Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-ax+2025}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x^2-ax+2025)-x^2}{\sqrt{x^2-ax+2025}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-a+\frac{2025}{x}}{\sqrt{1-\frac{a}{x}+\frac{2025}{x^2}}+1}=\frac{-a}{2}$. Theo đề, $\frac{-a}{2}=3\Rightarrow a=-6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-6).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Hàm số $f(x)=\frac{3x-1}{x+4}$ xác định tại $x=0$ (mẫu $0+4=4\ne 0$) và là hàm phân thức liên tục trên tập xác định, nên liên tục tại $x=0$; $f(0)=-\frac{1}{4}={\lim }_{x\to 0}f(x)$.

b) Sai. Mệnh đề nói ${\lim }_{n\to +\infty }{q}^n=0$ với mọi $q\in \mathbb{R}$ là sai. Chỉ đúng khi $|q|<1$. Ví dụ với $q=2$ thì $2^n\to +\infty$; với $q=1$ thì $1^n=1\to 1$; với $q=-1$ thì dãy $(-1{)}^n$ không có giới hạn.

c) Đúng. Khi $x\to 2^{-}$ thì $x<2$ nên $2-x>0$ và $2-x\to 0^{+}$, do đó $\frac{3}{2-x}\to +\infty$.

d) Đúng. Hàm $\frac{3x^2-5}{\sqrt{x^2+2}}$ liên tục tại $x=-1$ (vì $x^2+2>0$ với mọi $x$), nên thay trực tiếp: ${\lim }_{x\to -1}\frac{3x^2-5}{\sqrt{x^2+2}}=\frac{3(-1{)}^2-5}{\sqrt{(-1{)}^2+2}}=\frac{3-5}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: 2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định tại $x=0$ (mẫu $4\ne 0$) và liên tục trên tập xác định, nên liên tục tại $x=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ đúng khi $|q|<1$; ví dụ $q=2$ cho $2^n\to +\infty$, $q=1$ cho giới hạn bằng 1, $q=-1$ không có giới hạn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 2^{-}$ thì $2-x\to 0^{+}$ nên $\frac{3}{2-x}\to +\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay trực tiếp: $\frac{3(-1{)}^2-5}{\sqrt{(-1{)}^2+2}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: Chia tử và mẫu cho $x^2$: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{1+x-5x^2}{8x^2+4x-2}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-5}{8+\frac{4}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{-5}{8}=-\frac{5}{8}$.

Câu 1b: Với $x\to 3$ thì $x\ne 3$ và $x$ gần 3 nên $5x-6>0$. Ta có $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x-4)}{\sqrt{5x-6}-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x-4)\left(\sqrt{5x-6}+3\right)}{(5x-6)-9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-4)\left(\sqrt{5x-6}+3\right)}{5}=\frac{(-1)(3+3)}{5}=-\frac{6}{5}.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Khi $x\to 2^{-}$ thì $2-x\to 0^{+}$ nên $\frac{3}{2-x}\to +\infty$. Đúng.
b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ chỉ đúng khi $|q|<1$; ví dụ $q=2$ thì $2^n\to +\infty$, $q=1$ thì $q^n=1$, $q=-1$ thì không có giới hạn. Sai.
c) $f(x)=\frac{3x-1}{x+4}$ xác định tại $x=0$ (mẫu $4\ne 0$) và $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)=-\frac{1}{4}$, nên hàm liên tục tại $x=0$. Đúng.
d) Thay trực tiếp: $\frac{3(-1{)}^2-5}{\sqrt{(-1{)}^2+2}}=\frac{3-5}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}$. Đúng.
Đối chiếu đáp án mã đề 101: 2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d Đ — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 2^{-}$, $2-x\to 0^{+}$ nên $\frac{3}{2-x}\to +\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\lim q^n=0$ chỉ khi $|q|<1$; với $q=2$ dãy $2^n\to +\infty$, với $q=1$ dãy bằng 1, với $q=-1$ không có giới hạn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định tại $x=0$ và ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)=-\frac{1}{4}$, nên liên tục tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3(-1{)}^2-5}{\sqrt{(-1{)}^2+2}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: Chia tử và mẫu cho $x^2$: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+x-5x^2}{8x^2+4x-2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-5}{8+\frac{4}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{-5}{8}=-\frac{5}{8}.$$ Câu 1b: Khi $x\to 3$, tử và mẫu cùng tiến về 0 (dạng $\frac{0}{0}$). Phân tích tử: $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Nhân tử và mẫu với liên hợp $\sqrt{5x-6}+3$: $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x-4)\left(\sqrt{5x-6}+3\right)}{(5x-6)-9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x-4)\left(\sqrt{5x-6}+3\right)}{5(x-3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-4)\left(\sqrt{5x-6}+3\right)}{5}.$$ Thay $x=3$: $\frac{(3-4)(3+3)}{5}=\frac{-6}{5}=-\frac{6}{5}.$ Lưu ý: trường 'errors' trong dữ liệu nguồn cho rằng lời giải nêu ra $-\frac{1}{5}$, nhưng thực tế lời giải đã ghi đúng kết quả $-\frac{6}{5}$, khớp với kết quả tự kiểm tra của tôi.

