Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại $x=1$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x-4)=1-4=-3$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(m-2x)=m-2$; và $f(1)=m-2$. Điều kiện liên tục: $m-2=-3\Rightarrow m=-1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $T(t)=30+3t$ khi $0\le t\le 12$ và $T(t)=m-t$ khi $12<t\le 18$. Để hàm số liên tục tại $t=12$ thì giới hạn trái phải bằng giới hạn phải: ${\lim }_{t\to 12^{-}}T(t)=30+3\cdot 12=66$ và ${\lim }_{t\to 12^{+}}T(t)=m-12$. Suy ra $m-12=66\Rightarrow m=78$. Kiểm tra: tại $t=12$ nhiệt độ là $66^{\circ }C$, sau đó giảm $1^{\circ }C$ mỗi phút nên $T(t)=66-(t-12)=78-t$, khớp với dạng $m-t$ với $m=78$. Vậy $m=78$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=m$. Với $x\ne 1$, $f(x)=x+2$ nên $\underset{x\to 1}{\lim }(x+2)=1+2=3$. Vậy $m=3$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ (ý b Đúng). Với $x\le 1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$ (ý d Sai vì đề nói $-a+1$). Hàm liên tục tại $x=1$ khi $a+1=2\iff a=1$ (ý a Đúng). Do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ khi $a=1$, không đúng với mọi $a$ (ý c Sai). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1106: Đ, Đ, S, S.
a) Liên tục tại $x=1$ yêu cầu ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $a+1=2\iff a=1$. Đúng.
b) Với $x>1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$. Đúng.
c) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1=2$, tức $a=1$; không đúng với mọi $a\in \mathbb{R}$. Sai.
d) Với $x\le 1$, $f(x)=ax+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$, không phải $-a+1$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Với $x\le 1$, $f(x)=ax+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$, do đó ý a) Sai (không phải $-a+1$). Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ (ý d) Đúng). Hàm liên tục tại $x=1$ khi $a+1=2\iff a=1$ (ý b) Đúng). Khi đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ tồn tại khi $a=1$, không đúng với mọi $a$, nên ý c) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1105: S, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\le 1$ thì $f(x)=ax+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a\cdot 1+1=a+1\ne -a+1$ (trừ khi $a=0$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$ yêu cầu ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $a+1=2\iff a=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái là $a+1$ phụ thuộc $a$; giới hạn hai bên chỉ bằng nhau (bằng 2) khi $a=1$, nên khẳng định đúng với mọi $a$ là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+b-5$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2a-3b$. Suy ra $a+b-5=2a-3b\Rightarrow a-4b=-5$. Vậy $P=-5$, khớp đáp án C (mã đề 1101, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+a)=2+a$ và $f(1)=4\cdot 1-2b=4-2b$. Suy ra $2+a=4-2b\iff a+2b=2$. Vậy $a+2b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đã liên tục trên $(a;b)$. Để liên tục trên $[a;b]$, cần và đủ hàm liên tục tại hai đầu mút: tại $a$ (chỉ xét giới hạn phải vì hàm chỉ xác định bên phải của $a$): $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)$; tại $b$ (chỉ xét giới hạn trái): $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=f(b)$. Vậy đáp án là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano): nếu $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a)\cdot f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(a;b)$. Do đó mệnh đề B đúng.

- A sai: $f(a)\cdot f(b)>0$ không loại trừ nghiệm, ví dụ $f(x)=x^2-1$ trên $[-2;3]$ có $f(-2)f(3)=3\cdot 8>0$ nhưng có nghiệm $x=1\in (-2;3)$.
- C sai: ví dụ $f(x)=x^2-1$ trên $[2;3]$ có $f(2)f(3)>0$ và không có nghiệm trong $(2;3)$.
