Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $MN\parallel AB$ trong tam giác $SAB$ nên $\frac{MN}{AB}=\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow MN=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$. Tương tự $MQ\parallel AD$ trong tam giác $SAD$ nên $MQ=\frac{2}{3}\cdot 7=\frac{14}{3}$. Hai đường thẳng cắt nhau $MN,MQ$ cùng song song với mặt phẳng đáy nên $(MNPQ)\parallel (ABCD)$. Do đó mặt phẳng cắt các cạnh $SB,SC,SD$ theo tỉ số $\frac{2}{3}$: $\frac{SP}{SC}=\frac{2}{3}$. Suy ra trong tam giác $SBC$: $NP\parallel BC$ và $NP=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AD=\frac{14}{3}$; trong tam giác $SCD$: $PQ\parallel CD$ và $PQ=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}AB=\frac{16}{3}$. Chu vi tứ giác $MNPQ$ là $\frac{16}{3}+\frac{14}{3}+\frac{16}{3}+\frac{14}{3}=20$.

a. Chứng minh $CD\parallel (SAB)$.

$CD\parallel AB$ (gt)

$CD\not\subset (SAB);AB\subset (SAB)$

Suy ra $CD\parallel (SAB)$

b. Chứng minh $(MNP)\parallel (SBD)$.

Ta có

$$\{\begin{array}{l}MP\parallel SB;NP\parallel SD\\ MP,NP\subset (MNP);SB,SD\subset (SBD)\\ MP\cap NP=P\end{array}$$

$\Rightarrow (MNP)\parallel (SBD)$

c. Trong $(ABCD)$, gọi $O=AC\cap MN$.

Trong $(SMN)$, gọi $H=SO\cap IJ$.

Trong $(AIJ)$, gọi $K=SC\cap AH$.

$$\{\begin{array}{l}K\in SC\\ K\in AH,AH\subset (AIJ)\end{array}$$

$\Rightarrow K=SC\cap (AIJ)$

$AT=OC=OT=\frac{1}{2}TC\Rightarrow \frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}$

Ta có

$$\frac{SJ}{SN}=\frac{SI}{SM}=\frac{2}{3}\Rightarrow IJ\parallel MN$$

$$\Rightarrow \frac{SH}{SO}=\frac{2}{3}$$

Trong (SAC), kẻ OE//AK (E thuộc AC).

$\Delta SOE$ có OE//HK

$$\Rightarrow \frac{SK}{SE}=\frac{SH}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow SK=2KE(1)$$

$\Delta ACK$ có OE//AK

$$\Rightarrow \frac{KE}{KC}=\frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}\Rightarrow KE=\frac{2}{3}KC(2)$$

Từ (1) và (2) suy ra SK = 2KE $=2.\frac{2}{3}KC=\frac{4}{3}KC$

$$\Rightarrow \frac{SK}{KC}=\frac{4}{3}$$

Ta có mặt phẳng (ABB')//(DCC'D') nên AB'//D'C'
Tương tự mặt phẳng (ADD') //(BCC'B') nên AD'//B'C'. Vậy tứ giác AB'C'D' là hình bình hành.
Gọi $O=AC\cap BD,O^{\prime }=A{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$. Ta có $O{O}^{\prime }=\frac{B{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }}{2}=3$.
Mặt khác $C{C}^{\prime }=2O{O}^{\prime }=6$.
(Điểm: 0,25, 0,25)