(AI giải đề cho tôi)
Giới hạn khi $x\to +\infty$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{48x}{6+4x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{48}{\frac{6}{x}+4}=\frac{48}{4}=12$. Vậy sau một thời gian đủ dài, nhân viên có thể xử lý 12 hồ sơ trong một giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-5<0$ nên với $x$ đủ lớn, $f(x)<0$ (ví dụ $f(x)<-4$). Khi đó $f(x)\cdot g(x)$ là tích của một số âm với một đại lượng tiến tới $-\infty$, do đó ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)g(x)]=(-5)\cdot (-\infty )=+\infty$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N(t)=\frac{50t}{t+4}=\frac{50}{1+\frac{4}{t}}$. Khi $t\to +\infty$ thì $\frac{4}{t}\to 0$, do đó ${\lim }_{t\to +\infty }N(t)=\frac{50}{1+0}=50$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 1111: 50).

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to (-3{)}^{+}$ thì $x+3\to 0^{+}$ (dương) và tử số $3+2x\to 3+2(-3)=-3<0$. Do đó $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }\frac{3+2x}{x+3}=\frac{-3}{0^{+}}=-\infty$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất $x(m^3)$ mỗi ngày: $C(x)=4,5+0,25x$ (triệu đồng) $=4500+250x$ (nghìn đồng). Chi phí trung bình mỗi mét khối: $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{4500}{x}+250$ (nghìn đồng). Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{4500}{x}+250\right)=250$ (nghìn đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 250.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất $x(m^3)$ nước mỗi ngày: $C(x)=3,5+0,2x$ (triệu đồng) $=3500+200x$ (nghìn đồng). Chi phí trung bình mỗi mét khối: $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3500}{x}+200$ (nghìn đồng). Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3500}{x}+200\right)=200$ (nghìn đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: 200).

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to (-3{)}^{+}$ thì $x+3\to 0^{+}$ (dương) và tử số $3+2x\to 3+2(-3)=-3<0$. Do đó ${\lim }_{x\to (-3{)}^{+}}\frac{3+2x}{x+3}=\frac{-3}{0^{+}}=-\infty$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1^{-}$, dùng nhánh $f(x)=x^2-3$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1^2-3=-2$. Với $x\to 1^{+}$, dùng nhánh $f(x)=5x+2$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=5\cdot 1+2=7$. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-2\ne 7={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên giới hạn trái và phải khác nhau, do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(x+1)=3$. Xét giới hạn phải: với $x>2$, $f(x)=\frac{x^2+8x-20}{4x-8}=\frac{(x-2)(x+6)}{4(x-2)}=\frac{x+6}{4}$, nên ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=\frac{2+6}{4}=2$. Vì $3\ne 2$ nên giới hạn trái khác giới hạn phải, do đó ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại.

Bài 1a: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{8x+1}}{x-1}$ — 0.5đ
$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{9-(8x+1)}{(x-1)\left(3+\sqrt{8x+1}\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-8}{3+\sqrt{8x+1}}=-\frac{4}{3}$ — 0.25×2

Bài 1b: $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }\frac{x^3+27}{\left|x^2+5x+6\right|}$ — 0.5đ
$=\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }\frac{(x+3)\left(x^2-3x+9\right)}{\left|(x+2)(x+3)\right|}=\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }\frac{(x+3)\left(x^2-3x+9\right)}{-\left|x+2\right|(x+3)}=\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x+9}{-\left|x+2\right|}=-27$ — 0.25×2

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sqrt{4x+1}$, khi $x\to 2$ thì $t\to 3$, và $x=\frac{t^2-1}{4}$ nên $2-x=\frac{9-t^2}{4}$. Biểu thức trở thành $\frac{t+5-(t^2-1)}{(9-t^2)/4}=\frac{4(t+6-t^2)}{9-t^2}=\frac{-4(t-3)(t+2)}{-(t-3)(t+3)}=\frac{4(t+2)}{t+3}$. Do đó giới hạn bằng $\frac{4\cdot 5}{6}=\frac{10}{3}$, tức $\frac{a}{b}=\frac{10}{3}$ với $a=10,b=3$, vậy $a+b=13$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (1 điểm). Tính các giới hạn.

a) Chia tử và mẫu cho $n^2$:
$$\lim \frac{3n^2-2n+5}{4n^2+7}=\lim \frac{3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}{4+\frac{7}{n^2}}=\frac{3-0+0}{4+0}=\frac{3}{4}.$$

b) Khi $x\to 2$, cả tử và mẫu đều tiến về $0$ (dạng $\frac{0}{0}$). Nhân với liên hợp của tử:
$$\frac{\sqrt{x+23}-5}{x^2-4}=\frac{(x+23)-25}{(x^2-4)\left(\sqrt{x+23}+5\right)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)\left(\sqrt{x+23}+5\right)}=\frac{1}{(x+2)\left(\sqrt{x+23}+5\right)}.$$
Do đó
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+23}-5}{x^2-4}=\frac{1}{(2+2)(\sqrt{25}+5)}=\frac{1}{4\cdot 10}=\frac{1}{40}.$$

Vậy a) $\frac{3}{4}$; b) $\frac{1}{40}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử số: $3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$. Với $x\ne 1$ ta có $\frac{3x^2-4x+1}{x-1}=3x-1$, do đó $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2-4x+1}{x-1}=3(1)-1=2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^2$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+3}{x-x^2+5}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{\frac{1}{x}-1+\frac{5}{x^2}}=\frac{3-0+0}{0-1+0}=-3$. Vậy đáp án là D.