- D sai: điều kiện $f(a)\cdot f(b)<0$ chỉ là điều kiện đủ, không cần; ví dụ $f(x)=(x-1{)}^2$ trên $[0;2]$ có nghiệm $x=1\in (0;2)$ nhưng $f(0)f(2)=1>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (trang 35): với $x<0$ đồ thị là parabol $y=x^2$ đi qua gốc $O$; với $x>0$ đồ thị là đường thẳng $y=x$ (đường nét đứt chỉ điểm $(1;1)$). Tại $x=0$: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=0$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0$ và $f(0)=0$ nên hàm số liên tục tại $x=0$. Xét đạo hàm một bên: $f_{-}{}^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}={\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{x^2}{x}=0$; $f_{+}{}^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}=1$. Vì $f_{-}{}^{\prime }(0)\ne f_{+}{}^{\prime }(0)$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$ (đồ thị gãy góc tại gốc toạ độ). Vậy mệnh đề đúng là B: hàm số liên tục tại $x=0$ nhưng không có đạo hàm tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đồ thị tại $x=1$: Hình A là đồ thị dạng $y=|x-1|$, hai nhánh nối liền tại điểm $(1;1)$, hàm liên tục tại $x=1$. Hình B là parabol đi qua $(1;1)$, liên tục tại $x=1$. Hình C là đường thẳng đi qua $(1;1)$, liên tục tại $x=1$. Hình D: nhánh trái là đường thẳng giảm dần, khi $x\to 1^{-}$ giá trị tiến tới $1$ nhưng điểm tại $x=1$ bị bỏ trống (đồ thị đứt), còn nhánh phải là đường thẳng tăng dần bắt đầu từ giá trị âm gần $x=1$ và đi qua $(2;0)$. Như vậy giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$ khác nhau (đồ thị bị ngắt quãng — gián đoạn loại nhảy), nên hàm số không liên tục tại $x=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $y=\frac{1-x^3}{1-x}=\frac{(1-x)(1+x+x^2)}{1-x}=1+x+x^2$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=3$. Với $x\ge 1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=1=y(1)$. Vì giới hạn trái $3\ne y(1)=1$ nên hàm không liên tục trái tại $x=1$; vì giới hạn phải bằng $y(1)$ nên hàm liên tục phải tại $x=1$. Do đó hàm không liên tục tại $x=1$ và không liên tục trên $\mathbb{R}$. Kết luận đúng: $y$ liên tục phải tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}=\sqrt{x+2}+2$. Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4=f(2)$, nên hàm số liên tục tại $x=2$ (A đúng, B và D sai). Kiểm tra C: $f(4)=\sqrt{6}+2\ne 2$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x^3-x}$ xác định khi $x^3-x=x(x-1)(x+1)\ne 0$, tức $x\ne -1,0,1$. Tại $x=-1$, $x=0$, $x=1$ hàm số không xác định nên không liên tục. Tại $x=\frac{1}{2}$, mẫu số ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}-\frac{4}{8}=-\frac{3}{8}\ne 0$ nên hàm số xác định và liên tục (hàm phân số hữu tỉ liên tục tại mọi điểm trong tập xác định). Vậy kết luận đúng là hàm số liên tục tại $x=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức chỉ gián đoạn tại điểm làm mẫu số bằng 0. Xét từng hàm tại $x_0=-1$: A) $y=(x+1)(x^2+2)$ là đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có mẫu $x+1=0$ khi $x=-1$, nên hàm không xác định tại $x_0=-1$, do đó gián đoạn tại $x_0=-1$. C) $y=\frac{x}{x-1}$ có mẫu khác 0 tại $x=-1$, liên tục tại đó. D) $y=\frac{x+1}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$, liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm gián đoạn tại $x_0=-1$ là hàm ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=f(-2)=m$. Với $x\ne -2$: $\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$, do đó $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=\underset{x\to -2}{\lim }(x-2)=-4$. Vậy $m=-4$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Với $x\ne 1$: $\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$, do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1+1+1=3$. Cần $2m+1=3\iff m=1$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có $f(-1)=(-1{)}^2+3(-1)+2=1-3+2=0$. Giới hạn phải: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }(4x+a)=-4+a$. Để liên tục: $-4+a=0\Rightarrow a=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x_0=1$ khi ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Ta có ${\lim }_{x\to 1}(x^2-2x+3)=1-2+3=2$ và $f(1)=3+m-1=m+2$. Điều kiện: $m+2=2\Rightarrow m=0$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2-3=-1$. Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi $f(2)={\lim }_{x\to 2}f(x)$, tức $a^2-2a=-1\iff a^2-2a+1=0\iff (a-1{)}^2=0\iff a=1$. Vậy có đúng 1 giá trị của $a$.