Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;1)$, $N(2;4)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(2-1;4-1)=(1;3)$. Phương trình tham số qua $M$: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\end{array}$. Kiểm tra các phương án: A có $\vec{u}=(1;1)$ sai; B: tại $t=0$ cho $(1;0)\ne M$, sai; C có $\vec{u}=(-3;1)$ không cùng phương với $(1;3)$, sai; D: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2+3t\end{array}$ có $\vec{u}=(1;3)$, tại $t=1$ cho $M(1;1)$, tại $t=2$ cho $N(2;4)$ — đúng. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$, suy ra một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(3;-2)$. Đường thẳng $d_1:4x+6y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;6)$. Vì $\overrightarrow{n_1}=(4;6)=2(2;3)$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$ nên hai đường thẳng không song song và không trùng nhau (chúng cắt nhau). Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=4\cdot 3+6\cdot (-2)=12-12=0$, nên $d_1\perp d_2$. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau, đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+4=0$ cắt $Ox$ tại $y=0\Rightarrow x=-4$, tức điểm $A(-4;0)$; cắt $Oy$ tại $x=0\Rightarrow y=2$, tức điểm $B(0;2)$. Tam giác tạo bởi $d$ và hai trục tọa độ vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông $OA=4$ và $OB=2$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$ (đơn vị diện tích). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III Câu 2 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;1)$ và $N(2;4)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(2-1;4-1)=(1;3)$. Phương trình tham số (đi qua $M$): $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\end{array}$. Kiểm tra các phương án: A có vectơ chỉ phương $(1;1)$, sai; B có $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2+3t\end{array}$, vectơ chỉ phương $(1;3)$, và với $t=1$ được $(1;1)=M$, với $t=2$ được $(2;4)=N$, đúng; C có vectơ $(-3;1)$ không cùng phương với $(1;3)$, sai; D có vectơ $(1;3)$ nhưng đi qua $(1;0)$, với $t=0$ được $(1;0)\ne M$, sai. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $I(2;-1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;6)$ là vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Phương trình: $2(x-2)+6(y+1)=0\iff 2x+6y+2=0\iff x+3y+1=0$. Kiểm tra: $I(2;-1)$ thỏa $2+3(-1)+1=0$; $A(1;-4)$: $1-12+1=-10\ne 0$... thực tế kiểm tra khoảng cách: $A$ và $B$ đều cách đều đường thẳng (thay $A$: $1+3(-4)+1=-10$, thay $B$: $3+6+1=10$, đối dấu bằng giá trị tuyệt đối $10$). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo là đường thẳng đi qua A(4;-3) có vecto chỉ phương v=(2;1). a) Đúng, v chính là vecto chỉ phương. b) Vecto pháp tuyến n=(1;-2), phương trình: 1(x-4)-2(y+3)=0 ⇔ x-2y-10=0. Thử 2x-3y-1=0 với A: 8+9-1=16≠0 nên sai. c) Thay B(10;0) vào x-2y-10=0: 10-0-10=0, đúng. d) Tốc độ |v|=√(2²+1²)=√5 m/s, sau 3 giây quãng đường = 3√5 m, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vật chuyển động thẳng đều với vecto vận tốc v=(2;1) nên v là vecto chỉ phương của quỹ đạo.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến n=(1;-2), phương trình: (x-4)-2(y+3)=0 ⇔ x-2y-10=0. Thay A(4;-3) vào 2x-3y-1=0 được 16≠0 nên phương trình đã cho sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay B(10;0) vào x-2y-10=0: 10-0-10=0, nên B thuộc quỹ đạo.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ |v|=√5 m/s, quãng đường sau 3 giây: 3√5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của Δ1 là u1=(1;2), của Δ2 là u2=(-3;1). cos(Δ1,Δ2)=|u1·u2|/(|u1||u2|)=|−3+2|/(√5·√10)=1/√50≈0,1414. Vậy góc giữa hai đường thẳng ≈81,87°, quy tròn đến hàng phần mười là 81,9°.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-6-(-2);1-4)=(-4;-3)$, nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-4)$. Đường thẳng qua $A(-2;4)$: $3(x+2)-4(y-4)=0\iff 3x-4y+22=0$. Thử $B(-6;1)$: $3(-6)-4(1)+22=0$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đưa $d:6x-8y+1=0$ về dạng cùng hệ số với $\Delta :3x-4y-7=0$: chia $d$ cho 2 ta được $3x-4y+\frac{1}{2}=0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là $\frac{\left|\frac{1}{2}-(-7)\right|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{7,5}{5}=1,5$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $M(5;-1)$ đến đường thẳng $3x+2y+13=0$ là $d(M,d)=\frac{|3\cdot 5+2\cdot (-1)+13|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|15-2+13|}{\sqrt{13}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=\frac{26\sqrt{13}}{13}=2\sqrt{13}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-(-2);4-2)=(5;2)$.
a) Sai: vectơ chỉ phương của $AB$ là $(5;2)$, không phải $(2;5)$.
b) Đúng: vectơ $\vec{n}(2;-5)$ có $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=2\cdot 5+(-5)\cdot 2=0$, nên $\vec{n}$ là pháp tuyến của $AB$.
c) Đúng: đường thẳng $AB$ có dạng $2x-5y+c=0$; thay $A(-2;2)$: $-4-10+c=0\Rightarrow c=14$, vậy $2x-5y+14=0$ (kiểm tra $B(3;4)$: $6-20+14=0$).
d) Sai: phương trình đã cho có vectơ chỉ phương $(2;5)$, không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(5;2)$ (vì $2\cdot 2-5\cdot 5\ne 0$), nên không song song với $AB$. Phương trình đúng phải là $x=-1+5t,y=1+2t$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(5;2)$, không phải $(2;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}(2;-5)\cdot \overrightarrow{AB}(5;2)=10-10=0$ nên $\vec{n}$ là pháp tuyến của $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2x-5y+14=0$ qua $A(-2;2)$ và $B(3;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương $(2;5)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(5;2)$, nên đường thẳng không song song với $AB$.

