Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng (P): $x+y-z-11=0$ và (Q): $2x+2y-2z+7=0$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_P}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(2;2;-2)=2\overrightarrow{n_P}$. Hai pháp tuyến cùng phương nên hai mặt phẳng song song (không trùng nhau vì $2(x+y-z-11)=2x+2y-2z-22\ne 2x+2y-2z+7$). Góc giữa hai mặt phẳng song song bằng $0^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Các vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;1;2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;1;-1)$, $\overrightarrow{n_{\gamma }}=(1;-1;0)$. Xét từng mệnh đề: A) $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ và $\overrightarrow{n_{\gamma }}$ không tỉ lệ nên $(\alpha )$ không song song $(\gamma )$ → sai. B) $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=1+1-2=0$ → $(\alpha )\perp (\beta )$ đúng. C) $\overrightarrow{n_{\gamma }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=1-1+0=0$ → $(\gamma )\perp (\beta )$ đúng. D) $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\gamma }}=1-1+0=0$ → $(\alpha )\perp (\gamma )$ đúng. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;2;-2)$ và $(Q):x+y+z-1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;1;1)$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1+2-2|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-2)$, $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;1)$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \theta =\frac{|1\cdot 1+2\cdot 1+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vecto pháp tuyến hoặc bù của nó, luôn nằm trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$. Vì góc giữa ${\vec{n}}_P$ và ${\vec{n}}_Q$ bằng $120^{\circ }$, góc giữa hai mặt phẳng là $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;2;-2)=2\overrightarrow{n_1}$, nên hai mặt phẳng song song (không trùng nhau vì $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{-1}{-2}\ne \frac{-11}{7}$). Góc giữa hai mặt phẳng song song bằng $0^{\circ }$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của (P) là $\overrightarrow{n_P}=(1;1;1)$, của (Q) là $\overrightarrow{n_Q}=(2;m;2)$, của (R) là $\overrightarrow{n_R}=(-1;2;n)$. Vì $(P)\perp (R)$: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_R}=-1+2+n=0\Rightarrow n=-1$. Vì $(P)//(Q)$: $\overrightarrow{n_Q}=k\overrightarrow{n_P}$, từ $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$, suy ra $m=2$. Vậy $m+2n=2+2(-1)=0$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vector pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1;1;1)$, của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(2;m;2)$, của $(R)$ là $\overrightarrow{n_R}=(-1;2;n)$.

Vì $(P)\perp (R)$: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_R}=-1+2+n=0\Rightarrow n=-1$.

Vì $(P)\parallel (Q)$: $\overrightarrow{n_Q}=k\overrightarrow{n_P}$, từ $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$, suy ra $m=2$ (kiểm tra: $2=2\cdot 1$, $2=2\cdot 1$ đúng).

