Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ nghịch biến nên $0<a<1$, loại A, B. Trên đồ thị, đường cong đi qua điểm $(2;-1)$, tức ${\log }_{a}2=-1\Rightarrow a=\frac{1}{2}=0,5$. Vậy hàm số là $y={\log }_{0,5}x$. Lưu ý ${\log }_{0,25}x=\frac{{\log }_{0,5}x}{{\log }_{0,5}0,25}=\frac{{\log }_{0,5}x}{2}$, tại $x=2$ cho giá trị $-\frac{1}{2}\ne -1$, nên loại D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình: tập xác định $x>0$, đi qua điểm $(1;0)$, đồng biến và lõm lên trên — đây là đặc điểm của hàm số $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Loại C, D vì đồ thị hàm mũ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$. Loại A vì $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ nghịch biến. Kiểm tra: ${\log }_{2}1=0$, hàm đồng biến, phù hợp đồ thị. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=5^x$ là hàm số mũ với cơ số $5>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
a) Vì $f$ đồng biến: $a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$ với mọi $a,b$ thực. → Đúng.
b) Tại $x=0$: $f(0)=5^0=1$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$, không phải $(0;5)$. → Sai.
c) Tập xác định của $f(x)=5^x$ là $\mathbb{R}$, đồ thị nhận mọi giá trị hoành độ $x\in \mathbb{R}$ nên nằm cả hai bên trục $Oy$ (chỉ tiệm cận trục hoành khi $x\to -\infty$). → Sai.
d) Đồ thị $y=g(x)$ đối xứng với $y=f(x)$ qua điểm $I(1;1)$ nên với mọi $x$: điểm đối xứng của $(x;g(x))$ qua $I$ là $(2-x;2-g(x))$ thuộc đồ thị $f$, tức $2-g(x)=f(2-x)=5^{2-x}$, suy ra $g(x)=2-5^{2-x}$.
Tính với $x=2+{\log }_5\frac{1}{2026}$:
$$g\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)=2-5^{2-\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)}=2-5^{-{\log }_5\frac{1}{2026}}=2-5^{{\log }_{5}2026}=2-2026=-2024.$$
Vậy $T=-g\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)=2024\ne 2026$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=5^x$ với $5>1$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên $a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$ chứ không phải $(0;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $\mathbb{R}$ nên đồ thị nhận mọi hoành độ, nằm cả hai bên trục $Oy$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua $I(1;1)$: $g(x)=2-f(2-x)=2-5^{2-x}$. Khi đó $g\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)=2-5^{{\log }_{5}2026}=-2024$, nên $T=2024\ne 2026$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngày 01/01/2030 cách ngày 01/01/2023 đúng $t=7$ năm. Ta tính $P(7)=99,332\cdot (1,0085{)}^7$. Vì $1,0085^7\approx 1,06104$ nên $P(7)\approx 99,332\cdot 1,06104\approx 105,397$ triệu người. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $105$ triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{7}{4}<\frac{8}{3}$ và $a^{\frac{7}{4}}<a^{\frac{8}{3}}$ nên hàm số mũ $a^x$ đồng biến, suy ra $a>1$. So sánh: $\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118>1$ và $\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0,882<1$, do đó ${\log }_b\frac{\sqrt{5}}{2}>0>{\log }_b\frac{\sqrt{7}}{3}$, tức hàm số ${\log }_{b}x$ đồng biến (vì $\frac{\sqrt{5}}{2}>\frac{\sqrt{7}}{3}$ và log của nó lớn hơn), suy ra $b>1$. Vậy cả $a>1$ và $b>1$; trong các phương án chỉ có phương án B thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên đồ thị nghịch biến, nhận trục hoành $Ox$ làm tiệm cận ngang và luôn đi qua điểm $(0;1)$. Kiểm tra: $y(-1)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$, nên đồ thị đi qua $(-1;2)$. Xét các hình: Hình A là hàm mũ cơ số lớn hơn 1 (đồng biến, đi qua $(0;1)$ và $(1;2)$) — không đúng. Hình B là hàm căn/logarit đi qua $(1;0)$, $(3;1)$ — không đúng. Hình C đi qua $(1;0)$, $(2;-1)$ — không đúng. Hình D nghịch biến, đi qua $(0;1)$ và $(-1;2)$ — đúng với $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_{2}x$. a) Hàm logarit chỉ xác định khi $x>0$, nên tập xác định $D=(0;+\infty )$ → Đúng. b) Hàm số đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ vì không xác định với $x\le 0$ → Sai. c) Đồ thị cắt đường thẳng $y=-2$: ${\log }_{2}x=-2\Rightarrow x=2^{-2}=\frac{1}{4}\ne 4$ → Sai. d) Điểm thuộc đồ thị nằm dưới đường thẳng $y=2$: ${\log }_{2}x<2\iff 0<x<4$, các hoành độ nguyên là $x=1,2,3$ — đúng 3 điểm → Đúng. Kết quả khớp đáp án ĐSSĐ ở trang 10.