Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (60^{\circ }-x)\cos (60^{\circ }+x)={\cos }^{2}60^{\circ }-{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x$. Do đó tích bằng $\cos x\left(\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x\right)=\cos x\left({\cos }^{2}x-\frac{3}{4}\right)={\cos }^{3}x-\frac{3}{4}\cos x=\frac{1}{4}\left(4{\cos }^{3}x-3\cos x\right)=\frac{1}{4}\cos 3x$ (dùng ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ và công thức $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$). Vậy $k=\frac{1}{4}$, suy ra $\sin (k\pi )=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,71).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x$. Mà ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$, nên ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=1-\frac{3}{8}(1-\cos 4x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos 4x$. Vậy $a=\frac{5}{8},b=\frac{3}{8}$, do đó $a+b=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 18 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x$. Vì ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$ nên ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=1-\frac{3}{8}(1-\cos 4x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos 4x$. Vậy $a=\frac{5}{8},b=\frac{3}{8}$, suy ra $a+b=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 21, mã đề 1101: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì 3π/2 < α < 2π nên sin α < 0: sin α = -√(1 - 9/16) = -√7/4.
a) Sai: sin 2α = 2 sin α cos α = 2·(-√7/4)·(3/4) = -3√7/8 ≠ -3√7/16.
b) Sai: sin α = -√7/4 (âm vì α ở góc phần tư thứ IV).
c) Đúng: tan α = -√7/3, nên tan(α + π/3) = (tan α + √3)/(1 - √3 tan α) = (-√7/3 + √3)/(1 + √21/3) = (3√3 - √7)/(3 + √21) ≈ 0,3363. Khi đó M ≈ 0,3363 + 4√3/3 ≈ 0,3363 + 2,3094 ≈ 2,6458 = √7. Thật vậy (3√3 - √7)/(3 + √21) + 4√3/3 = √7 (kiểm tra đại số: quy đồng, biểu thức rút gọn đúng bằng √7).
d) Đúng: cos(α + 21π) = cos(α + π + 20π) = cos(α + π) = -cos α = -3/4.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin 2α = 2 sin α cos α = 2·(-√7/4)·(3/4) = -3√7/8, không bằng -3√7/16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì 3π/2 < α < 2π nên sin α < 0, do đó sin α = -√7/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = -√7/3; tan(α + π/3) = (3√3 - √7)/(3 + √21) ≈ 0,3363; M ≈ 0,3363 + 2,3094 = √7.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(α + 21π) = cos(α + π) = -cos α = -3/4.

Ta có:
$\tan x+\tan y=\frac{-2026}{2027}$ ; $\tan x\tan y=\frac{-2025}{2026}$.
$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{2026}{4052}=\frac{1}{2}$
Và $T=\left[2027{\tan }^2(x+y)+2026\tan (x+y)-2025\right]{\cos }^2(x+y)$.
$T=\frac{2027{\tan }^2(x+y)+2026\tan (x+y)-2025}{1+{\tan }^2(x+y)}=-2025$

Thang điểm: + Thay đúng: 0,25 đ; + Tính đúng: 0,25 đ.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng ý với $v_0^2=245$, $g=9,8$, $y_0=0,5$.

a) Vì $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$ nên $y=-\frac{g}{2v_0^2}({\tan }^2\alpha +1)x^2+\tan \alpha \cdot x+y_0=-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x+y_0-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$. Đúng.

b) $\frac{g}{2v_0^2}=\frac{9,8}{2\cdot 245}=\frac{1}{50}$. Thay $y=0,5=y_0$: $-\frac{x^2}{50}({\tan }^2\alpha +1)+\tan \alpha \cdot x=0\iff -\frac{x^2}{50}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x-\frac{x^2}{50}=0$. Với $x=25$: $-\frac{625}{50}{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -\frac{625}{50}=0\iff -12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$. Đúng.

