Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính $R$ là

Một nhà máy sản xuất thuốc nhuộm hoạt động tại khu vực gần một dòng sông lớn. Trong quá trình sản xuất, nhà máy này thải ra một lượng chất ô nhiễm đáng kể vào môi trường, gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng nước và sức khỏe cộng đồng. Để cải thiện tình hình và tuân thủ các quy định về bảo vệ môi trường, nhà máy đã quyết định đầu tư vào một hệ thống xử lý nước thải hiện đại. Chi phí để loại bỏ $x\%$ chất ô nhiễm từ nguồn nước thải được mô hình hóa bởi hàm số phân thức sau: $C(x)=\frac{2x+1}{1-0,01x}$ (triệu đồng), $0\le x<100$. Mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+2x^2-3x+1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-2;5]$. Khi đó $M-2m$ bằng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=|x^3-2x^2+(m+2)x+5|$ trên đoạn $[-1;2]$ không vượt quá 11?

Hình bên mô tả một mặt cắt ngang của một tòa nhà cao tầng.



Một chiếc thang từ xe cứu hỏa lên đến mặt tường phía trước của tòa nhà phải vượt qua phần mái che cao $10\text{ m}$ so với mặt đất và vùng mái này nhô ra $12\text{ m}$ so với tường. Giả sử, độ cao từ mặt sàn đặt thang của xe cứu hỏa là $1,2\text{ m}$, hãy tìm độ dài ngắn nhất của chiếc thang để các lính cứu hỏa có thể thực hiện nhiệm vụ này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí $A$ cách bờ $5\text{ km}$, trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $7\text{ km}$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến $M$ trên biển với vận tốc $4\text{ km/h}$ rồi đi bộ từ $M$ đến $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Xác định độ dài đoạn $BM$ để người đó đi từ $A$ đến $C$ nhanh nhất.


Giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{3x+m}{x-2}$ trên $[3;6]$ bằng 7 là

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$ trên $[1;2]$ bằng 8 ($m$ là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)=|x^3-3x^2+m^2-m-1|$ ($m$ là số thực). Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của $S$ là

Chi phí vận hành trung bình (tính bằng triệu đồng/chuyến) của một công ty vận tải khi vận hành $x$ chuyến xe mỗi ngày được cho bởi hàm số $A(x)=0,2x+2+\frac{500}{x}$ với $10\le x\le 100$.

Một nhà máy tung ra thị trường dòng drone phun thuốc tự động. Nhà máy có công suất tối đa $350$ chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra hai tham số tài chính quan trọng cho việc sản xuất và tiêu thụ hết $x$ chiếc drone ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\le 350$) trong một quý như sau:
Giá bán mỗi chiếc drone được xác định theo hàm cầu: $P(x)=120-0,2x$ (đơn vị: triệu đồng/chiếc).
Chi phí vận hành cố định: $1000$ triệu đồng. Chi phí linh kiện: Giá gốc là $50$ triệu đồng/chiếc, nếu sản xuất trên $100$ chiếc thì chi phí linh kiện giảm xuống chỉ còn $40$ triệu đồng/chiếc (áp dụng cho toàn bộ lô hàng). Lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế $10\%$ tính trên lợi nhuận dương).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho ${\max }_{[0;10]}f(x)=f(2)=4$. Xét hàm số $g(x)=f(x^3+x)-x^2+2x+m$. Giá trị của tham số $m$ để ${\max }_{[0;2]}g(x)=8$ là:

Gọi $M,m$ thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[-2;0]$. Tính $P=M+m$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Bất phương trình $f(x)+x^2+3<m$ có nghiệm đúng $\forall x\in (-1;1)$ khi và chỉ khi

Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất. Hỏi khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp sữa là $V{\text{ cm}}^3$, thì diện tích toàn phần của lon sữa nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên dưới:


Biết $2f(0)-f\left(\frac{5}{2}\right)-f(-1)=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-1;3]$ là

Công ty X cần vận chuyển hàng đến một địa điểm cách công ty $100$ dặm. Chi phí trên mỗi chuyến hàng mà công ty phải trả bao gồm chi phí nhiên liệu và chi phí thuê tài xế. Khi xe chở hàng di chuyển với tốc độ $x$ dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu (tính bằng USD) trên mỗi dặm đường được cho bởi công thức $C(x)=\frac{1}{5}\left(\frac{64}{x}+\frac{9}{100}x\right)$. Ngoài ra, giá thuê tài xế là $16$ USD trên mỗi giờ lái xe. Biết rằng tốc độ di chuyển của xe chở hàng không được phép vượt quá $50$ dặm/giờ. Hỏi chi phí nhỏ nhất mà công ty đó phải trả trên mỗi chuyến hàng là bao nhiêu USD?

Anh Thưởng dự định sử dụng hết $4{\text{ m}}^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích $V$ cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì tỉ số giữa bán kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng bao nhiêu?

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{mx+5}{x-m}$ trên đoạn $[0;1]$ bằng $-7$. Mệnh đề nào sau đây đúng?