Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_1)$ là đồ thị hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên $a>1$. $(C_2)$ là đồ thị hàm số $y=b^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, nên $0<b<1$. Vậy $0<b<1<a$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị $y=a^x$ (màu xanh lá) đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $a>1$. Đồ thị $y={\log }_{b}x$ (màu đỏ) nghịch biến trên $(0;+\infty )$ nên $0<b<1$. Vậy mệnh đề đúng là $a>1;0<b<1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (p6_f1): đường $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$; hai đường $y=b^x$ và $y=c^x$ đồng biến nên $b>1$, $c>1$. Với $x>0$, đồ thị $y=c^x$ nằm trên $y=b^x$, tức $c^x>b^x\Rightarrow c>b$. Vậy $0<a<1<b<c$, tức $a<b<c$. Đáp án C. (Ghi chú: đề in trên trang 5 lặp '$y=a^x$' hai lần, nhưng hình vẽ trang 6 ghi rõ ba đồ thị $y=a^x,y=b^x,y=c^x$; giải theo hình vẽ.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 49: Cho $a,b,c>0$, $a,b,c\ne 1$.
a) Đúng: theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$.
b) Sai: công thức đổi cơ số đúng là ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$; đề cho $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$ là nghịch đảo của công thức đúng. Ví dụ $a=2,b=8,c=10$: ${\log }_{2}8=3$ nhưng $\frac{\log 2}{\log 8}=\frac{1}{3}$.
c) Đúng: theo tính chất logarit của một tích, ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$.
d) Sai: theo định nghĩa logarit, $a^{{\log }_{a}b}=b$, nói chung $b\ne {\log }_{a}b$. Ví dụ $a=2,b=8$: $2^{{\log }_{2}8}=8\ne 3={\log }_{2}8$. Vậy mệnh đề ${\log }_{a}b=a^{{\log }_{a}b}$ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của một thương: ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, đúng với $a,b,c>0$, $a\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Công thức đổi cơ số: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$. Đề bài viết $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$ (nghịch đảo) nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của một tích: ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: $a^{{\log }_{a}b}=b$, nói chung $b\ne {\log }_{a}b$. Ví dụ $a=2,b=8$: $2^{{\log }_{2}8}=8\ne 3={\log }_{2}8$. Vậy mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $a<b<0$ thì $a,b$ đều âm nên $\ln a$ và $\ln b$ không xác định; tuy nhiên $\frac{a}{b}>0$, $ab>0$, $a^2>0$, $b^2>0$, $(ab{)}^2>0$ đều xác định.

a) $\ln \left(\frac{a}{b}\right)$ xác định vì $\frac{a}{b}>0$, nhưng vế phải $\ln a-\ln b$ vô nghĩa vì $a<0,b<0$ → Sai.

b) $ab>0$ nên $\ln \left(\sqrt{ab}\right)=\ln (ab{)}^{1/2}=\frac{1}{2}\ln (ab)$ → Đúng.

c) ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}>0$ nên $\ln {\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\ln \frac{a^2}{b^2}=\ln (a^2)-\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định vì $a^2>0,b^2>0$ → Đúng.

