Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $1>a>b>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={\log }_a^{2}b+{\log }_{ab}(a^{36})$.

Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài $4\text{ m}$ để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi $r$ là bán kính của nửa đường tròn, tìm $r$ (theo mét) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.


Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau:


Bất phương trình $f(x)\le e^{x^2}+m$ đúng với mọi $x\in (-1;1)$ khi và chỉ khi

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+15x$ (triệu đồng) (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $15$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm để cung cấp ra thị trường với khối lượng tối đa $100$ tấn mỗi tháng. Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng bao gồm: Chi phí cố định $100$ triệu đồng; chi phí cho mỗi tấn sản phẩm làm ra $30$ triệu đồng. Hỏi mỗi tháng lợi nhuận tối đa mà nhà máy A thu về là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=f(1+{\sin }^{2}2x)$. Tổng $M+m$ bằng

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$ trên đoạn $[1;2]$ bằng $8$ ($m$ là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)=\frac{2\sqrt{x+1}+m}{\sqrt{x+1}+1}$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;3]$ không vượt quá $3$. Số phần tử của $S$ bằng

Cho hàm số $f(x)=e^x-5x$.

Người ta muốn lắp một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí $A$ đến kho chứa dầu đặt ở vị trí $B$ qua một con sông rộng $2\text{ km}$, dài $6\text{ km}$. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí $P$ là $4\text{ tỷ VNĐ/1 km}$ và chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ $P$ đến kho chứa dầu tại vị trí $B$ là $8\text{ tỷ VNĐ/1 km}$ (tham khảo hình vẽ)
[IMAGE:img_q22_river]

Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí $P$ cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Từ một cây sắt dài $6$ mét người ta uốn và hàn lại thành khung của một cánh cổng gồm một hình chữ nhật và một nửa hình tròn ghép lại như hình vẽ (không tính cạnh chung $AB$). Cánh cổng trên có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu nếu bỏ qua hao hụt khi gia công?


Một xí nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Giả sử hàm giá và hàm chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $p(x)=48-x$ (triệu đồng) và $C(x)=x^2+6x+20$ (triệu đồng), trong đó $x$ ($1\le x\le 20$) là số lượng sản phẩm được sản xuất. Hãy tính lợi nhuận tối đa của xí nghiệp, biết rằng mỗi sản phẩm bán ra phải chịu thêm mức thuế là $2$ triệu đồng.

Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(2x)-{\sin }^{2}x$ trên đoạn $[-1;1]$ bằng

Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $288{\text{ dm}}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là $500000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó phải trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ triệu đồng (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(x^2-2)$ trên $(-1;\sqrt{3}]$ đạt được tại điểm nào sau đây?

[IMAGE_1]

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ được cho như hình vẽ bên. Biết rằng $f(0)+f(1)-2f(2)=f(4)-f(3)$. Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ và giá trị lớn nhất $M$ của $f(x)$ trên đoạn $[0;4]$?


Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R$ và hình nón $(N)$ nội tiếp mặt cầu $(S)$. Gọi $V$ là thể tích khối nón $(N)$. Giá trị lớn nhất của $V$ là

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{\cos x+m^2}{2-\cos x}$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{3}\right]$ bằng $1$. Số phần tử của $S$ là

Cho khối cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao $h$ theo $R$ sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.