c) Đặt $t=\tan \alpha$: $-12,5t^2+25t-12,5=0\iff t^2-2t+1=0\iff t=1\iff \tan \alpha =1\iff \alpha =45^{\circ }$, thỏa $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$. Đúng.

d) Với $x=20$: $-\frac{400}{50}{\tan }^2\alpha +20\tan \alpha -\frac{400}{50}=0\iff -8t^2+20t-8=0\iff 2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Với $t=2$: $\alpha =\arctan 2\approx 63,43^{\circ }\approx 63^{\circ }$ (làm tròn đến độ), không phải $64^{\circ }$; ngoài ra còn nghiệm $t=\frac{1}{2}$ ($\alpha \approx 27^{\circ }$, loại vì dưới $30^{\circ }$). Vậy ý d sai ở chỗ làm tròn góc.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dùng $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$, khai triển đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{g}{2v_0^2}=\frac{1}{50}$; thay $x=25$, $y=y_0=0,5$ được $-12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có nghiệm kép $t=1$, $\alpha =45^{\circ }$ thỏa điều kiện góc bắn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=20$ được $2t^2-5t+2=0\Rightarrow t=2$ hoặc $t=1/2$. $\tan \alpha =2$ cho $\alpha \approx 63,43^{\circ }$, làm tròn đến độ là $63^{\circ }$ chứ không phải $64^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên $a$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin a<0$, $\cos a<0$. Từ $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$ ta có ${\cos }^{2}a=\frac{1}{1+25}=\frac{1}{26}\Rightarrow \cos a=-\frac{\sqrt{26}}{26}$; $\sin a=\tan a\cdot \cos a=5\cdot \left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right)=-\frac{5\sqrt{26}}{26}$.

1) $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{5\pi }{6}+\cos a\sin \frac{5\pi }{6}=\left(-\frac{5\sqrt{26}}{26}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{78}-\sqrt{26}}{52}$.

2) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{5\cdot 26}{676}=\frac{5}{13}$; $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{1}{26}-\frac{25}{26}=-\frac{12}{13}$.

3) Vì $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\frac{3\pi }{4}$ nên $\sin \frac{a}{2}>0$, $\cos \frac{a}{2}<0$. Do đó $\sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\sqrt{\frac{26+\sqrt{26}}{52}}=\frac{\sqrt{26+\sqrt{26}}}{2\sqrt{13}}$; $\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=-\sqrt{\frac{26-\sqrt{26}}{52}}=-\frac{\sqrt{26-\sqrt{26}}}{2\sqrt{13}}$. Kiểm tra: ${\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}=1$ và $2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=-\frac{5\sqrt{26}}{26}=\sin a$, đều đúng. Đề in $\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$ được hiểu là $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)$ theo biến $a$ của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên $a$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\sin a<0$, $\cos a<0$. Với $\tan a=5$: $\frac{1}{{\cos }^{2}a}=1+{\tan }^{2}a=26\Rightarrow \cos a=-\frac{1}{\sqrt{26}}=-\frac{\sqrt{26}}{26}$; $\sin a=\tan a\cdot \cos a=-\frac{5}{\sqrt{26}}=-\frac{5\sqrt{26}}{26}$.

1) $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{5\pi }{6}+\cos a\sin \frac{5\pi }{6}=\left(-\frac{5\sqrt{26}}{26}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{26}\left(5\sqrt{3}-1\right)}{52}$.

(Lưu ý: đề viết $\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$ nhưng theo ngữ cảnh là $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)$.)

2) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{5\sqrt{26}}{26}\cdot \frac{\sqrt{26}}{26}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$ (đúng dấu dương vì $2a\in (2\pi ,3\pi )$).
$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{1}{26}-\frac{25}{26}=-\frac{12}{13}$.

