Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(4;0)$ đến đường thẳng $5x+12y-7=0$ là $d(A,d)=\frac{|5\cdot 4+12\cdot 0-7|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{|13|}{13}=1$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 132.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\end{array}$, ta có vectơ chỉ phương $\vec{a}=(2;3)$. Một vectơ pháp tuyến của $d$ phải thỏa $\vec{n}\cdot \vec{a}=0$. Kiểm tra ${\vec{u}}_3=(-3;2)$: $(-3)\cdot 2+2\cdot 3=-6+6=0$. Vậy ${\vec{u}}_3=(-3;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $d$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(-10;5) vào Δ1: 2(-10)+5+15=0, đúng nên M thuộc Δ1. b) Giải hệ 2x+y=-15 và x-2y=3: y=-15-2x, thay vào: x+30+4x=3 ⇒ x=-27/5, y=-15+54/5=-21/5, khớp N. c) Hệ số góc Δ1 là -2, Δ2 là 1/2, tích bằng -1 nên vuông góc. d) Khoảng cách: |m-15|/√5=2√5 ⇒ |m-15|=10 ⇒ m∈{25;5}, m+n=30≠-30, khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
2(-10)+5+15=0 nên M thuộc Δ1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được x=-27/5, y=-21/5, đúng như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc -2 và 1/2 có tích -1 nên hai đường vuông góc.
d) (AI giải đề cho tôi)
|m-15|/√5=2√5 ⇒ m=25 hoặc m=5, tổng m+n=30 chứ không phải -30.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;2)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3)$ có phương trình: $2(x-1)-3(y-2)=0\iff 2x-2-3y+6=0\iff 2x-3y+4=0$. Thử lại: $2(1)-3(2)+4=0$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d_1$ là $k_1=-\frac{2}{3}$, của $d_2$ là $k_2=\frac{1}{2}$. Vì $k_1\ne k_2$ nên hai đường thẳng cắt nhau. Kiểm tra vuông góc: $k_1\cdot k_2=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\ne -1$ (hoặc $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+3\cdot (-2)=-4\ne 0$), nên không vuông góc. Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ song song với $d:3x-2y+1=0$ nên có dạng $3x-2y+c=0$. Vì $\Delta$ đi qua $M(0;1)$ nên $3\cdot 0-2\cdot 1+c=0\Rightarrow c=2$. Vậy $\Delta :3x-2y+2=0$, tức $b=-2$, $c=2$. Suy ra $S=b+c=-2+2=0$.

Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Bán kính đường tròn tâm A(1;1) tiếp xúc Δ: R = d(A,Δ) = |3·1 − 4·1 + 2|/√(3²+4²) = 1/5 ≠ 3/5 ⇒ Sai. b) AB = (4−1; 2−1) = (3;1) là vectơ chỉ phương của AB ⇒ Đúng. c) Δ: 3x − 4y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (3;−4) ⇒ Đúng. d) Vectơ chỉ phương của Δ là u = (4;3). cos(Δ,AB) = |4·3 + 3·1|/(√(4²+3²)·√(3²+1)) = 15/(5√10) = 3/√10 ≈ 0,9487 ⇒ góc ≈ 18,43° < 19° ⇒ Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) Đường tròn tâm $A(1;1)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có bán kính là $R=d(A;\Delta )=\frac{|3.1-4.1+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{1}{5}$
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (4−1; 2−1) = (3;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng 3x − 4y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (3;−4).
d) $\cos (\Delta ,AB)=\frac{|4.3+3.1|}{\sqrt{4^2+3^2}.\sqrt{3^2+1}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \widehat{(\Delta ,AB)}\approx 18,43^{\circ }$