d) $(ab{)}^2=a^2{b}^2>0$ nên $\ln (ab{)}^2=\ln (a^2{b}^2)=\ln (a^2)+\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $a<b<0$ nên $\ln a$ và $\ln b$ không xác định, do đó vế phải vô nghĩa dù vế trái $\ln (a/b)$ xác định (vì $a/b>0$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$ab>0$ nên $\ln \left(\sqrt{ab}\right)=\ln (ab{)}^{1/2}=\frac{1}{2}\ln (ab)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\ln {\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\ln \frac{a^2}{b^2}=\ln (a^2)-\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định vì $a^2>0,b^2>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(ab{)}^2=a^2{b}^2>0$ nên $\ln (ab{)}^2=\ln (a^2{b}^2)=\ln (a^2)+\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P={\log }_{\sqrt{a}}{b}^3=\frac{\ln b^3}{\ln \sqrt{a}}=\frac{3\ln b}{\frac{1}{2}\ln a}=6{\log }_{a}b$ và $Q={\log }_b{a}^4=4{\log }_{b}a=\frac{4}{{\log }_{a}b}$.
a) $P$ xác định khi cơ số $\sqrt{a}>0$, $\sqrt{a}\ne 1$ (tức $a>0,a\ne 1$) và $b^3>0$ (tức $b>0$). Mệnh đề đúng.
b) $Q={\log }_b{a}^4$ xác định khi $b>0$, $b\ne 1$ và $a^4>0$ (tức $a\ne 0$, do $a>0$ nên luôn có). Điều kiện cần là $b\ne 1$, không phải $a\ne 1$; hơn nữa khi $b=1$ thì $Q$ không xác định dù $a\ne 1$. Mệnh đề sai.
c) Khi $b=a$: $Q={\log }_a{a}^4=4$. Mệnh đề đúng.
d) $M=P\cdot Q=6{\log }_{a}b\cdot \frac{4}{{\log }_{a}b}=24\ne {\log }_{a}b$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $\sqrt{a}$ phải dương và khác 1 ($a>0,a\ne 1$), đối số $b^3>0$ tức $b>0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q={\log }_b{a}^4$ cần $b>0$, $b\ne 1$ và $a^4>0$. Điều kiện $a\ne 1$ không liên quan; khi $b=1$ thì $Q$ không xác định. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $b=a$, $Q={\log }_a{a}^4=4$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=P\cdot Q=6{\log }_{a}b\cdot \frac{4}{{\log }_{a}b}=24$, không phải ${\log }_{a}b$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$. a) Tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$, nên mệnh đề a SAI. b) Hàm lôgarit có tập giá trị $T=\mathbb{R}$, mệnh đề b ĐÚNG. c) Vì cơ số $4>1$ nên hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$, không phải trên $(-\infty ;+\infty )$, mệnh đề c SAI. d) Giải ${\log }_{4}x=1\Rightarrow x=4^1=4\ne 3$, mệnh đề d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{4}x$ là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm lôgarit với cơ số $4>1$ nhận mọi giá trị thực, $T=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ vì không xác định khi $x\le 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=1\iff x=4$, hoành độ giao điểm là 4 chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(5x-3)$ xác định khi $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, nên tập xác định là $D=\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$, do đó mệnh đề a sai. Vì cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến trên tập xác định $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$, mệnh đề b đúng. Tại $x=2$: $y={\log }_3(5\cdot 2-3)={\log }_{3}7\ne 7$, nên đồ thị không đi qua $M(2;7)$, mệnh đề c sai. Trên $\left[\frac{4}{5};\frac{12}{5}\right]$, do hàm đồng biến nên $\min f=f\left(\frac{4}{5}\right)={\log }_3(4-3)={\log }_{3}1=0$ và $\max f=f\left(\frac{12}{5}\right)={\log }_3(12-3)={\log }_{3}9=2$; tổng $\max +\min =0+2=2$, mệnh đề d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, nên $D=\left(\frac{3}{5};+\infty \right)\ne (0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $3>1$ nên $y={\log }_3(5x-3)$ đồng biến trên tập xác định $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2$: $y={\log }_3(10-3)={\log }_{3}7\ne 7$, nên đồ thị không đi qua $M(2;7)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $\left[\frac{4}{5};\frac{12}{5}\right]$: $\min f=f\left(\frac{4}{5}\right)={\log }_{3}1=0$, $\max f=f\left(\frac{12}{5}\right)={\log }_{3}9=2$; tổng bằng $0+2=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=b^x$ nghịch biến nên $0<b<1$; $y=a^x$ và $y=c^x$ đồng biến nên $a>1$, $c>1$. Với $x>0$, đồ thị $y=c^x$ nằm trên $y=a^x$ nên $c>a$. Vậy $c>a>1>b$. a) Đúng vì $a^1=a$. b) Sai vì $c>1$ nên không có $1>c$. c) Sai vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0\ne +\infty$. d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $y=a^1=a$, nên điểm $(1;a)$ thuộc đồ thị $y=a^x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=c^x$ đồng biến nên $c>1$, do đó khẳng định $1>c$ sai (dù $a>1$ đúng).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0$, không phải $+\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình: $c>a>1$ (cả hai đồng biến, $c^x$ tăng nhanh hơn) và $0<b<1$, nên $c>a>1>b$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức phân rã $m(t)=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$ với $m_0=100$ gam, $T=138$ ngày, $t=100$ ngày:
$$m(100)=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{100}{138}}=100\cdot 2^{-\frac{100}{138}}.$$
Tính: $\frac{100}{138}\approx 0,7246$, nên $2^{-0,7246}=e^{-0,7246\ln 2}\approx e^{-0,5023}\approx 0,6052$.
Vậy $m(100)\approx 100\cdot 0,6052\approx 60,518$ gam.
Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là khoảng $60,518$ gam.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. Tìm tập xác định:
a) $y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+3^x$: cần $2-x>0\iff x<2$. Tập xác định $D=(-\infty ;2)$.
b) $y={\log }_2(x+3)$: cần $x+3>0\iff x>-3$. Tập xác định $D=(-3;+\infty )$.
c) $y={\log }_{x^2+1}2023$: cần cơ số $x^2+1>0$ và $x^2+1\ne 1$. Vì $x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x$, chỉ cần $x^2+1\ne 1\iff x\ne 0$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
d) $y=\log \left(\frac{3-x}{x+1}\right)$: cần $\frac{3-x}{x+1}>0\iff -1<x<3$. Tập xác định $D=(-1;3)$.
e) $y={\log }_2(4x-x^2)$: cần $4x-x^2>0\iff x(4-x)>0\iff 0<x<4$. Tập xác định $D=(0;4)$.