3) Vì $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\frac{3\pi }{4}$ nên $\sin \frac{a}{2}>0$, $\cos \frac{a}{2}<0$.
$\sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\sqrt{\frac{26-\sqrt{26}}{52}}$.
$\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=-\sqrt{\frac{26+\sqrt{26}}{52}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. Rút gọn biểu thức:

1) $A=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$
$=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$
$=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$.

2) $B=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2-1}{\tan x-\sin x\cos x}$ (với $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$).
Tử số: $(\sin x-\cos x{)}^2-1={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1=-2\sin x\cos x$.
Mẫu số: $\tan x-\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\cos x=\frac{\sin x(1-{\cos }^{2}x)}{\cos x}=\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}$.
Vậy $B=\frac{-2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}}=\frac{-2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=-2{\cot }^{2}x$.

3) $C=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$ (với $\cos 3x(2\cos 2x+1)\ne 0$).
Áp dụng công thức tổng thành tích:
$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x\Rightarrow$ tử số $=\sin 3x(2\cos 2x+1)$.
$\cos x+\cos 5x=2\cos 3x\cos 2x\Rightarrow$ mẫu số $=\cos 3x(2\cos 2x+1)$.
Vậy $C=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tan 3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$: $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\sqrt{5}$.
a) $\sin (7\pi -\alpha )=\sin \alpha$; $\cos \left(\frac{17\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left(8\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$; $\tan (2025\pi +\alpha )=\tan \alpha =-\sqrt{5}$. Vậy $A=\sin \alpha -\sin \alpha -2(-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$ → Đúng.
b) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\ne \frac{2}{\sqrt{6}}$ → Sai.
c) $\sin (2\pi +\alpha )=\sin \alpha$ theo công thức hiệu số đối chu kỳ → Đúng.
d) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)=-\frac{\sqrt{5}}{3}\ne \frac{1}{3}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 14: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $A=\sin \alpha -\sin \alpha -2\tan \alpha =2\sqrt{5}$ vì $\tan \alpha =-\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha >0$ đúng nhưng $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\ne \frac{2}{\sqrt{6}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức $\sin (2\pi +\alpha )=\sin \alpha$ luôn đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}\ne \frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi: $P=\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}b$. Với $\cos a=\frac{1}{3}$ thì ${\cos }^{2}a=\frac{1}{9}$. Với $\cos b=\frac{1}{4}$ thì ${\sin }^{2}b=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$. Vậy $P=\frac{1}{9}-\frac{15}{16}=\frac{16-135}{144}=\frac{-119}{144}\approx -0,826\approx -0,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai dao động cùng tần số góc $\omega =\frac{\pi }{6}$, cùng biên độ $A_1=A_2=3$ cm, lệch pha $\Delta \phi =\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$. Biên độ tổng hợp: $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi }=\sqrt{18+18\cos \frac{\pi }{12}}$. Vì $\cos \frac{\pi }{12}\approx 0,9659$ nên $A\approx \sqrt{18+17,386}=\sqrt{35,386}\approx 5,9$ cm. Cách khác: vì hai biên độ bằng nhau, $A=2A_1\cos \frac{\Delta \phi }{2}=6\cos \frac{\pi }{24}\approx 6\times 0,9914\approx 5,95\approx 5,9$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn 5,9.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Ta có $$P=\cos (a+b)\cos (a-b)=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)(\cos a\cos b+\sin a\sin b)={\cos }^{2}a{\cos }^{2}b-{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b.$$
Thay số: $$P=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{16}-\frac{8}{9}\cdot \frac{15}{16}=\frac{1}{144}-\frac{120}{144}=-\frac{119}{144}.$$
Vậy $144P=-119$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai dao động cùng tần số $\omega =\frac{\pi }{6}$, cùng biên độ $A_1=A_2=3$ cm, lệch pha $\Delta \phi =\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$. Biên độ tổng hợp: $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi =9+9+18\cos \frac{\pi }{12}=18+18\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 18+17,386=35,386$. Suy ra $A=\sqrt{35,386}\approx 5,9$ cm, khớp với đáp án nguồn 5,9.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Áp dụng công thức nhân: $P=\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a{\cos }^{2}b-{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{16}-\frac{8}{9}\cdot \frac{15}{16}=\frac{1}{144}-\frac{120}{144}=-\frac{119}{144}$. Vậy $144P=-119$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin 2x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\cos 2x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin 2x-\cos 2x$. Do đó $f(x)=4{\cos }^{2}x+\sin 2x-\cos 2x=2+2\cos 2x+\sin 2x-\cos 2x=2+\sin 2x+\cos 2x=2+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$. Suy ra $M=2+\sqrt{2}$, $m=2-\sqrt{2}$. Khi đó $T=M^2+m^2=(2+\sqrt{2}{)}^2+(2-\sqrt{2}{)}^2=(6+4\sqrt{2})+(6-4\sqrt{2})=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3: C).

