Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính: $R=IA=\sqrt{(2-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Phương trình đường tròn $(C)$: $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=5$, tức $x^2+y^2-2x-6y+5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. a) Vì $A\left(-\frac{1}{2};0\right)$ nằm trên $(C)$ nên $R=IA=\left|\frac{1}{2}-0\right|=\frac{1}{2}$: đúng. b) Khoảng cách từ $I$ đến trục $Ox$ là $\frac{1}{2}=R$ nên $(C)$ tiếp xúc với $Ox$: đúng. c) Tâm là $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, không phải $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$: sai. d) Hai tiếp tuyến từ $B$ vuông góc khi $IB=R\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Với $B(0;b)$: $\frac{1}{4}+{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\Rightarrow {\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow b=0$ hoặc $b=1$. Vì $B\ne O$ nên $b=1$, tức $OB=1\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A$ nằm trên $(C)$ nên $R=IA=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,Ox)=\frac{1}{2}=R$ nên $(C)$ tiếp xúc trục $Ox$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện hai tiếp tuyến vuông góc: $IB=R\sqrt{2}$, giải ra $B(0;1)$ nên $OB=1\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y-12=0$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{4+9+12}=5$. Kiểm tra $M(5;1)$: $IM=\sqrt{3^2+4^2}=5=R$ nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(3;4)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Tiếp tuyến: $3(x-5)+4(y-1)=0\iff 3x+4y-19=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I(-2;7)$ đến đường thẳng $d:5x-12y+42=0$: $R=\frac{|5(-2)-12\cdot 7+42|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|-10-84+42|}{13}=\frac{52}{13}=4$. Vậy $(C):(x+2{)}^2+(y-7{)}^2=16$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y-12=0$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{4+9+12}=5$. Kiểm tra $A(5;1)$: $IA=\sqrt{(5-2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5=R$, nên $A$ thuộc $(C)$. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$ là $\overrightarrow{IA}=(3;4)$, nên tiếp tuyến có phương trình: $3(x-5)+4(y-1)=0\iff 3x+4y-19=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ thuộc $d:2a+b-3=0$. Vì $(C)$ đi qua $A(2;1)$ và $B(1;1)$ nên $IA=IB$, tức $I$ nằm trên trung trực của $AB$. Trung điểm của $AB$ là $M\left(\frac{3}{2};1\right)$; vì $AB$ nằm ngang (cùng tung độ 1) nên trung trực của $AB$ là đường thẳng $x=\frac{3}{2}$. Suy ra $a=\frac{3}{2}$, thay vào phương trình $d$: $2\cdot \frac{3}{2}+b-3=0\Rightarrow b=0$. Vậy $I\left(\frac{3}{2};0\right)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{{\left(2-\frac{3}{2}\right)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, nên $R^2=\frac{5}{4}$. Phương trình đường tròn: ${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+y^2=\frac{5}{4}$, hay $x^2+y^2-3x+1=0$. Kiểm tra: $A(2;1)$: $4+1-6+1=0$ đúng; $B(1;1)$: $1+1-3+1=0$ đúng; tâm $\left(\frac{3}{2};0\right)$ thỏa $2\cdot \frac{3}{2}+0-3=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2=25$ có tâm $O(0;0)$, bán kính $R=5$. Điểm $M(4;3)$ nằm trên đường tròn vì $4^2+3^2=25$. Tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với bán kính $OM$, nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(4;3)$, nên có phương trình $4(x-4)+3(y-3)=0\iff 4x+3y-25=0$. Kiểm tra: $M(4;3)$ thỏa mãn $4\cdot 4+3\cdot 3-25=0$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+2y=0$ có tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$. Kiểm tra $M(1;1)$ thuộc $(C)$: $(1-2{)}^2+(1+1{)}^2=1+4=5=R^2$. Phương trình tiếp tuyến tại $M$: $(x_M-a)(x-a)+(y_M-b)(y-b)=R^2$, tức $(-1)(x-2)+2(y+1)=5\iff -x+2+2y+2=5\iff -x+2y-1=0\iff x-2y+1=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm của AB: I((2+0)/2;(-3-1)/2)=(1;-2) → đúng.
b) AB=√(4+4)=2√2 nên R=√2, R²=2. Đường tròn: (x-1)²+(y+2)²=2 → đúng.
c) Bán kính = d(A,d)=|2-2(-3)+4|/√5=12/√5=12√5/5 ≈ 5,37 ≠ 2√5 → sai.
d) d(J,d)=|5-4+4|/√5=√5. R²=d²+(MN/2)²=5+4=9 → R=3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB: I(1;-2).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=AB/2=√2 nên (x-1)²+(y+2)²=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=d(A,d)=|2+6+4|/√5=12/√5≠2√5.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(J,d)=√5, R²=5+2²=9 nên R=3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay tọa độ ba điểm:
- $A(-1;1)$: $1+1+2a-2b+c=0\Rightarrow 2a-2b+c=-2$.
- $B(3;1)$: $9+1-6a-2b+c=0\Rightarrow -6a-2b+c=-10$.
- $C(1;3)$: $1+9-2a-6b+c=0\Rightarrow -2a-6b+c=-10$.

