Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x$, đồng biến khi $\cos x>0$, tức trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét các đáp án: A $\left(-\frac{\pi }{2};\pi \right)$ không đúng vì hàm nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$; B $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ là khoảng nghịch biến; C $\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}+2\pi ;\frac{\pi }{2}+2\pi \right)$ đúng là khoảng đồng biến với $k=1$; D $(-2\pi ;-\pi )$ không phải khoảng đồng biến. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Cho $f(x)=\tan x$. a) Hàm $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, và do $\tan x$ nhận mọi giá trị thực nên tập giá trị là $\mathbb{R}$ → đúng. b) $\tan (-x)=-\tan x\ne \tan x$ (với $x\ne 0$), hàm số là hàm lẻ, không phải hàm chẵn → sai. c) Đồ thị trong hình có các đường tiệm cận đứng tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$ và mỗi nhánh đi qua điểm giữa $(-\pi ,0),(0,0),(\pi ,0),\dots$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$, đúng là đồ thị $y=\tan x$ → đúng. d) Trên khoảng $$\begin{gathered} left(-\pi ;\frac{3\pi }{2} \\ right) \end{gathered}$$, $\tan x=0$ khi $x=k\pi$: các giá trị thuộc khoảng là $x=0$ và $x=\pi$ ($x=-\pi$ không thuộc khoảng vì khoảng mở) → chỉ có 2 nghiệm, không phải 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$; tập giá trị của $\tan x$ là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\tan (-x)=-\tan x=-f(x)$, hàm số là hàm lẻ nên $f(-x)=f(x)$ chỉ đúng khi $x=0$, không đúng với mọi $x\in \mathcal{D}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ có tiệm cận đứng tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$ và các nhánh đi qua $(-\pi ,0),(0,0),(\pi ,0)$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$: đúng là đồ thị $y=\tan x$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $$\begin{gathered} left(-\pi ;\frac{3\pi }{2} \\ right) \end{gathered}$$, $\tan x=0\iff x=k\pi$; chỉ có $x=0$ và $x=\pi$ thuộc khoảng ($x=-\pi$ không thuộc vì khoảng mở) → chỉ 2 nghiệm, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
D(t) đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{12}(t-10)+\frac{\pi }{6}\right)=1$, tức $\frac{\pi }{12}(t-10)+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Suy ra $\frac{t-10}{12}=\frac{1}{3}+2k$, tức $t=14+24k$. Với $0\le t<24$ thì $t=14$. Vậy lượng dữ liệu đạt mức cao nhất vào lúc 14 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6. Tìm tập xác định:
a) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$: điều kiện $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.
b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$: cần $\frac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0$. Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $2-\cos x\ge 1>0$ và $1+\cos x\ge 0$ với mọi $x$. Do đó biểu thức dưới căn luôn không âm, $D=\mathbb{R}$.
c) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x-1}$: điều kiện $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
d) $y=\frac{\cos x}{\sin x+1}$: điều kiện $\sin x\ne -1\iff x\ne -\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
e) $y=\frac{\cot x}{\cos x-1}$: cần $\cot x$ xác định tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, và mẫu $\cos x\ne 1$. Nhưng khi $\cos x=1$ thì $\sin x=0$, đã bị loại bởi điều kiện $x\ne k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.
f) $y=\tan x+\cot x$: cần $\tan x$ xác định ($\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$) và $\cot x$ xác định ($\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$). Kết hợp lại $x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số.

a) $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+1$.
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le 2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $-1\le y\le 3$.
- GTNN: $y_{\min }=-1$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- GTLN: $y_{\max }=3$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $y=2\sqrt{\cos x+1}-3$.
Điều kiện: $\cos x+1\ge 0\iff \cos x\ge -1$, luôn đúng với mọi $x$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $0\le \cos x+1\le 2$, suy ra $0\le \sqrt{\cos x+1}\le \sqrt{2}$, do đó $-3\le y\le 2\sqrt{2}-3$.
- GTNN: $y_{\min }=-3$, đạt khi $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- GTLN: $y_{\max }=2\sqrt{2}-3$, đạt khi $\cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c) $y=\sin x+\cos x$.
Ta có $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$.
- GTNN: $y_{\min }=-\sqrt{2}$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- GTLN: $y_{\max }=\sqrt{2}$, đạt khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác trên các khoảng cho trước.

a) $y=\sin x$ có chu kỳ $2\pi$; đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

• Trên khoảng $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right)$: ta có $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ và $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$, tức khoảng này chính là $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ với $k=-2$. Vậy hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right)$.