Đáp số: 3
Ta có: $1=\log 10=\log 2+\log 5$ nên $\log 5=1-\log 2=1-a$.
Khi đó:
$${\log }_{20}50=\frac{\log 50}{\log 20}=\frac{1+\log 5}{1+\log 2}=\frac{2-a}{a+1}\Rightarrow m+n+p+q=3.$$

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,x,y>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x$, trong khi $\frac{1}{{\log }_{a}x}$ là giá trị khác. Ví dụ $x=a$ thì vế trái $=-1$, vế phải $=1$. Vậy A sai.
- B: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ đúng theo tính chất logarit của tích.
- C: ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}x=\frac{\ln a}{\ln b}\cdot \frac{\ln x}{\ln a}=\frac{\ln x}{\ln b}={\log }_{b}x$ đúng.
- D: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ đúng theo tính chất logarit của thương.
Mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A) ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$ đúng với mọi $a,b>0$, $a\ne 1$ và mọi $\alpha \in \mathbb{R}$ (tính chất lũy thừa của logarit) — đúng. B) ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ chỉ đúng khi $b\ne 1$ (vì ${\log }_{b}a$ phải xác định), mệnh đề chỉ yêu cầu $a\ne 1$ nên sai. C) ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_{a}bc$ cần $c>0$, đề chỉ nói $a,b$ dương nên thiếu điều kiện, sai. D) Đúng phải là ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, mệnh đề đảo ngược tử mẫu nên sai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với $a,b,c>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\left(\frac{b}{a^3}\right)={\log }_{a}b-3{\log }_{a}a={\log }_{a}b-3\ne \frac{1}{3}{\log }_{a}b$ → sai.
- B: $a^{{\log }_{b}a}=a^{\frac{\ln a}{\ln b}}$, nói chung không bằng $b$ (ví dụ $a=4,b=2$: $4^{{\log }_{2}4}=4^2=16\ne 2$) → sai.
- C: ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b\ne \alpha {\log }_{a}b$ → sai.
- D: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{b}c\cdot {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}\cdot {\log }_{a}b={\log }_{a}c$ → đúng.
Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) $y=2^x$ là hàm số mũ, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng. b) $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x+2e^x$ là tổng các hàm số mũ, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng. c) $y={\log }_2(x-3x^2)$ cần $x-3x^2>0\iff x(1-3x)>0\iff 0<x<\frac{1}{3}$, nên $D=\left(0;\frac{1}{3}\right)$, đúng. d) $y=\ln x^2+3\log (x+2)$: điều kiện $x^2>0\iff x\ne 0$ và $x+2>0\iff x>-2$, nên $D=(-2;0)\cup (0;+\infty )\ne (-2;+\infty )$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2^x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ và $e^x$ đều xác định trên $\mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x-3x^2>0\iff x(1-3x)>0\iff 0<x<\frac{1}{3}$, nên $D=\left(0;\frac{1}{3}\right)$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2>0\iff x\ne 0$ và $x+2>0\iff x>-2$. Vậy $D=(-2;0)\cup (0;+\infty )$, khác $(-2;+\infty )$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$ nên ý a) sai. Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, ý b) đúng. Tại $x=\frac{1}{4}$: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$, ý c) đúng. Cắt đường thẳng $y=1$: ${\log }_{4}x=1\iff x=4\ne 3$, ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{4}x$ là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $4>1$ nên hàm số $y={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y\left(\frac{1}{4}\right)={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=1\iff x=4$, hoành độ giao điểm là 4 chứ không phải 3.

Chọn B

Ta có $P={\log }_2\frac{40}{3}={\log }_{2}40-{\log }_{2}3={\log }_{2}8+{\log }_{2}5-\frac{1}{2}{\log }_{2}9=3+a-\frac{1}{2}b$.

(Lưu ý: trang đề in các phương án A, C, D khác với trang lời giải: đề ghi A. $P=4-2a+5b$; C. $P=4-2a+b$; D. $P=3-2a+\frac{1}{2}b$; trang lời giải ghi A. $P=3+a-2b$; C. $P=\frac{3a}{2b}$; D. $P=3+a-\sqrt{b}$; đáp án B nhất quán ở cả hai trang.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ xác định khi $x\ge 0$ và $\sqrt{x}-2\ne 0$, tức $x\ne 4$. Vậy $D=[0;+\infty )\setminus \{4\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$, đồ thị $y=a^{-x}$ là ảnh của $y=a^x$ qua phép đối xứng trục tung (điểm $(x;a^x)$ đối xứng với $(-x;a^x)$). Vậy A đúng. B sai vì $y=a^x$ với $a>1$ đồng biến; C sai vì với $0<a<1$ hàm nghịch biến; D sai vì đồ thị $y=a^x$ đi qua $(0;1)$, không phải $(a;1)$.