Vậy $m+2n=2+2(-1)=0$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $(P):mx+(m-1)y+z-10=0$ có $\overrightarrow{n_P}=(m;m-1;1)$; $(Q):2x+y-2z+3=0$ có $\overrightarrow{n_Q}=(2;1;-2)$. Điều kiện vuông góc: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0\iff 2m+(m-1)-2=0\iff 3m-3=0\iff m=1$. Kiểm tra: với $m=1$, $\overrightarrow{n_P}=(1;0;1)$, tích vô hướng $2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot (-2)=0$, thỏa mãn. Vậy $m=1$, đáp án B, khớp đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;m;2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(2;-1;3)$. Khi đó $\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=2-m+6=0\Rightarrow m=8$. Khớp với đáp án nguồn (mã 1202, Câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0. $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;m+1;-2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(2;-1;0)$. Điều kiện: $1\cdot 2+(m+1)(-1)+(-2)\cdot 0=0\iff 2-(m+1)=0\iff m=1$. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)$ song song với $(P):-x+6y+7z+34=0$ nên $(Q)$ có dạng $-x+6y+7z+c=0$, tức $a=6,b=7$. Điểm $M(3;3;-2)$ thuộc $(Q)$: $-3+6\cdot 3+7\cdot (-2)+c=0\Rightarrow -3+18-14+c=0\Rightarrow c=-1$. Vậy $a+b+c=6+7-1=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)$ song song với $(P):-x+6y+7z+34=0$ nên $(Q)$ có dạng $-x+6y+7z+c=0$, tức $a=6,b=7$. Đi qua $M(3;-3;2)$: $-3+6(-3)+7(2)+c=0\Rightarrow -3-18+14+c=0\Rightarrow c=7$. Vậy $a+b+c=6+7+7=20$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $(1;2;-2)$ nên song song với nhau. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là $d((P),(Q))=\frac{|-6-3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{9}{3}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 17: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-2)$ nên song song với nhau. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là $d(P,Q)=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|-6-3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{9}{3}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 19: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z-4=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;2;2)$. Xét từng phương án: A có $\vec{n}=(2;2;4)$, không cùng phương với $(1;2;2)$. B có $\vec{n}=(1;-2;-2)$, không cùng phương. C có $\vec{n}=(1;-1;2)$, không cùng phương. D có $\vec{n}=(2;4;4)=2(1;2;2)$, cùng phương với $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ và $2x+4y+4z-9=0$ khác với $2x+4y+4z-8=0$ nên hai mặt phẳng không trùng nhau, chỉ song song. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 222, Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+4y+3z-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;4;3)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét đáp án B: $2x+4y+3z+7=0$ có pháp tuyến $(2;4;3)=\vec{n}$, cùng phương với $\vec{n}$, và hai mặt phẳng không trùng nhau (hằng số khác nhau: $-5\ne 7$). Vậy $(P)$ song song với mặt phẳng $2x+4y+3z+7=0$. Các đáp án A, C, D có pháp tuyến không cùng phương với $\vec{n}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):3x-y+2z+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.
- A: $(P_3):-3x+y-2z+5=0$ có $\overrightarrow{n_3}=(-3;1;-2)=-1\cdot (3;-1;2)$, cùng phương với $\vec{n}$. Mặt khác nhân $(P)$ với $-1$ ta được $-3x+y-2z-5=0\ne (P_3)$ (hằng số khác nhau), nên $(P_3)$ song song nhưng không trùng với $(P)$. Đúng.
- B: $(P_1):6x-2y-4z+10=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(6;-2;-4)$ không cùng phương với $\vec{n}$ (tỉ số $6/3=2$ nhưng $-4/2=-2$), không song song.
- C: $(P_2):-3x+y-2z-5=0$ chính là $-1\cdot (P)$, tức trùng với $(P)$, không phải song song (trong nghĩa hai mặt phẳng phân biệt).
- D: $(P_4):x+y-z+4=0$ có $\overrightarrow{n_4}=(1;1;-1)$ không cùng phương với $\vec{n}$.
Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-3y+2z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-3;2)$. Hai mặt phẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.
- A: $(P_3)$ có $\overrightarrow{n_3}=(1;-1;-2)$, không cùng phương với $\vec{n}$ → loại.
- B: $(P_2)$ có $\overrightarrow{n_2}=(1;-3;4)$, không cùng phương với $\vec{n}$ → loại.
- C: $(P_1):2x-6y+4z-2=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(2;-6;4)=2\vec{n}$, nhưng phương trình $(P_1)$ chính là $(P)$ nhân với 2, tức $(P_1)\equiv (P)$ (trùng nhau, không song song) → loại.
- D: $(P_4):-2x+6y-4z-1=0$ có $\overrightarrow{n_4}=(-2;6;-4)=-2\vec{n}$ cùng phương với $\vec{n}$, và hằng số $-1\ne -2\cdot (-1)=2$ nên hai mặt phẳng không trùng nhau → $(P_4)$ song song với $(P)$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;2;-2)=2\overrightarrow{n_1}$, nên hai mặt phẳng song song (không trùng nhau vì $-11\ne -7/2$). Góc giữa hai mặt phẳng song song bằng $0^{\circ }$. Vậy đáp án B.