Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(3;1)$ đến đường thẳng $3x+2y+17=0$ là $d=\frac{|3\cdot 3+2\cdot 1+17|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|9+2+17|}{\sqrt{13}}=\frac{28}{\sqrt{13}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(5;0)$ đến đường thẳng $\Delta :12x-5y+5=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|12\cdot 5-5\cdot 0+5|}{\sqrt{12^2+(-5{)}^2}}=\frac{65}{13}=5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=1+2t,y=2+3t$, nên vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ cắt $Oy$ tại $(0;b)$ (cho $x=0$) và cắt $Ox$ tại $(a;0)$ (cho $y=0$), nên a) và b) đúng. Thay $M(8;-1)$: $\frac{8}{a}+\frac{-1}{b}=\frac{8}{a}-\frac{1}{b}=1$, nên c) đúng. Với d): tam giác tạo với các tia $Ox$, $Oy$ (vì $a>0,b>0$) có diện tích $\frac{ab}{2}=2\Rightarrow ab=4$. Kết hợp $\frac{8}{a}-\frac{1}{b}=1\Rightarrow 8b-a=ab=4\Rightarrow a=8b-4$. Suy ra $b(8b-4)=4\iff 2b^2-b-1=0\iff b=1$ (thỏa $b>0$) hoặc $b=-\frac{1}{2}$ (loại). Khi đó $a=4$. Kiểm tra: $1000a+6b=4000+6=4006\ne 2026$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cho $x=0$ trong $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ta được $y=b$, nên $d$ cắt $Oy$ tại $(0;b)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cho $y=0$ ta được $x=a$, nên $d$ cắt $Ox$ tại $(a;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $M(8;-1)$ vào phương trình: $\frac{8}{a}+\frac{-1}{b}=1\iff \frac{8}{a}-\frac{1}{b}=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác là $\frac{ab}{2}=2\Rightarrow ab=4$. Kết hợp $\frac{8}{a}-\frac{1}{b}=1$ được $8b-a=4\Rightarrow a=8b-4$, suy ra $2b^2-b-1=0\Rightarrow b=1,a=4$. Khi đó $1000a+6b=4006\ne 2026$, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trực tâm H là giao hai đường cao từ B và C: x−2=0 và x+y−3=0 cho H(2;1). Đường cao từ A là x−2y=0 nên A=(2t;t). Vì đường cao từ B là x=2 nên AC nằm ngang: y_C=t. Vì đường cao từ C là x+y−3=0 nên AB có hệ số góc 1: y=x−t, suy ra B=(2;−4−c) với BC: 2x+y+c=0 (BC vuông góc đường cao từ A). C thuộc AC: từ hệ 2x+y+c=0, x+y−3=0 được C=(−3−c;6+c), và y_C=6+c=t. Khoảng cách từ A đến BC: |5t+c|/√5=12/√5, với c=t−6 ta được |6t−6|=12 → t=3 hoặc t=−1. Vì x_A=2t<0 nên t=−1, y_A=−1. Vậy T=1013·|−1|=1013.

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ chỉ phương của đường đi tàu A là $\overrightarrow{u_A}=(20;-20)$, của tàu B là $\overrightarrow{u_B}=(8;5)$.

$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u_A}\cdot \overrightarrow{u_B}|}{|\overrightarrow{u_A}||\overrightarrow{u_B}|}=\frac{|160-100|}{\sqrt{800}\cdot \sqrt{89}}=\frac{60}{20\sqrt{2}\cdot \sqrt{89}}=\frac{3}{\sqrt{178}}\approx \mathrm{0.2249.}$$

Suy ra $\theta =\arccos (0.2249)\approx 77.0^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường đi xấp xỉ $77^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng Δ đi qua hai điểm A(0; 5) và B(5; 20).

a) Hệ số góc của Δ là $k=\frac{20-5}{5-0}=3$. Đường thẳng đi qua A(0; 5) nên có phương trình: $y=3x+5$, hay phương trình tổng quát: $3x-y+5=0$.

b) Với $x=12$ (tháng), tổng chi phí là $y=3\cdot 12+5=41$ (trăm nghìn đồng), tức $41\cdot 100000=4100000$ đồng.