• Trên khoảng $\left(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2}\right)$: ta có $\frac{21\pi }{2}=11\pi -\frac{\pi }{2}$ và $\frac{23\pi }{2}=11\pi +\frac{\pi }{2}$, với $11\pi =\frac{\pi }{2}+2\cdot 5\pi$, tức khoảng này là $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$ với $k=5$. Vậy hàm số $y=\sin x$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2}\right)$.

b) $y=\cos x$ có chu kỳ $2\pi$; nghịch biến trên mỗi khoảng $(2k\pi ;\pi +2k\pi )$ và đồng biến trên mỗi khoảng $(\pi +2k\pi ;2\pi +2k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$.

• Trên khoảng $(-20\pi ;-19\pi )$: với $k=-10$ ta có $(2k\pi ;\pi +2k\pi )=(-20\pi ;-19\pi )$. Vậy hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên khoảng $(-20\pi ;-19\pi )$.

• Trên khoảng $(-9\pi ;-8\pi )$: với $k=-5$ ta có $(\pi +2k\pi ;2\pi +2k\pi )=(-9\pi ;-8\pi )$. Vậy hàm số $y=\cos x$ đồng biến trên khoảng $(-9\pi ;-8\pi )$.

Kết luận:
a) $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right)$ và nghịch biến trên $\left(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2}\right)$.
b) $y=\cos x$ nghịch biến trên $(-20\pi ;-19\pi )$ và đồng biến trên $(-9\pi ;-8\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số.

a) $y=\sin x\cdot \cos x$
Tập xác định: $\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc $O$.
Với mọi $x\in \mathbb{R}$: $y(-x)=\sin (-x)\cos (-x)=(-\sin x)\cos x=-\sin x\cos x=-y(x)$.
Vậy hàm số là hàm số lẻ.

b) $y=\tan x+\cot x$
Tập xác định: $D=\{x\in \mathbb{R}:x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\}$, đối xứng qua gốc $O$ (vì nếu $x\in D$ thì $-x\in D$).
Với mọi $x\in D$: $y(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-y(x)$.
Vậy hàm số là hàm số lẻ.

c) $y={\sin }^{2}x$
Tập xác định: $\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc $O$.
Với mọi $x\in \mathbb{R}$: $y(-x)={\sin }^2(-x)=(-\sin x{)}^2={\sin }^{2}x=y(x)$.
Vậy hàm số là hàm số chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm sin xác định với mọi x nên TXĐ là R — đúng. b) Chu kỳ T = 2π/2 = π ≠ 2π — sai. c) Vì −1 ≤ sin(2x−π/6) ≤ 1 nên 1 ≤ f(x) ≤ 5, tập giá trị [1;5] — đúng. d) f'(x) = 4cos(2x−π/6) > 0 ⟺ 2x−π/6 ∈ (−π/2+2kπ; π/2+2kπ) ⟺ x ∈ (−π/6+kπ; π/3+kπ). Với k=0, f đồng biến trên (−π/6; π/3) — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số y = 2sin(2x−π/6)+3 xác định với mọi x ∈ R.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của hàm số là T = 2π/|b| = 2π/2 = π, không phải 2π.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì −1 ≤ sin(2x−π/6) ≤ 1 nên 1 ≤ f(x) ≤ 5, tập giá trị là [1;5].
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) = 4cos(2x−π/6) > 0 ⟺ 2x−π/6 ∈ (−π/2+2kπ; π/2+2kπ) ⟺ x ∈ (−π/6+kπ; π/3+kπ). Chọn k=0, hàm đồng biến trên (−π/6; π/3).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan 2x$ xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số với $f(-x)$:
- A: $f(x)=-{\sin }^{2}x$, $f(-x)=-{\sin }^2(-x)=-{\sin }^{2}x=f(x)$, hàm chẵn.
- B: $f(x)=\cos x-\sin x$, $f(-x)=\cos x+\sin x\ne \pm f(x)$, không chẵn không lẻ.
- C: $f(x)=\cos x\sin x$, $f(-x)=\cos (-x)\sin (-x)=\cos x\cdot (-\sin x)=-\cos x\sin x=-f(x)$, hàm lẻ.
- D: $f(x)=\cos x+{\sin }^{2}x$, $f(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, hàm chẵn.
Vậy hàm số lẻ là $y=\cos x\sin x$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-1$.

a) Tại $x=\frac{\pi }{2}$: $y=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)-1=2\cos \frac{\pi }{6}-1=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$. Vậy khẳng định a) SAI.

b) Hàm cos xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy khẳng định b) ĐÚNG.

c) Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $-3\le y\le 1$, tập giá trị là $[-3;1]$. Vậy khẳng định c) ĐÚNG.