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}(-5;-3)$. $BC$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(-5;-3)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(3;-5)$. Mặt khác BC đi qua điểm $B(3;2)$ nên phương trình tổng quát của $BC$ là: $3(x-3)-5(y-2)=0$ hay $3x-5y+1=0$.
b) Ta có: $BC=\sqrt{(-5{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{34}$. $d(A,BC)=\frac{|3.1-5.0+1|}{\sqrt{3^2+(-5{)}^2}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$. Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.d(A,BC)=\frac{1}{2}.\sqrt{34}.\frac{2\sqrt{34}}{17}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song khi có cùng vectơ pháp tuyến (hoặc hệ số tỉ lệ) và không trùng nhau. Đường thẳng $2x+3y-4=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3)$. Xét các phương án: A, B có pháp tuyến $(3;-2)$, không song song. C: $2x+3y+4=0$ có cùng pháp tuyến $(2;3)$ và $\frac{2}{2}=\frac{3}{3}=1\ne \frac{4}{-4}$, nên hai đường thẳng song song. D: $4x+6y-8=0$ có $\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{-8}{-4}=2$, tức trùng với đường thẳng đã cho, không phải song song (song song phải phân biệt). Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Đường thẳng $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Tích vô hướng ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) Đúng: $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) Đúng: $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) Sai: pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101 (a, b, c Đúng; d Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Vì ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$ nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính phun tối đa chính là khoảng cách từ $M(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+25=0$. Ta có $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 2+25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3-8+25|}{5}=\frac{20}{5}=4$ (mét). Vậy bán kính phun tối đa là $4$ m, khớp với đáp án nguồn.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;2)$. Phương trình Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(3;2)$: $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=1+2t\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi) Điểm trên $\Delta$ có dạng $H(2+2t;3+t)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1)$. Điều kiện $MH\perp \Delta$: $(2+2t-4)\cdot 2+(3+t-1)\cdot 1=0⟺(2t-2)\cdot 2+(t+2)=0⟺5t-2=0⟺t=\frac{2}{5}$. Suy ra $H\left(2+\frac{4}{5};3+\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{14}{5};\frac{17}{5}\right)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vecto chỉ phương của BC là $\overrightarrow{CB}=(2;-5)$, phương trình BC: $5(x-4)+2(y-5)=0\iff 5x+2y-30=0$. Thay C(6;0) vào $-2x+5y-17=0$ được $-12-17=-29\ne 0$, nên a) SAI. b) $d(A,BC)=\frac{|5\cdot 2+2\cdot (-2)-30|}{\sqrt{29}}=\frac{24}{\sqrt{29}}=\frac{24\sqrt{29}}{29}$, đúng. c) $G=\left(\frac{2+4+6}{3};\frac{-2+5+0}{3}\right)=(4;1)$, đúng. d) $\overrightarrow{BC}=C-B=(2;-5)\ne (-2;5)$, SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình BC là $5x+2y-30=0$; đường $-2x+5y-17=0$ không đi qua C(6;0) vì $-12+0-17=-29\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,BC)=\frac{|5\cdot 2+2\cdot (-2)-30|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{24}{\sqrt{29}}=\frac{24\sqrt{29}}{29}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm: $\left(\frac{2+4+6}{3};\frac{-2+5+0}{3}\right)=(4;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(6-4;0-5)=(2;-5)$, không phải $(-2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
$d_1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-3)$, $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;5)$. Lấy $\overrightarrow{u_1}=(3;2)$ vuông góc với $\overrightarrow{n_1}$. Khi đó $\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|3\cdot 2+2\cdot 5|}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{29}}=\frac{16}{\sqrt{377}}\approx 0.8241$, suy ra góc $\approx 34.5^{\circ }$, làm tròn tới hàng đơn vị là $35^{\circ }$. (Kiểm tra bằng $\overrightarrow{n_1}$: $\cos =\frac{|2\cdot 2-3\cdot 5|}{\sqrt{13}\sqrt{29}}=\frac{11}{\sqrt{377}}\approx 0.5666\Rightarrow 55.5^{\circ }$, góc nhọn tương ứng là $180^{\circ }-55.5^{\circ }=124.5^{\circ }$? Không — góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, tính từ $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ cho $\approx 34.5^{\circ }$.) Vậy góc giữa hai đường thẳng là $35^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=10-4t,y=-5+7t$, nên véc tơ chỉ phương là $\vec{a}=(-4;7)$. Véc tơ pháp tuyến vuông góc với $\vec{a}$: kiểm tra $\vec{u}\cdot \vec{a}=0$. Với $\vec{u}=(7;4)$: $7\cdot (-4)+4\cdot 7=-28+28=0$. Các đáp án khác: $(10;-5)$ cho $-40-35\ne 0$; $(-4;7)$ chính là véc tơ chỉ phương; $(6;2)$ cho $-24+14\ne 0$. Vậy đáp án B.