Trừ phương trình thứ nhất cho thứ hai: $8a=8\Rightarrow a=1$. Trừ phương trình thứ nhất cho thứ ba: $8a-4b=8\Rightarrow b=0$... kiểm tra lại: $2(1)-2b+c=-2$ và $-2(1)-6b+c=-10$, trừ nhau: $4+4b=8\Rightarrow b=1$, suy ra $c=-2-2+2=-2$. Vậy tâm $I(1;1)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+1+2}=2$.

Kiểm tra: $AB$ có trung điểm $(1;1)$ nên tâm nằm trên trung trực của $AB$; $IA=\sqrt{4+0}=2$, $IB=\sqrt{4+0}=2$, $IC=\sqrt{0+4}=2$. Đúng.

Phương trình đường tròn: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$, tức $x^2+y^2-2x-2y-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I(-3;2)$ đến tiếp tuyến $3x+4y-9=0$: $R=\frac{|3(-3)+4(2)-9|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-9+8-9|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy $R^2=4$ và phương trình đường tròn là $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-4=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+4}=3$. Kiểm tra $A(1;5)$: $IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(5-2{)}^2}=3=R$ nên $A$ thuộc đường tròn. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(0;3)$ phương thẳng đứng nên tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $\overrightarrow{IA}$, tức là đường thẳng nằm ngang đi qua $A$: $y=5\iff y-5=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn là $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{3}$. Kiểm tra $A(1;5)$: $I{A}^2=(1-1{)}^2+(5-2{)}^2=9=3^2\ne R^2=3$, tức $A$ không nằm trên đường tròn. Tuy nhiên theo dữ kiện đề bài, $A$ được coi là tiếp điểm; vectơ $\overrightarrow{IA}=(0;3)$ thẳng đứng nên tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $\overrightarrow{IA}$ là đường thẳng nằm ngang đi qua $A$: $y=5$, tức $y-5=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$, vì $I$ thuộc đường thẳng $x+2y=6$ nên $a+2b=6$ (1). Vì $(C)$ đi qua $A(3;4)$ và $B(0;1)$ nên $IA=IB$, tức $I{A}^2=I{B}^2$: $(a-3{)}^2+(b-4{)}^2=a^2+(b-1{)}^2$. Khai triển: $a^2-6a+9+b^2-8b+16=a^2+b^2-2b+1$, suy ra $-6a-6b+24=0$, tức $a+b=4$ (2). Từ (1) và (2): trừ hai phương trình được $b=2$, suy ra $a=2$. Vậy $I(2;2)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-3{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, nên $R^2=5$. Kiểm tra với $B$: $I{B}^2=(2-0{)}^2+(2-1{)}^2=5$ đúng. Phương trình đường tròn: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $O(0;0)$ tiếp xúc với $\Delta :x+y-2=0$ có bán kính $R=d(O,\Delta )=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Vậy phương trình là $x^2+y^2=R^2=2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-4=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+4}=3$. Kiểm tra $A(1;5)$: $IA=\sqrt{0+9}=3=R$ nên $A$ thuộc đường tròn. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(0;3)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$, nên tiếp tuyến có dạng $0(x-1)+3(y-5)=0\iff y-5=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm I(-1;2) đến đường thẳng Δ: x-2y+7=0. Ta có d(I,Δ)=|(-1)-2·2+7|/√(1²+(-2)²)=|2|/√5=2/√5. Do đó (a) sai vì d=2/√5 chứ không phải 3/√5. Đường kính = 2r = 4/√5 nên (b) đúng. r²=4/5 nên phương trình đường tròn là (x+1)²+(y-2)²=4/5, (c) đúng. Với O(0;0): (0+1)²+(0-2)²=5 > 4/5 nên O nằm ngoài đường tròn, (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ)=|(-1)-2·2+7|/√5=2/√5 ≠ 3/√5.
b) (AI giải đề cho tôi)
r=d(I,Δ)=2/√5 nên đường kính = 2r = 4/√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
r²=(2/√5)²=4/5, tâm I(-1;2) nên (x+1)²+(y-2)²=4/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay O(0;0): 1²+(-2)²=5 > 4/5 nên O nằm ngoài đường tròn.

$(\mathcal{C})$ có tâm $I(2;-3)$. Tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AI}=(1;-8)$. Phương trình tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ là $x-8y+39=0$. (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

$(\mathcal{C})$ có tâm $I(2;-3)$. Tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AI}=(1;-8)$. Phương trình tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ là $x-8y+39=0$. (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

$(\mathcal{C})$ có tâm $I(2;-3)$. Tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AI}=(1;-8)$. Phương trình tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ là $x-8y+39=0$. (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)