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm ${\log }_{2}x$ xác định khi $x>0$, nên $D=(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ vì không xác định với $x\le 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}x=-2\Rightarrow x=\frac{1}{4}$, không phải $x=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}x<2\iff 0<x<4$, các hoành độ nguyên là $x=1,2,3$: đúng 3 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong tăng dần, nằm bên phải trục $Oy$, đi qua điểm $(3;1)$ và $\left(\frac{1}{3};-1\right)$, tiệm cận trục $Oy$ — đây là đặc điểm của hàm số $y={\log }_{3}x$ (hàm logarit với cơ số $a=3>1$ nên đồng biến). Kiểm tra: ${\log }_{3}3=1$, ${\log }_3\frac{1}{3}=-1$ khớp với đồ thị. Các phương án khác: $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ nghịch biến; $y=3^x$ và $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ là hàm mũ có tiệm cận ngang, không khớp hình vẽ. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (2A).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$. a) Tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $[0;+\infty )$ vì logarit chỉ xác định với $x>0$ → Sai. b) Cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ → Đúng. c) ${\log }_{\frac{1}{2}}x=2\iff x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ → Đúng. d) Phía trên đường thẳng $y=-2$: ${\log }_{\frac{1}{2}}x>-2\iff x<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$ (do nghịch biến). Với $x$ nguyên dương: $x\in \{1,2,3\}$, chỉ có 3 điểm, không phải 4 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là $D=(0;+\infty )$ vì điều kiện $x>0$, không phải $[0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$, hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\frac{1}{2}}x=2\iff x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, đúng như phát biểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\frac{1}{2}}x>-2\iff 0<x<4$. Các hoành độ nguyên dương thỏa mãn là $x=1,2,3$: chỉ có 3 điểm, không phải 4 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{5}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$ nên khẳng định a sai. Với $0<x<1$ thì ${\log }_{5}x<0$ nên đồ thị $(C)$ nằm dưới trục hoành trên khoảng $(0;1)$, do đó khẳng định b sai. ${\log }_{5}x=0\iff x=1$ nên đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$, khẳng định c đúng. Cơ số $5>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $0<x<1$, ${\log }_{5}x<0$ nên đồ thị nằm dưới trục hoành trên khoảng $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}x=0\iff x=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $5>1$ nên hàm số $y={\log }_{5}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{\sqrt[3]{a}}b={\log }_{a^{1/3}}b=3{\log }_{a}b$ và ${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6}{2}{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b$. Vậy $P=3{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $P={\log }_2(4\sqrt{2})+9^{{\log }_{3}5}$. Ta có $4\sqrt{2}=2^{5/2}$ nên ${\log }_2(4\sqrt{2})=\frac{5}{2}=2,5$. Với số hạng thứ hai, dùng $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$: $9^{{\log }_{3}5}=3^{2{\log }_{3}5}=3^{{\log }_{3}25}=25$. Vậy $P=2,5+25=27,5$, khớp với đáp án nguồn (27,5).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ xác định với $x>0$ và đi qua điểm $(1;0)$, nên đó là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ (loại A, D vì hàm số mũ $y=a^x$ xác định trên toàn trục thực và đi qua $(0;1)$). Trên hình, đường cong nghịch biến (đi xuống từ trái qua phải), nên $0<a<1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\log }_{a}x(0<a<1)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: tập xác định của $y={\log }_{a}x$ là $(0;+\infty )$ nên đồ thị nằm bên phải trục tung. b) Sai: $y={\log }_{a}x$ có tập giá trị $\mathbb{R}$, còn $y=a^x$ có tập giá trị $(0;+\infty )$, hai tập này khác nhau. c) Đúng: với $0<a<1$, $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. d) Sai: với mọi $a>0$, $a\ne 1$ thì $a^1=a\ne 1$, tức đồ thị $y=a^x$ không đi qua $A(a;1)$ (nó đi qua $(0;1)$; điểm $(a;1)$ thuộc đồ thị $y={\log }_{a}x$).
a) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ của $y={\log }_{a}x$ là $(0;+\infty )$, nên đồ thị nằm hoàn toàn bên phải trục tung.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y={\log }_{a}x$ có tập giá trị $\mathbb{R}$; $y=a^x$ có tập giá trị $(0;+\infty )$. Hai tập giá trị khác nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $0<a<1$, hàm mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a^1=a\ne 1$ nên điểm $A(a;1)$ không thuộc đồ thị $y=a^x$. Đồ thị $y=a^x$ luôn đi qua $(0;1)$; điểm $(a;1)$ thuộc đồ thị $y={\log }_{a}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị ban đầu là $P(0)=12$. Sau 3 năm: $P(3)=12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{3}}=12\cdot \frac{1}{2}=6$ triệu đồng. Tỉ lệ so với ban đầu: $\frac{6}{12}\cdot 100\%=50\%$. Vậy sau 3 năm, giá trị còn lại bằng 50% so với ban đầu.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ; chỉ có $y=2^x$ là hàm số mũ. b) Sai: hàm lôgarit $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. c) Đúng: xét phương trình $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x$ với $x>0$. Khi $x\to 0^{+}$, ${\log }_{\frac{1}{2}}x\to +\infty$ lớn hơn $2^x\to 1$; tại $x=\frac{1}{2}$: $2^{1/2}=\sqrt{2}\approx 1,414>1={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$, nên có nghiệm trong $(0;\frac{1}{2})$. Với $x\ge \frac{1}{2}$, hàm $g(x)=2^x+{\log }_{2}x$ có $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$ nên $g$ đồng biến, do đó phương trình có duy nhất một nghiệm. Vậy hai đồ thị cắt nhau tại đúng 1 điểm. d) Đúng: hàm số mũ $y=2^x$ với $2>1$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$. Khớp với đáp án nguồn: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm lôgarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có duy nhất một nghiệm dương: trên $(0;\frac{1}{2})$ có nghiệm do đổi dấu (${\log }_{\frac{1}{2}}x\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, còn $2^{1/2}>1={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$); với $x\ge \frac{1}{2}$, $g(x)=2^x+{\log }_{2}x$ đồng biến vì $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$, nên không có nghiệm thứ hai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2^x$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ; chỉ có $y=2^x$ là hàm số mũ. b) Sai: hàm lôgarit $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. c) Đúng: phương trình hoành độ giao điểm $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ tương đương $f(x)=2^x+{\log }_{2}x=0$. Ta có $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}-2<0$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}-1>0$ nên có nghiệm trong $\left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$. Hơn nữa $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$ với mọi $x>0$ nên $f$ đồng biến, phương trình có duy nhất một nghiệm. Vậy hai đồ thị cắt nhau tại đúng 1 điểm. d) Đúng: hàm số mũ $y=2^x$ với cơ số $2>1$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án SSDD ở mã đề 1010.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm lôgarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ tương đương $f(x)=2^x+{\log }_{2}x=0$; $f\left(\frac{1}{4}\right)<0$, $f\left(\frac{1}{2}\right)>0$ và $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$ nên có duy nhất một nghiệm: hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2^x$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên tập xác định là hàm số mũ với cơ số $0<a<1$. Xét các phương án: $y=\ln x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y={\log }_{2}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y=(\sqrt{3}{)}^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì $\sqrt{3}>1$; còn $y=(0,5{)}^x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 3: B).

a) Đồ thị hàm số $y=a^x$ đi lên nên đồng biến.
b) Từ đồ thị hàm số $y=b^x$ suy ra $b>1$ và từ đồ thị hàm số $y=c^x$ đi xuống nên suy ra $0<c<1$.
c) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>c$.
d) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>1>c>0$.
Đáp án: [a sai | b đúng | c sai | d đúng].
a) Đồ thị hàm số $y=a^x$ đi lên nên đồng biến.
b) Từ đồ thị hàm số $y=b^x$ suy ra $b>1$ và từ đồ thị hàm số $y=c^x$ đi xuống nên suy ra $0<c<1$.
c) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>c$.
d) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>1>c>0$.

Ta có $P={\log }_a(x^2\cdot y^3)={\log }_a{x}^2+{\log }_a{y}^3=2{\log }_{a}x+3{\log }_{a}y=2\cdot 2+3\cdot 3=13$.