Mặt phẳng $(MNP)\cap (ABCD)=MQ//BD,AC\cap MQ=I,AC\cap BD=O,NP\cap SO=J$.
Mặt phẳng $(\alpha )//(MNP)\Rightarrow (\alpha )\cap (SAC)=OK//IJ$.
Xét $△SAC,OI=\frac{1}{3}OA,OC=\frac{1}{3}OA,JO=JS$. Gọi E là trung điểm AI, ta có
$KO//IJ//SE\Rightarrow \frac{KC}{KS}=\frac{OC}{OE}=\frac{1}{2}$.
(Điểm: 0,25, 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)\parallel (BCD)$ đi qua $M\in AB$, thiết diện là tam giác đồng dạng với tam giác $BCD$ với tỉ số $\frac{MA}{AB}$. Do $MB=2MA$ nên $AB=3MA$, suy ra tỉ số đồng dạng $k=\frac{MA}{AB}=\frac{1}{3}$. Diện tích thiết diện bằng $k^2\cdot S_{BCD}=\frac{1}{9}\cdot 27=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{C}=\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}$. Ta có $\overrightarrow{KI}=\vec{A}+\frac{\vec{B}-\vec{A}}{2}-\left(\vec{A}+\frac{\vec{S}-\vec{A}}{2}\right)=\frac{\vec{B}-\vec{S}}{2}$, tức $KI\parallel SB$. Mặt khác $\overrightarrow{BJ}=\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}-\vec{B}=\frac{\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}+\vec{D}-2\vec{B}}{2}=\vec{D}-\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}=\overrightarrow{ID}$, tức $ID\parallel BJ$. Trong mặt phẳng $(KID)$, $KI$ và $ID$ cắt nhau tại $I$; trong mặt phẳng $(SBJ)$, $SB$ và $BJ$ cắt nhau tại $B$. Suy ra $(KID)\parallel (SBJ)$. Các khẳng định khác sai vì không có đủ hai cặp đường thẳng cắt nhau song song (ví dụ A: $(SBJ)$ chứa $J\in CD$ và $AD\nparallel$ mặt phẳng này do $AD\parallel BC$ mà $BC$ cắt $(SBJ)$ tại $B$).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),C(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó trọng tâm $I=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0\right)$, $J=\left(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$, $K=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. Vectơ $\overrightarrow{IJ}=\left(-\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$, $\overrightarrow{IK}=\left(0;0;\frac{2}{3}\right)$, nên pháp tuyến của $(IJK)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{IJ}\times \overrightarrow{IK}$ cùng phương $(1;1;0)$, tức mặt phẳng $(IJK)$ có dạng $x+y=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(B{B}^{\prime }C)$ đi qua $B(1;0;0),B^{\prime }(1;0;1),C(0;1;0)$ có phương trình $x+y=1$, cùng pháp tuyến $(1;1;0)$ và không trùng $(IJK)$, nên $(B{B}^{\prime }C)\parallel (IJK)$. Các phương án khác: $(A{A}^{\prime }B)$ có $x=0$, $(C{C}^{\prime }A)$ có $y=0$, $(B{C}^{\prime }A)$ có $-y+z=0$, đều không song song với $(IJK)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $A^{\prime }=(0,0,1)$ (lăng trụ đứng, không mất tính tổng quát vì kết quả chỉ phụ thuộc quan hệ song song). Khi đó $B^{\prime }=(1,0,1)$, $C^{\prime }=(0,1,1)$.

Trọng tâm: $I=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0\right)$, $J=\left(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$, $K=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$.

Vectơ chỉ phương của $(IJK)$: $\overrightarrow{IJ}=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$, $\overrightarrow{IK}=\left(0,0,\frac{2}{3}\right)$, nên pháp tuyến ${\vec{n}}_1\propto (1,1,0)$, tức $(IJK)$ có dạng $x+y=\frac{2}{3}$.

Xét $(B{B}^{\prime }C)$: đi qua $B=(1,0,0)$, $B^{\prime }=(1,0,1)$, $C=(0,1,0)$, có vectơ chỉ phương $(0,0,1)$ và $(-1,1,0)$, pháp tuyến ${\vec{n}}_2\propto (1,1,0)$. Vậy ${\vec{n}}_1\parallel {\vec{n}}_2$ và $(B{B}^{\prime }C)$ không chứa điểm nào của $(IJK)$ (mặt phẳng $x+y=1$), nên $(IJK)\parallel (B{B}^{\prime }C)$.

Kiểm tra các phương án khác: $(A{A}^{\prime }B)$ có pháp tuyến $(0,1,0)$; $(C{C}^{\prime }A)$ có pháp tuyến $(1,0,0)$; $(B{C}^{\prime }A)$ có pháp tuyến $(0,1,-1)$ — đều không song song với $(1,1,0)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ trung điểm $SA$, $N$ trung điểm $SD$.

Ý a: Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM\parallel SC$. Trong tam giác $SAD$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AD$; vì $AD\parallel BC$ nên $MN\parallel BC$. Hai đường thẳng cắt nhau $OM$ và $MN$ của mặt phẳng $(OMN)$ lần lượt song song với $SC$ và $BC$ của mặt phẳng $(SBC)$, do đó $(OMN)\parallel (SBC)$. → Đúng.

Ý b: $MN\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$, nên $MN\parallel (SBC)$. → Đúng.

Ý c: Điểm $F$ thuộc đoạn $ON$ nên $MF\subset (OMN)$. Vì $(OMN)\parallel (SBC)$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(OMN)$, kể cả $MF$, đều không thể cắt mặt phẳng $(SBC)$ (chúng song song với $(SBC)$). → Sai.