a) Sai. Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

b) Sai. Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

c) Đúng. Từ đó ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{2}$

d) Sai. $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=2\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$ (Do $\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\pi }{2}$ )

Mà $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{2}}{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}=4\sqrt{5}-9$

Vậy $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=-18+8\sqrt{5}$
a) Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
b) Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
c) Từ đó ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
d) $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=2\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$ (Do $\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\pi }{2}$ )

Mà $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{2}}{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}=4\sqrt{5}-9$

Vậy $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)+\cot \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=-18+8\sqrt{5}$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách từ vận động viên $A$ đến bức tường, đặt chân tường là $H$ với $AH=x$. Theo hình vẽ: $\tan \alpha =\frac{BH}{AH}=\frac{40}{x}$ và $\tan 2\alpha =\frac{CH}{AH}=\frac{90}{x}$. Áp dụng công thức góc kép: $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\cdot \frac{40}{x}}{1-\frac{1600}{x^2}}=\frac{80x}{x^2-1600}$. Suy ra $\frac{90}{x}=\frac{80x}{x^2-1600}\Rightarrow 90(x^2-1600)=80x^2\Rightarrow 10x^2=144000\Rightarrow x^2=14400\Rightarrow x=120$ (m) (vì $x>0$). Vậy khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là $120$ m. Kiểm tra: $\tan \alpha =40/120=1/3$, $\tan 2\alpha =\frac{2/3}{1-1/9}=\frac{2/3}{8/9}=\frac{3}{4}=90/120$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Gốc tọa độ đặt tại tâm $O$ của tua-bin, trục $Ox$ là tia $OA$. Theo Hình 5, tâm $O$ cao $60m$ so với mặt đất, điểm $M$ cao $30m$ nên tung độ của $M$ so với $O$ là $-30$. Vì $M$ là đầu cánh quạt nên $OM=31m$.

Tia $OM$ nằm dưới trục hoành, tạo với $Ox$ góc $-\alpha$, nên
$$31\sin \alpha =30\Rightarrow \sin \alpha =\frac{30}{31},\cos \alpha =\frac{\sqrt{31^2-30^2}}{31}=\frac{\sqrt{61}}{31}.$$

Cánh quạt $OP$ thu được từ $OM$ quay một góc $\frac{2\pi }{3}$ theo chiều dương, nên tia $OP$ tạo với $Ox$ góc $\beta =\frac{2\pi }{3}-\alpha$. Tung độ của $P$ so với $O$:
$$31\sin \beta =31\sin \left(\frac{2\pi }{3}-\alpha \right)=31\left(\sin \frac{2\pi }{3}\cos \alpha -\cos \frac{2\pi }{3}\sin \alpha \right)$$
$$=31\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{61}}{31}+\frac{1}{2}\cdot \frac{30}{31}\right)=\frac{\sqrt{183}+30}{2}\approx 21.764(m).$$

Vậy chiều cao của điểm $P$ so với mặt đất là
$$h_P=60+21.764\approx 81.8(m).$$