Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ song song với $d:2x+6y+3=0$ nên có dạng $2x+6y+c=0$. Vì $\Delta$ đi qua $M(0;-2)$ nên $2\cdot 0+6\cdot (-2)+c=0\Rightarrow c=12$. Vậy $\Delta :2x+6y+12=0$, chia cho 2 được $x+3y+6=0$. So sánh với $ax+by+6=0$ ta có $a=1$, $b=3$. Do đó $E=2a+b=2\cdot 1+3=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ song song với $d:2x+6y+3=0$ nên có dạng $2x+6y+c=0$ ($c\ne 3$). Vì $\Delta$ đi qua $M(1;2)$ nên thay tọa độ $M$: $2\cdot 1+6\cdot 2+c=0⟺2+12+c=0⟺c=-14$. Vậy $\Delta :2x+6y-14=0$, chia hai vế cho 2 ta được phương trình đơn giản: $x+3y-7=0$. Kiểm tra: $M(1;2)$: $1+6-7=0$ ✓; vectơ pháp tuyến $(1;3)$ cùng phương với $(2;6)$ nên $\Delta \parallel d$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x+4y-5=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;4)$. Xét từng phương án:
- A: $d:3x+4y=0$ có pháp tuyến $(3;4)$ cùng phương với ${\vec{n}}_{\Delta }$, và hai đường thẳng không trùng nhau (vì $-5\ne 0$), nên $d\parallel \Delta$. Đúng.
- B: $d$ có vectơ chỉ phương $(3;-4)$, không cùng phương với vectơ chỉ phương $(-4;3)$ của $\Delta$, nên không song song.
- C: $d$ có vectơ chỉ phương $(3;4)$, không cùng phương với $(-4;3)$ của $\Delta$, nên không song song.
- D: $4x+3y-1=0$ có pháp tuyến $(4;3)$, không cùng phương với $(3;4)$, nên không song song.
Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x−4y−6=0. a) VTPT là (3;−4), không phải (−4;3) → Sai. b) Điểm (2;0) thuộc Δ, VTCP (4;3): x=2+4t, y=3t, thay vào Δ: 3(2+4t)−4(3t)−6=0 ✓ → Đúng. c) y=(3/4)x−3/2, hệ số góc k=3/4 → Đúng. d) A(a;0): d=|3a−6|/5=3 ⇒ |3a−6|=15 ⇒ a=7 hoặc a=−3, có đúng hai điểm → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ 3x−4y−6=0, VTPT là n=(3;−4), không phải (−4;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm (2;0) thuộc Δ và VTCP u=(4;3) (vuông góc với n=(3;−4)). Phương trình tham số x=2+4t, y=3t thỏa mãn 3x−4y−6=0 với mọi t.
c) (AI giải đề cho tôi)
−4y=−3x+6 ⇒ y=(3/4)x−3/2, vậy k=3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
A(a;0): d(A,Δ)=|3a−6|/5=3 ⇒ |3a−6|=15 ⇒ a=7 hoặc a=−3. Có đúng hai điểm A(7;0) và A(−3;0).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;2)$ và $B(3;1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;-1)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2)$. Phương trình: $1(x-1)+2(y-2)=0\iff x+2y-5=0$. Kiểm tra: $A$: $1+4-5=0$ đúng; $B$: $3+2-5=0$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y-3=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-2;-1)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1\cdot (-2)+2\cdot (-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{5}=0,8$. Suy ra $\alpha =\arccos (0,8)\approx 36,87^{\circ }$, gần nhất với $36^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng d: x-3y+5=0 có VTCP (3;-1) hoặc (-3;1), nên ý a đúng. b) d(M,d)=|2-3(-1)+5|/√(1²+3²)=10/√10=√10, đúng. c) Đường thẳng qua M(2;-1) song song d có dạng x-3y+c=0; thay M: 2+3+c=0 ⇒ c=-5, nên phương trình là x-3y-5=0, không phải x-3y-3=0 ⇒ sai. d) Giải hệ x-3y+5=0 và x-2y-2=0: trừ hai phương trình được -y+7=0 ⇒ y=7, x=2·7+2=16. Vậy A(16;7), a+b=23≠-23 ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