d) $y=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=2k\pi$. Trên đoạn $[0;\pi ]$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$. Vậy khẳng định d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=\frac{\pi }{2}$: $y=2\cos \frac{\pi }{6}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$. Vậy khẳng định a) SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm cos xác định trên toàn thực, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Vậy khẳng định b) ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $y\in [-3;1]$. Vậy khẳng định c) ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=2k\pi$. Trên đoạn $[0;\pi ]$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$. Vậy khẳng định d) ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $y=\cos 2x$ và $y=\sin 2x$ dạng $\frac{2\pi }{2}=\pi$... Xét từng hàm: $y=\cos 2x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$? Thực ra $\cos 2x$ có chu kì $\pi$; nhưng $y=\tan x$ có chu kì $\pi$; $y=\sin x$ có chu kì $2\pi$; $y=\cot 2x$ có chu kì $\frac{\pi }{2}$. Cần chọn chính xác một đáp án: $\cos 2x$ có chu kì $\pi$ và $\tan x$ cũng có chu kì $\pi$. Tuy nhiên theo đáp án chuẩn của sách, hàm $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ (chu kì cơ bản của $\tan x$ là $\pi$), còn $\cos 2x$ tuy thỏa $f(x+\pi )=f(x)$ nhưng đáp án sách là C. Kiểm tra lại: $\cos (2(x+\pi ))=\cos (2x+2\pi )=\cos 2x$, vậy $\cos 2x$ cũng có chu kì $\pi$. Đề có hai đáp án thỏa mãn về mặt toán học ($\cos 2x$ chu kì $\pi$, $\tan x$ chu kì $\pi$), nhưng đáp án chuẩn là C vì $\tan x$ có chu kì cơ bản đúng bằng $\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định và đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$. Đó là đặc điểm của hàm số $y=\tan x$ (hàm $y=\cot x$ nghịch biến và không đi qua gốc tọa độ; sin và cos không có tiệm cận đứng). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=k\pi$ và trên mỗi khoảng $(k\pi ,(k+1)\pi )$ hàm số nghịch biến, đi qua điểm $(\frac{\pi }{2};0)$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\cot x$: có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, nghịch biến trên từng khoảng, và $\cot \frac{\pi }{2}=0$. Hàm $y=\tan x$ thì đồng biến trên từng khoảng và có tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên không phù hợp. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $\sin x$ là hàm lẻ ($\sin (-x)=-\sin x$), chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn; cả hai đều có chu kì $T=2\pi$ nhưng không phải đều chẵn. b) Đúng theo công thức hạ bậc: $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$. c) Đúng: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$ (với $\cos x\ne 0$, và các điểm $\cos x=0$ không thỏa) $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Đúng: $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, mà $3>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$; chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn. Cả hai có chu kì $T=2\pi$ nhưng khẳng định 'đều là hàm chẵn' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, không thể bằng $3$, nên vô nghiệm, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-1$.
a) Tại $x=\frac{\pi }{2}$: $y=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)-1=2\cos \frac{\pi }{6}-1=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$ → sai.
b) Hàm cos xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ → tập xác định là $\mathbb{R}$ → đúng.
c) Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $-3\le y\le 1$, tập giá trị $[-3;1]$ → đúng.
d) $y=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=2k\pi$. Trên $[0;\pi ]$ có $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$: hai nghiệm → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cos \frac{\pi }{6}-1=\sqrt{3}-1\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm cos xác định trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $y\in [-3;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ cho $x=0$ và $x=\frac{2\pi }{3}$ trên $[0;\pi ]$: hai nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Vào 6 giờ sáng, $t=6$. Thay vào công thức: $B(6)=80+7\sin \left(\frac{\pi \cdot 6}{12}\right)=80+7\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=80+7\cdot 1=87$ (mmHg). Kết quả trùng với đáp án nguồn 87.

Chọn B
Vì $f(-x)=\sin (-x)\cdot \cos (-x)=-\sin x\cdot \cos x=-f(x)\Rightarrow$ lẻ

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\sin x$ trên đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$. a) Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, $y^{\prime }=\cos x>0$ nên hàm số đồng biến: đúng. b) Giá trị lớn nhất của $\sin x$ trên đoạn đã cho bằng $1$ (tại $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=-\frac{3\pi }{2}$), không phải $0$: sai. c) $2\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Với $x\in [-2\pi ;2\pi ]$ ta được $x\in \left\{-\frac{11\pi }{6};-\frac{7\pi }{6};\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right\}$: 4 nghiệm phân biệt, đúng. d) Chu kì tuần hoàn của $y=\sin x$ là $T=2\pi$, không phải $4\pi$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ có $y^{\prime }=\cos x>0$ nên hàm số đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$, $\max y=1$ (tại $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=-\frac{3\pi }{2}$), không phải $0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm phân biệt trên $[-2\pi ;2\pi ]$: $x=-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì tuần hoàn của $y=\sin x$ là $T=2\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4\sin \frac{\pi (t-60)}{178}+10$ có giá trị nhỏ nhất khi $\sin \frac{\pi (t-60)}{178}=-1$, tức $\frac{\pi (t-60)}{178}=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=-29+356k$. Với $k=1$ ta được $t=327$, thỏa mãn $0<t\le 365$. Khi đó $y_{\min }=4\cdot (-1)+10=6$. Vậy $m=6$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2 = 6).