Ý d: Tập hợp các điểm trên $(ABCD)$ cách đều hai đường thẳng song song $AB$ và $CD$ là đường trung bình của hình bình hành, đi qua trung điểm $E$ của $AD$ và $O$. Mặt khác, mặt phẳng qua $N$ song song với $(SAB)$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ theo đường thẳng qua $N$ song song với $SA$ (vì $(SAD)\cap (SAB)=SA$), đường này cắt $AD$ tại trung điểm $E$ của $AD$. Mặt phẳng đó chứa $E$ và đường thẳng $AB$ nên cắt $(ABCD)$ theo đường trung bình qua $E$ song song $AB$ — chính là quỹ tích điểm $G$. Vậy $G$ nằm trong mặt phẳng qua $N$ song song $(SAB)$, suy ra $GN\parallel (SAB)$. → Đúng.

Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng (ĐĐSĐ), khớp với bảng đáp án mã đề 212.

(AI giải đề cho tôi)
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song $SA$ cắt $(SBC)$ tại $N$. Vì đường thẳng qua $M$ song song $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, nên $N$ thuộc giao tuyến của $(SAB)$ và $(SBC)$, tức $N$ nằm trên đường thẳng $SB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, do $MN//SA$ nên theo định lý Thales: $\frac{MN}{SA}=\frac{BN}{BS}$ (đặt $k_1=\frac{BN}{BS}$). Tương tự, đường thẳng qua $M$ song song $SB$ cắt $(SAD)$ tại $P$; vì đường này nằm trong mặt phẳng $(SBA)$ nên $P$ thuộc giao tuyến của $(SBA)$ và $(SAD)$, tức $P$ nằm trên $SA$, và $\frac{MP}{SB}=\frac{AP}{AS}$ (đặt $k_2=\frac{AP}{AS}$). Gọi $I$ là giao điểm của $SM$ với $AB$ (M bên trong hình thang nên $I$ nằm trên đoạn $AB$). Trong tam giác $SAB$, đường thẳng qua $M$ song song $SA$ cho $\frac{BN}{BS}=\frac{BI}{BA}$; đường thẳng qua $M$ song song $SB$ cho $\frac{AP}{AS}=\frac{AI}{AB}$. Vì $I$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $\frac{BI}{BA}+\frac{AI}{AB}=1$. Vậy $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=\frac{BI}{BA}+\frac{AI}{AB}=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 21, Mã đề 211: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì tầng giữa $(IJKL)$ song song với hai tầng $(ABCD)$ và $(EFGH)$, theo hình vẽ $I$ nằm trên đoạn $AE$ và $K$ nằm trên đoạn $CG$. Mặt phẳng $(IJKL)$ cắt các đường thẳng $AE$ và $CG$ (hai đường thẳng chéo nhau nối hai mặt phẳng song song) theo cùng một tỉ số chia. Cụ thể, do $(IJKL)\parallel (EFGH)$, khoảng cách từ $I$ đến $(EFGH)$ bằng khoảng cách từ $K$ đến $(EFGH)$, suy ra $$\frac{AI}{AE}=\frac{CK}{CG}.$$ Với $AE=120$ cm, $CG=150$ cm, $GK=60$ cm nên $CK=CG-GK=150-60=90$ cm. Do đó $$AI=\frac{CK}{CG}\cdot AE=\frac{90}{150}\cdot 120=72\text{cm}.$$ Vậy bác thợ mộc cần khoan lỗ tại vị trí sao cho $AI=72$ cm, trùng với đáp án 72 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ba mặt phẳng $(ABCD)$, $(IJKL)$, $(EFGH)$ song song với nhau, nên các đoạn thẳng nối tương ứng giữa hai mặt phẳng song song tỉ lệ theo khoảng cách giữa các mặt phẳng. Cụ thể, với hai mặt phẳng song song, mọi đoạn nối từ một điểm trên mặt phẳng dưới tới điểm tương ứng trên mặt phẳng trên bị mặt phẳng giữa chia theo cùng một tỉ số $\lambda =\frac{AI}{AE}=\frac{GK}{GC}$ (tính chất giao tuyến của các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đường thẳng). Do đó $\frac{AI}{AE}=\frac{GK}{GC}\Rightarrow AI=\frac{GK}{GC}\cdot AE=\frac{60}{150}\cdot 120=72$ cm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (72).

