Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $A=\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$, do đó $A<0$, không phải $A>0$. b) Sai: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=2\cdot \frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-1=\frac{7}{25}\ne -\frac{7}{25}$. c) Đúng: $h(t)=2\sin \left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{6}\right)+15$ nên $\max h=2+15=17$ m, tức chiều sâu mực nước cao nhất là $17m$. d) Đúng: $270^{\circ }=270\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{2}$ rad. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: 1a S, 1b S, 1c Đ, 1d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A=\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha <0$ với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, nên khẳng định $A>0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=2\cdot \frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$, không phải $-\frac{7}{25}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\max h(t)=2+15=17$ m, đúng với chiều sâu mực nước cao nhất $17$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$270^{\circ }=\frac{270\pi }{180}=\frac{3\pi }{2}$ rad.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan 2x$. a) Hàm số xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$ → Đúng. b) $f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\tan \left(2x+\pi \right)=\tan 2x=f(x)$, nên chu kì là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$ → Sai. c) $\tan 2x$ nhận mọi giá trị thực trên từng khoảng xác định, tập giá trị là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ → Sai. d) $\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$, khớp với tập nghiệm đã cho → Đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $\tan 2x$ là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $\tan 2x$ là $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\tan 2x$.
a) Hàm tan xác định khi $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. Đúng.
b) Chu kì của $y=\tan 2x$ là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$. Sai.
c) Tập giá trị của hàm tan là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$. Sai.
d) $\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$. Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $\tan 2x$ là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $\tan 2x$ là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le 2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $-7\le y\le -3$. Tập giá trị là $[-7;-3]$, do đó $a=-7$, $b=-3$ và $a+b=-10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-10$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vì $\cos (4x)\in [-1;1]$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-4;4]$. b) Đúng: $f(-x)=\cos (-4x)=\cos (4x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số chẵn. c) Đúng: $\cos (4x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$. d) Sai: chu kỳ của $\cos (kx)$ là $T=\frac{2\pi }{|k|}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$, không phải $\frac{\pi }{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $\cos (4x)$ là $[-1;1]$ vì $-1\le \cos (4x)\le 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\cos (-4x)=\cos (4x)=f(x)$ nên hàm chẵn trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm cos xác định trên toàn $\mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\ne \frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kì của hàm $h(t)=10\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)$ là $T=\frac{2\pi }{\pi /6}=12$ giây. Khoảng cách giữa hai lần liên tiếp phao ở đỉnh sóng đúng bằng một chu kì, nên sau 12 giây phao lại ở đỉnh của con sóng tiếp theo.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=k\pi$ và mỗi nhánh nghịch biến, cắt trục hoành tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\cot x$ ($\tan x$ có tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ và đồng biến; $\sin$, $\cos$ không có tiệm cận đứng). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\cos (2x)$. a) $f(-x)=\cos (-2x)=\cos (2x)=f(x)$ nên hàm chẵn trên $\mathbb{R}$: đúng. b) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi \ne 2\pi$: sai. c) Vì $-1\le \cos (2x)\le 1$ với mọi $x$ và giá trị $\pm 1$ đều đạt được, tập giá trị là $[-1;1]$: đúng. d) $\cos (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\cos (-2x)=\cos (2x)=f(x)$ với mọi $x$, nên hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của $\cos (2x)$ là $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$, không phải $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos (2x)\le 1$ và mọi giá trị trong đoạn này đều đạt được, tập giá trị là $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$ chứ không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, đồng biến tại $x=0$, đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ và giá trị nhỏ nhất bằng -1 tại $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, chu kỳ $2\pi$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\sin x$. Loại $y=\cos x$ vì tại $x=0$ có $y=1$; loại $y=\tan x$ và $y=\cot x$ vì đồ thị không liên tục, không có giá trị lớn nhất/nhỏ nhất bằng $\pm 1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2}$, đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=\pi$. Đây là đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\cos x$ (với $y=\sin x$ thì đồ thị đi qua gốc tọa độ và đạt cực đại tại $x=\frac{\pi }{2}$; tan, cot không có dạng sóng liên tục này). Vậy đáp án là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos 3x}{\sin x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Lưu ý: mặc dù tại $x=k\pi$ tử số $1-\cos 3k\pi =0$, hàm số vẫn không xác định vì mẫu bằng 0, nên không thể rút gọn trước khi tìm tập xác định. Kết quả khớp với đáp án D (bảng đáp án mã đề 111, câu 12).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=4{\sin }^2\frac{x}{2}-1=2(1-\cos x)-1=1-2\cos x$. Vì $\cos x\in [-1;1]$ nên $y\in [1-2;1+2]=[-1;3]$. Vậy $a=-1$, $b=3$, $P=b-a=3-(-1)=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (cột 3 hàng 1 của bảng trả lời ngắn là 4).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x$. Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ ta có $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Quan sát đồ thị: từ $x=\frac{\pi }{2}$ (đạt giá trị lớn nhất $1$) đến $x=\pi$ (giá trị $0$), đồ thị đi xuống, xác nhận hàm nghịch biến. Các khoảng khác: trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm đồng biến; trên $(-\pi ;0)$ và $(0;\pi )$ hàm vừa đồng biến vừa nghịch biến. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x$. Xét từng phương án:
- A: Trên khoảng $(-\pi ;\pi )$, hàm số đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ và nghịch biến trên $\left(-\pi ;-\frac{\pi }{2}\right)$ và $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, nên A sai.
- B: Trên khoảng $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$, $\cos x$ đổi dấu tại $x=-\pi$ (âm trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$, dương trên $\left(-\pi ;-\frac{\pi }{2}\right)$), nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng, B sai.
- C: Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$, ta có $\cos x<0$ nên $y^{\prime }=\cos x<0$, hàm số nghịch biến. C đúng.
- D: Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, ta có $\cos x>0$ nên hàm số đồng biến, không phải nghịch biến, D sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: C (bảng đáp án mã đề 112, câu 15).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$. Trên $(0;\pi )$, $\sin x>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến (A đúng). Trên $(-\pi ;0)$, $\sin x<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến (B đúng, C sai). Trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, $\sin x<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến (D đúng). Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 111, câu 16: C).

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 1112: SDSD)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=5+4\sin 3x\cos 3x=5+2\sin 6x$. Vì $-1\le \sin 6x\le 1$ nên $3\le y\le 7$, tức tập giá trị là $[3;7]$. Vậy $a+b=3+7=10$, khớp với đáp án nguồn (10).

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 1111: SSDD)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=5+4\sin 3x\cos 3x=5+2\sin 6x$. Vì $-1\le \sin 6x\le 1$ nên $3\le y\le 7$, tức tập giá trị là $[3;7]$. Khi đó $a+b=3+7=10$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1111, Phần III câu 1 = 10).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=2\sin x$.
a) Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x$ nên $-2\le 2\sin x\le 2$, do đó tập giá trị là $[-2;2]$. Đúng.
b) Hàm số $y=2\sin x$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi \ne \pi$. Sai.
c) Tại $x=2$ (radian) thì $y=2\sin 2\approx 2\cdot 0,909=1,818\ne \frac{\pi }{2}\approx 1,571$, nên điểm $M\left(2;\frac{\pi }{2}\right)$ không thuộc đồ thị. Sai.
d) Hàm số $y=2\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định $D=\mathbb{R}$. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1104: a Đ, b S, c S, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-2\le 2\sin x\le 2$, tập giá trị là $[-2;2]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $y=2\sin x$ là $T=2\pi$, không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$: $y=2\sin 2\approx 1,818\ne \frac{\pi }{2}$, nên $M$ không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.