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình $3x-4y+2=0$, véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-4)$. b) Đúng: $\overrightarrow{AB}=(4-1;2-1)=(3;1)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. c) Sai: $\cos \left(\widehat{(\Delta ,AB)}\right)=\frac{|4\cdot 3+3\cdot 1|}{\sqrt{4^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1}}=\frac{15}{5\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0,9487$, suy ra góc $\approx 18,43^{\circ }<19^{\circ }$, nên khẳng định 'lớn hơn $19^{\circ }$' là sai. d) Sai: bán kính đường tròn tâm $A(1;1)$ tiếp xúc với $\Delta$ là $R=d(A;\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 1+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{1}{5}\ne \frac{3}{5}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $3x-4y+2=0$ suy ra $\vec{n}=(3;-4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(4-1;2-1)=(3;1)$.
c) $\cos (\Delta ,AB)=\frac{|4.3+3.1|}{\sqrt{4^2+3^2}.\sqrt{3^2+1}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \widehat{(\Delta ,AB)}\approx 18,43^{\circ }$
d) Đường tròn tâm $A(1;1)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có bán kính là $R=d(A;\Delta )=\frac{|3.1-4.1+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{1}{5}$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với $\Delta :-x+5y-4=0$ có dạng $-x+5y+c=0$ (hoặc nhân đôi: $2x-10y+2c=0$). Thay $M(-1;2)$: $-(-1)+5(2)+c=0\Rightarrow 1+10+c=0\Rightarrow c=-11$, tức $-x+5y-11=0$, tương đương $2x-10y-22=0$... kiểm tra lại: $2(-1)-10(2)+22=-2-20+22=0$, nên $2x-10y+22=0$ đi qua $M$ và có hệ số tỉ lệ với $\Delta$ (nhân với $-2$), tức song song với $\Delta$. Các phương án khác: $-x+5y+12=0$ tại $M$ cho $23\ne 0$; $-x+5y-12=0$ cho $-1\ne 0$; $2x-10y-22=0$ cho $-44\ne 0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $PQ$ là $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0-4;-2-0)=(-4;-2)$, cùng phương với $(2;1)$. Đường thẳng qua $A(3;2)$ song song với $PQ$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=2+t\end{array}$. Kiểm tra đáp án C: $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=t\end{array}$ có vectơ chỉ phương $(2;1)$ cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$, và điểm $A(3;2)$ thuộc đường thẳng vì với $t=2$: $x=-1+4=3$, $y=2$. Vậy C là đáp án đúng (các đáp án A, B có vectơ chỉ phương không cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$; D không đi qua $A$).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của M(1;2) lên Ox là A(1;0), lên Oy là B(0;2). Đường thẳng AB đi qua hai trục nên có dạng x/a + y/b = 1 với a=1, b=2, tức x + y/2 = 1, hay 2x + y - 2 = 0. Kiểm tra: A(1;0): 2-2=0 đúng; B(0;2): 2-2=0 đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;-2)$. Vì $d\perp \Delta$ nên vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(2;3)$. Đường thẳng $d$ có dạng $2x+3y+c=0$. Thay $A(1;-2)$: $2(1)+3(-2)+c=0\Rightarrow 2-6+c=0\Rightarrow c=4$. Vậy $d:2x+3y+4=0$. Kiểm tra: $2(1)+3(-2)+4=0$ đúng, và $\overrightarrow{n_d}\cdot \overrightarrow{n_{\Delta }}=2\cdot 3+3\cdot (-2)=0$ nên vuông góc. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+y=0$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1)$. Đường thẳng $\Delta$ qua $A(3;0)$ và song song với $d$ nhận cùng vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1)$, nên có phương trình tham số: $x=3+t,y=-t$. Đặt $t^{\prime }=t+3$ (thay tham số mới) ta được $x=t^{\prime },y=3-t^{\prime }$, trùng với phương án A. Kiểm tra: với mọi $t$, $x+y=3$ (hằng số) nên $\Delta$ song song với $d:x+y=0$; khi $t=3$ ta được điểm $(3;0)=A$, nên $\Delta$ qua $A$. Loại B vì $x+y=3+2t$ không hằng số (không song song với $d$); loại C vì $x+y=3-2t$ không hằng số; loại D vì $x+y=-3$ (song song với $d$ nhưng không qua $A$). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ A vuông góc với BC nên nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=C-B=(5-7;3-6)=(-2;-3)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình: $-2(x-6)-3(y-4)=0\iff -2x-3y+24=0$. Kiểm tra: điểm $A(6;4)$: $-12-12+24=0$ ✓. Khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1;-1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(0;-2)$. Tính $\cos (\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})=\frac{|(-1)(0)+(-1)(-2)|}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $45^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi) $d_1:x+5=0$ là đường thẳng đứng $x=-5$ (không có hệ số góc). $d_2:2x+y=0\iff y=-2x$ có hệ số góc $k=-2$. Vì $d_1$ song song với trục $Oy$ còn $d_2$ không song song với trục $Oy$ nên $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm $(-5;10)$. Hai đường không vuông góc vì $d_2$ không song song với trục $Ox$ (vuông góc với $d_1$ khi $d_2$ có dạng $y=c$). Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau nhưng không vuông góc, khớp với đáp án D trong bảng đáp án.

Khoảng cách từ điểm $A(-2;3)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|8\cdot (-2)+(-15)\cdot 3-228\right|}{\sqrt{8^2+(-15{)}^2}}=17.$$

Khoảng cách từ điểm $A(2;-1)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|12\cdot 2+(-5)\cdot (-1)+140\right|}{\sqrt{12^2+(-5{)}^2}}=13.$$

Khoảng cách từ điểm $A(-1;-2)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)-52\right|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=10.$$