d: x-3y+5=0 có VTCP u=(3;-1) hoặc u=(-3;1), nên u=(-3;1) là một VTCP của d.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(M,d)=|2-3(-1)+5|/√(1+9)=10/√10=√10.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M(2;-1) song song d: x-3y+c=0, thay M: 2+3+c=0 ⇒ c=-5, phương trình là x-3y-5=0 chứ không phải x-3y-3=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ x-3y+5=0, x-2y-2=0: trừ vế theo vế được -y+7=0 ⇒ y=7, x=16. Vậy A(16;7), a+b=23≠-23.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H(x_0;y_0)$ là hình chiếu vuông góc của $M(-2;1)$ lên $d:x-2y+3=0$. Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(1;-2)$, nên đường thẳng qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình tham số: $x=-2+t,y=1-2t$. Thay vào phương trình $d$: $(-2+t)-2(1-2t)+3=0\iff 5t-1=0\iff t=\frac{1}{5}$. Suy ra $H\left(-2+\frac{1}{5};1-\frac{2}{5}\right)=\left(-\frac{9}{5};\frac{3}{5}\right)$. Kiểm tra: $-\frac{9}{5}-2\cdot \frac{3}{5}+3=-\frac{15}{5}+3=0$, thỏa mãn. Vậy hình chiếu vuông góc cần tìm là $H\left(-\frac{9}{5};\frac{3}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(2;1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=2\cdot (-1)+1\cdot 2=-2+2=0$. Vậy hai vectơ chỉ phương vuông góc, tức góc giữa hai đường thẳng là $90^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua M(3;-5) song song với Δ:x+y-4=0 có dạng x+y+c=0; thay M: 3-5+c=0 ⇒ c=2, nên phương trình là x+y+2=0, không phải x+y-2=0 ⇒ sai. b) d:2x-y+5=0 có pháp tuyến (2;-1), không phải (2;1) ⇒ sai. c) n_Δ=(1;1), n_d=(2;-1), tích vô hướng 1·2+1·(-1)=1≠0 nên góc giữa hai đường không phải 90° ⇒ sai. d) Vì n_Δ·n_d=1≠0 nên hai đường không song song, do đó cắt nhau ⇒ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M(3;-5) song song với Δ:x+y-4=0 có dạng x+y+c=0. Thay M: 3-5+c=0 ⇒ c=2, nên phương trình là x+y+2=0 ≠ x+y-2=0 ⇒ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
d: 2x-y+5=0 có véc-tơ pháp tuyến n=(2;-1), không phải (2;1) ⇒ sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_Δ=(1;1), n_d=(2;-1). Tích vô hướng: 1·2+1·(-1)=1≠0 nên hai đường không vuông góc, góc giữa chúng khác 90° ⇒ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì n_Δ·n_d=1·2+1·(-1)=1≠0 nên Δ và d không song song, hai đường thẳng cắt nhau ⇒ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vecto chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(-5;-1)$, suy ra vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-5)$. Đường thẳng AB đi qua $A(3;2)$ nên có phương trình: $1(x-3)-5(y-2)=0\iff x-5y+7=0$. Kiểm tra: $B(-2;1)$: $-2-5+7=0$ thỏa mãn.
b) Khoảng cách từ $C(5;2)$ đến đường thẳng $AB$: $d(C,AB)=\frac{|5-5\cdot 2+7|}{\sqrt{1^2+(-5{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-2y-7=0$ có hệ số góc $k_{\Delta }=\frac{3}{2}$. Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau (và không trùng nhau).
- $(d_4):6x-4y-14=0\iff 3x-2y-7=0$, trùng với $(\Delta )$, không cắt (trùng nhau).
- $(d_1):3x+2y=0$ có hệ số góc $k_1=-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$, nên $(\Delta )$ cắt $(d_1)$ tại một điểm. Giải hệ: $3x-2y=7$, $3x+2y=0$ $\Rightarrow x=\frac{7}{6},y=-\frac{7}{4}$, giao điểm $\left(\frac{7}{6};-\frac{7}{4}\right)$.
- $(d_3):-3x+2y-7=0\iff 3x-2y+7=0$ có cùng hệ số góc $\frac{3}{2}$ và khác $(\Delta )$, nên song song với $(\Delta )$.
- $(d_2):3x-2y=0$ có cùng hệ số góc $\frac{3}{2}$, song song với $(\Delta )$.
Vậy $(\Delta )$ cắt $(d_1)$, đáp án B, trùng với đáp án của đề (Mã 1103, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta )$: $3x-2y-7=0$ có hệ số góc $k=\frac{3}{2}$. Xét từng phương án:
- A: $(d_1)$: $3x+2y=0$ có hệ số góc $-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$, nên $\Delta$ cắt $d_1$ tại một điểm duy nhất. Đúng.
- B: $(d_3)$: $-3x+2y-7=0$ có hệ số góc $\frac{3}{2}$ và khác $\Delta$ (tính cờ khác dấu), nên song song với $\Delta$.