(AI giải đề cho tôi)
Hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ chung cạnh $AB$, nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét đáp án B: Trong hình bình hành $ABEF$ ta có $AF\parallel BE$. Xét vectơ: $\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$. Vì $ABEF$ và $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{EB}$ (do $AF\parallel BE$ cùng hướng) và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Suy ra $\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EC}$, tức $FD\parallel EC$ và $FD=EC$. Trong mặt phẳng $(AFD)$ có hai đường thẳng cắt nhau $AF$ và $FD$; trong mặt phẳng $(BEC)$ có $BE\parallel AF$ và $EC\parallel FD$ với $AF,FD$ cắt nhau tại $F$. Theo định lí về hai mặt phẳng song song, ta được $(AFD)\parallel (BEC)$. Các đáp án khác sai: $AD$ không song song với $(BEF)$ vì không có đường thẳng nào trong $(BEF)$ song song với $AD$; $(ABD)$ chính là $(ABCD)$ chứa $E$... không song song với $(EFC)$; $EC$ cắt mặt phẳng $(ABF)$ tại... thực tế $EC$ không song song với $(ABF)$ vì $EC$ có phương không nằm trong mặt đó nhưng xét $EC=EB+BC$ với $EB$ nằm trong $(ABF)$ nên $EC$ cắt $(ABF)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ là trung điểm của $SA,SB,SC,SD$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$ (tính chất đường trung bình của tam giác $SAC$, $SAD$).

Xét các phương án:
- A: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, nhưng $AB$ không song song với mặt phẳng $(SAD)$ (vì $AB$ cắt $AD$ tại $A\in (SAD)$), nên $A^{\prime }{B}^{\prime }$ không song song $(SAD)$. Sai.
- B: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, mà $AC$ cắt $BD$ tại giao hai đường chéo của hình bình hành, nên $AC$ không song song $(SBD)$. Sai.
- C: Trong mặt phẳng $(SAC)$: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$; trong $(SAD)$: $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$. Hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A^{\prime }$ và lần lượt song song với $AC,AD$ (hai đường thẳng cắt nhau trong $(ABC)$), nên theo định lý về hai mặt phẳng song song ta có $(A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABC)$. Đúng.
- D: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ mà $AC$ cắt $BD$, nên $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song $BD$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định của Câu 44:

- **A (sai):** Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cùng song song với $(Q)$ thì chưa chắc $(P)\parallel (Q)$. Điều kiện đúng phải là hai đường thẳng đó **cắt nhau** (định lý về hai mặt phẳng song song). Nếu hai đường thẳng trong $(P)$ song song với nhau và cùng song song với $(Q)$ thì $(P)$ có thể cắt $(Q)$. Ví dụ: $(P)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song $a,b$, $(Q)$ là mặt phẳng song song với $a,b$ nhưng cắt $(P)$ theo giao tuyến khác.

- **B (đúng):** Đây là tính chất của hai mặt phẳng song song: nếu $(P)\parallel (Q)$ và $(R)$ cắt $(P)$ thì $(R)$ cắt $(Q)$, và hai giao tuyến song song với nhau (vì cùng nằm trong $(R)$ và không cắt nhau).

- **C (đúng):** Nếu $(P)\parallel (Q)$ thì mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ không có điểm chung với $(Q)$, do đó song song với $(Q)$.

- **D (đúng):** Nếu đường thẳng $a$ cắt $(P)$ tại điểm $M$ và $(P)\parallel (Q)$ thì $M\notin (Q)$, nên $a$ không thể song song hoặc nằm trong $(Q)$; do đó $a$ cắt $(Q)$.

