ĐÚNG (tính chất giao tuyến song song).
4. Nếu $a$, $b$ chéo nhau thì có vô số mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$: ĐÚNG, lấy điểm $M$ bất kì trên $a$, qua $M$ kẻ đường thẳng $b^{\prime }//b$; mặt phẳng $(a,b^{\prime })$ song song với $b$, và có vô số cách chọn $M$ cho vô số mặt phẳng phân biệt chứa $a$ song song $b$.
Vậy có 3 mệnh đề đúng → chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $a$, $b$ chéo nhau. Lấy $A\in a$, đường thẳng $d$ qua $A$ song song với $b$. Mặt phẳng $(a,d)$ chứa $a$ và song song với $b$ (vì $b$ song song với $d\subset (a,d)$ và $b\not\subset (a,d)$ do $a,b$ chéo nhau). Mặt phẳng này là duy nhất: nếu có mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$ và song song với $b$, lấy mặt phẳng $(\beta )$ chứa $b$ và cắt $a$ tại $A$, thì giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ là đường qua $A$ song song với $b$, tức là $d$, nên $(\alpha )=(a,d)$. Vậy có đúng 1 mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$. Chọn D.