- C: $(d_2)$: $3x-2y=0$ có cùng hệ số góc $\frac{3}{2}$ và khác $\Delta$, nên song song với $\Delta$.
- D: $(d_4)$: $6x-4y-14=0$ chia hai vế cho 2 được $3x-2y-7=0$, trùng với $\Delta$.
Vậy $\Delta$ cắt đường thẳng ở phương án A, khớp với đáp án nguồn (Mã 1102, câu 19: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-2y-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2)$, hệ số góc $k=\frac{3}{2}$. Xét từng phương án:
- A: $(d_4):6x-4y-14=0\iff 3x-2y-7=0$, trùng với $(\Delta )$ nên không cắt.
- C: $(d_3):-3x+2y-7=0$ có $\vec{n}=(-3;2)=-{\vec{n}}_{\Delta }$ nhưng c khác, nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- D: $(d_2):3x-2y=0$ có cùng pháp tuyến $(3;-2)$, khác cột tự do nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- B: $(d_1):3x+2y=0$ có $\vec{n}=(3;2)$, kiểm tra $3\cdot 2-(-2)\cdot 3=12\ne 0$ nên hai vectơ pháp tuyến không cùng phương, hai đường thẳng cắt nhau (hệ số góc $-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$).
Vậy $(\Delta )$ cắt $(d_1):3x+2y=0$, đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, câu 19: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;2)$ và $B(7;8)$ có hệ số góc $k=\frac{8-2}{7-1}=1$, phương trình: $y=x+1$. Vì $M(4;m)\in AB$ nên $m=4+1=5$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-5)$. a) Với $A(3;0)$: từ $y=2-5t=0$ suy ra $t=\frac{2}{5}$, khi đó $x=3+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}\ne 3$, nên $A$ không thuộc $d$ → Sai. b) Mọi điểm trên $d$ có dạng $M(3+t;2-5t)$ với $t$ tham số → Đúng. c) Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;-5)$ → Đúng. d) Phương trình tổng quát: $y-2=-5(x-3)\iff 5x+y-17=0\ne 5x+y+1=0$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $y=0$: $2-5t=0\Rightarrow t=\frac{2}{5}$, khi đó $x=3+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}\ne 3$. Vậy $A(3;0)$ không thuộc $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo phương trình tham số, mọi điểm trên $d$ có tọa độ $M(3+t;2-5t)$ với $t\in \mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x=3+t$, $y=2-5t$, hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x=3+t\Rightarrow t=x-3$, thay vào $y=2-5(x-3)\iff 5x+y-17=0$. Phương trình $5x+y+1=0$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(-2;3)$ và vuông góc với $BC$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(3-1;-5-1)=(2;-6)$. Vì $AH\perp BC$ nên $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ pháp tuyến của $AH$: $\vec{n}=(2;-6)$. Phương trình đường cao: $2(x+2)-6(y-3)=0\iff 2x-6y+22=0\iff x-3y+11=0$. Thử lại: điểm $A(-2;3)$: $-2-9+11=0$ ✓; tích vô hướng $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;1)$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ nên nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;1)$ làm VTPT. Đi qua $A(2;3)$ nên $\Delta :2(x-2)+1(y-3)=0\iff 2x+y-7=0$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 10 chọn B).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :2x+y+1=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|2\cdot 1+2+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11 chọn C).

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng: từ ${\Delta }_2:x=2y+3$, thay vào ${\Delta }_1$: $2(2y+3)+y+15=0\Rightarrow 5y+21=0\Rightarrow y=-\frac{21}{5}$, $x=2\left(-\frac{21}{5}\right)+3=-\frac{27}{5}$. Vậy giao điểm là $I\left(-\frac{27}{5};-\frac{21}{5}\right)$, không phải $\left(-\frac{27}{4};-\frac{21}{4}\right)$ nên ý a sai. Khoảng cách từ $M(3;2)$ đến ${\Delta }_1$: $d=\frac{|2\cdot 3+2+15|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{23}{\sqrt{5}}$ nên ý b đúng. Đường thẳng ${\Delta }_1:2x+y+15=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;1)$ nên ý c đúng. $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$ nên hai đường thẳng vuông góc, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ cho $I\left(-\frac{27}{5};-\frac{21}{5}\right)$, khác với tọa độ đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d=\frac{|6+2+15|}{\sqrt{5}}=\frac{23}{\sqrt{5}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2x+y+15=0$ có pháp tuyến $(2;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=(2;1)\cdot (1;-2)=2-2=0$ nên vuông góc.