Vậy câu sai là **A**.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $SAB$, $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ nên $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, suy ra $MN\parallel CD$. Đúng.
b) $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, không nằm trong $(ABCD)$; $CD\subset (ABCD)$. $SA$ cắt $(ABCD)$ tại $A$ và $A\notin CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành nên $A$ không thuộc đường thẳng $CD$). Do đó $SA$ và $CD$ không cắt nhau và không song song, tức chéo nhau. Đúng.
c) $MN\parallel AB$, $AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ (vì $M,N$ nằm ngoài mặt đáy), suy ra $MN\parallel (ABCD)$. Đúng.
d) Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $I$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $MI\parallel SC$. Mặt khác $MN\parallel AB\parallel CD$. Trong mặt phẳng $(SCD)$ có hai đường thẳng cắt nhau $SC\cap CD=C$, với $MI\parallel SC$, $MN\parallel CD$, $MI\cap MN=M$, và $(MNI)$ không chứa $SC,CD$. Theo định lý về hai mặt phẳng song song, $(MNI)\parallel (SCD)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN\parallel AB$; mà $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA$ cắt mặt đáy $(ABCD)$ tại $A\notin CD$ nên $SA$ và $CD$ không cắt nhau, không song song, tức chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(SAC)$: $M$ trung điểm $SA$, $I$ trung điểm $AC$ nên $MI\parallel SC$; và $MN\parallel CD$. Hai mặt phẳng $(MNI)$ và $(SCD)$ lần lượt chứa hai cặp đường thẳng song song cắt nhau nên song song.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(0,1,1)$. Khi đó $I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$, $K(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1)$, $G$ trọng tâm $AC{C}^{\prime }$ là $G(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$. a) Trong lăng trụ $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, mà $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, $B{B}^{\prime }\not\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$: đúng. b) Hai đáy của lăng trụ song song: $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: đúng. c) Phương trình đường thẳng $IG$: $\frac{x-1/3}{-1}=\frac{y-1/3}{1}=\frac{z}{1}$. Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ có phương trình $x+y=1$. Trên đường thẳng $IG$ ta có $x+y=\frac{2}{3}$ hằng số, không bao giờ bằng 1, nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, không cắt: sai. d) $\overrightarrow{IK}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, pháp tuyến của $(IKG)$ là $\overrightarrow{IK}\times \overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0)\parallel (1,1,0)$, trùng phương pháp tuyến của $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$. Điểm $G$ có $x+y=\frac{2}{3}\ne 1$ nên hai mặt phẳng phân biệt và song song: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ (lăng trụ), $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $B{B}^{\prime }\not\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt đáy của lăng trụ song song với nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ trên, trên đường thẳng $IG$ luôn có $x+y=\frac{2}{3}\ne 1$, nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, không cắt mặt phẳng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(IKG)$ là $\overrightarrow{IK}\times \overrightarrow{IG}\parallel (1,1,0)$, cùng phương với pháp tuyến của $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, và $G\notin (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(IKG)\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, lấy $A$ làm gốc. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{A^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{B^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{D^{\prime }}=\vec{a}+\vec{d}$.

a) $AC$ cắt $BD$ tại tâm $O$ của đáy $ABCD$; mặt khác $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (hai đường chéo của hai đáy song song). Vậy $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ chéo nhau, không song song. Mệnh đề SAI.

b) $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}-\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }M}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}-(\vec{a}+\vec{b})=\frac{-2\vec{a}-2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Nếu $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{B^{\prime }M}$ thì so sánh hệ số của $\vec{a}$ (với $\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ độc lập) cho $\beta =0$; khi đó $\vec{b}+\vec{d}=\alpha (\vec{d}-\vec{b})$ đòi hỏi $\alpha =1$ và $\alpha =-1$ cùng lúc, vô nghiệm. Vậy $AC$ không song song với $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ (nó cắt mặt phẳng này). Mệnh đề SAI.

c) $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Hơn nữa $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(\vec{d}-\vec{b})-(\vec{d}-\vec{a})=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }C}$, tức $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ là tổ hợp của $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }C}$, nên $B{A}^{\prime }\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ với $B{A}^{\prime }$ không nằm trong $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có hai cặp đường thẳng tương ứng song song nên song song với nhau. Mệnh đề ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$; $N$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{(\vec{b}+\vec{d})+(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{d})}{3}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d})}{3}=2\overrightarrow{AM}$, suy ra $A,M,N$ thẳng hàng. Nhưng $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$ không cùng phương với $\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$ (do thành phần $\vec{a}$ độc lập), nên $C$ không thuộc đường thẳng $AMN$. Bốn điểm không thẳng hàng. Mệnh đề SAI.
a) Trong hình bình hành $ABCD$, $AC$ cắt $BD$ tại tâm $O$. Vì $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (hai đáy song song) nên $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ chéo nhau, không song song. Mệnh đề sai.
b) Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}-\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }M}=\frac{-2\vec{a}-2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Nếu $AC\parallel (M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ thì $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{B^{\prime }M}$; so sánh hệ số của $\vec{a}$ cho $\beta =0$, khi đó $\vec{b}+\vec{d}=\alpha (\vec{d}-\vec{b})$ vô nghiệm vì $\vec{b},\vec{d}$ độc lập. Vậy $AC$ không song song và cắt mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mệnh đề sai.
c) Ta có $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Hơn nữa $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(\vec{d}-\vec{b})-(\vec{d}-\vec{a})=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }C}$, nên $B{A}^{\prime }\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ với $B{A}^{\prime }$ không nằm trong $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có hai cặp đường thẳng tương giao song song nên song song với nhau. Mệnh đề đúng.
d) Với $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, còn $N=\frac{C+B^{\prime }+D^{\prime }}{3}$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d})}{3}=2\overrightarrow{AM}$, suy ra $A,M,N$ thẳng hàng. Nhưng $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$ không cùng phương với $\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$ (do thành phần $\vec{a}$), nên $C$ không thuộc đường thẳng $AMN$. Bốn điểm không thẳng hàng, mệnh đề sai.