Vậy tổng chi phí lắp đặt và tiền cước sử dụng Internet trong 12 tháng đầu tiên là 4 100 000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(2;-3)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-2)$ là vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Phương trình: $2(x-2)-2(y+3)=0\iff 2x-2y-10=0\iff x-y-5=0$. Kiểm tra: $I(2;-3)$ thỏa mãn $2-(-3)-5=0$; $A$ và $B$ cách đều mọi điểm trên đường thẳng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1+2t,y=3-t$, vecto chỉ phương là $\vec{u}(2;-1)$ (lấy hệ số của $t$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y+13=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1+13|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|20|}{5}=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(0;m)$ thuộc trục tung. Khoảng cách từ $A(1;5)$ đến $d:x-2y-4=0$ là $d(A,d)=\frac{|1-2\cdot 5-4|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{13}{\sqrt{5}}$. Khoảng cách từ $M$ đến $d$ là $d(M,d)=\frac{|0-2m-4|}{\sqrt{5}}=\frac{|2m+4|}{\sqrt{5}}$. Yêu cầu $d(A,d)=d(M,d)$ nên $|2m+4|=13$, tức $2m+4=13$ hoặc $2m+4=-13$, suy ra $m=\frac{9}{2}$ hoặc $m=-\frac{17}{2}$. Vậy có hai điểm thỏa mãn: $M_1\left(0;\frac{9}{2}\right)$ và $M_2\left(0;-\frac{17}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi) VTCP của ${\Delta }_1$ là ${\vec{u}}_1=(-2;-4)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là ${\vec{u}}_2=(3;1)$. Tính cos góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|{\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2|}{|{\vec{u}}_1||{\vec{u}}_2|}=\frac{|(-2)(3)+(-4)(1)|}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{10}}=\frac{|-10|}{\sqrt{200}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\theta =45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(2;-1)$, d2 có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(-4;2)=-2(2;-1)$, nên hai VTCP cùng phương → d1, d2 song song hoặc trùng nhau. d1 đi qua $(1;-2)$; thay vào d2: $1=-1-4t^{\prime }\Rightarrow t^{\prime }=-\frac{1}{2}$, khi đó $y=3+2\left(-\frac{1}{2}\right)=2\ne -2$, nên $(1;-2)\notin d_2$. Vậy hai đường thẳng song song. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $\Delta :2x+y-1=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;1)$ → đúng.
b) Thay $M(0;1)$: $2\cdot 0+1-1=0$ → $M$ thuộc $\Delta$ → đúng.
c) Đường thẳng qua $A(1;0)$ song song với $\Delta$ có dạng $2x+y+c=0$; thay $A$: $2+c=0\Rightarrow c=-2$, phương trình đúng là $2x+y-2=0$, không phải $2x+y+1=0$ → sai.
d) Bán kính đường tròn tiếp xúc với $\Delta$ là $R=d(I,\Delta )=\frac{|2\cdot 2+2-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, nên phương trình đường tròn là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=R^2=5$, không phải $=\sqrt{5}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ phương trình $2x+y-1=0$, một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;1)$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay $M(0;1)$ vào $2x+y-1$: $2\cdot 0+1-1=0$, nên $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đường thẳng song song với $\Delta$ qua $A(1;0)$: $2x+y+c=0$, thay $A$ được $c=-2$, phương trình đúng là $2x+y-2=0$, không phải $2x+y+1=0$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $R=d(I,\Delta )=\frac{|4+2-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ nên $R^2=5$; phương trình đúng là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=5$, không phải $=\sqrt{5}$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;-2)$. Vì $d\perp \Delta$ nên $d$ nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}$ làm vectơ chỉ phương, tức vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(2;3)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A(1;-2)$ nên có phương trình: $2(x-1)+3(y+2)=0\iff 2x-2+3y+6=0\iff 2x+3y+4=0$. Kiểm tra: $A(1;-2)$: $2-6+4=0$ đúng; tích vô hướng pháp tuyến $(2;3)\cdot (3;-2)=6-6=0$ nên vuông góc. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=1-4t,y=-2+3t$, nên vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-4;3)$ (tức hệ số của $t$). Vậy đáp án A.