Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OA=x,OB=y$ ($x,y>0$). Trong tam giác $OAB$ có góc $O=60^{\circ }$, theo định lí cosin: $A{B}^2=x^2+y^2-2xy\cos 60^{\circ }=x^2+y^2-xy=16$. Với $y$ cố định, đây là phương trình $x^2-yx+(y^2-16)=0$ theo $x$; để có nghiệm $x>0$ cần biệt thức $\Delta =y^2-4(y^2-16)\ge 0\iff 64-3y^2\ge 0\iff y\le \frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y/2>0$, thỏa mãn. Vậy $O{B}_{\max }=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, tức $a=8,b=3$ (nguyên tố cùng nhau), $a.b=24$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2356, Câu 3 Phần III: 24).

Ta có $\widehat{CAD}=60^0\Rightarrow \widehat{BAD}=120^0\Rightarrow \widehat{ADB}=180^0-\left(120^0+45^0\right)=15^0$ (0,25)

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABD$ ta có:
$\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{BD}{\sin \widehat{BAD}}\Rightarrow BD=\frac{AB.\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{ADB}}$ (0,25)

Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên có: $\sin \widehat{CBD}=\frac{CD}{BD}\Rightarrow CD=BD.\sin \widehat{CBD}$ (0,25)

Vậy chiều cao của tháp là
$CD=\frac{AB.\sin \widehat{BAD}.\sin \widehat{CBD}}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{26,84.\sin 120^0.\sin 45^0}{\sin 15^0}=63,5m$. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác OAB với góc xOy = 60°: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-OA\cdot OB$. Đặt $OA=x>0$, $OB=y>0$, với $AB=4$ ta có $16=x^2+y^2-xy$, tức $x^2-yx+(y^2-16)=0$. Đây là phương trình ẩn $x$ phải có nghiệm dương nên điều kiện cần: $\Delta =y^2-4(y^2-16)\ge 0\iff 64-3y^2\ge 0\iff y\le \frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Khi $y=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ thì $x=\frac{y}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}>0$ thỏa mãn, nên độ dài lớn nhất của $OB$ là $\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Vậy $a=8$, $b=3$ (nguyên tố cùng nhau), $a.b=24$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1245, Câu 1 Phần III: 24).

Ta có $\widehat{CAD}=60^0\Rightarrow \widehat{BAD}=120^0\Rightarrow \widehat{ADB}=180^0-\left(120^0+45^0\right)=15^0$ (0,25)

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABD$ ta có:
$\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{BD}{\sin \widehat{BAD}}\Rightarrow BD=\frac{AB.\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{ADB}}$ (0,25)

Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên có: $\sin \widehat{CBD}=\frac{CD}{BD}\Rightarrow CD=BD.\sin \widehat{CBD}$ (0,25)

Vậy chiều cao của tháp là
$CD=\frac{AB.\sin \widehat{BAD}.\sin \widehat{CBD}}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{26,84.\sin 120^0.\sin 45^0}{\sin 15^0}=63,5m$. (0,25)

Gọi $CD=h$ là chiều cao của tòa nhà. Gọi $BC=x$.
Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C$: $\tan 50^{\circ }=\frac{CD}{BC}=\frac{h}{x}\Rightarrow h=x\tan 50^{\circ }$ (1).
Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C$:
$AC=AB+BC=100+x$. $\tan 30^{\circ }=\frac{CD}{AC}=\frac{h}{100+x}\Rightarrow h=(100+x)\tan 30^{\circ }$ (2). (0,5 điểm)

Từ (1) và (2): $x.\tan 50^0=(100+x).\tan 30^0$
Thay giá trị (sử dụng $\tan 30^{\circ }\approx 0.5774$ và $\tan 50^{\circ }\approx 1.1918$): $x\approx \frac{100\cdot 0.5774}{1.1918-0.5774}=\frac{57.74}{0.6144}\approx 93.98$ m. (0,25 điểm)

Thay $x$ vào (1) để tính $h$: $h=x\tan 50^{\circ }\approx 93.98\cdot 1.1918\approx 112.01$ m.
Làm tròn đến hàng phần mười: Chiều cao tòa nhà là 112.0 m. (0,25 điểm)

Ghi chú: Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như trong đáp án quy định.

Gọi $CD=h$ là chiều cao của tòa nhà. Gọi $BC=x$.
Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C$: $\tan 50^{\circ }=\frac{CD}{BC}=\frac{h}{x}\Rightarrow h=x\tan 50^{\circ }$ (1).
Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C$:
$AC=AB+BC=100+x$. $\tan 30^{\circ }=\frac{CD}{AC}=\frac{h}{100+x}\Rightarrow h=(100+x)\tan 30^{\circ }$ (2). (0,5 điểm)

Từ (1) và (2): $x.\tan 50^0=(100+x).\tan 30^0$
Thay giá trị (sử dụng $\tan 30^{\circ }\approx 0.5774$ và $\tan 50^{\circ }\approx 1.1918$): $x\approx \frac{100\cdot 0.5774}{1.1918-0.5774}=\frac{57.74}{0.6144}\approx 93.98$ m. (0,25 điểm)

Thay $x$ vào (1) để tính $h$: $h=x\tan 50^{\circ }\approx 93.98\cdot 1.1918\approx 112.01$ m.
Làm tròn đến hàng phần mười: Chiều cao tòa nhà là 112.0 m. (0,25 điểm)

Ghi chú: Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như trong đáp án quy định.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là vị trí ngọn hải đăng. Trong tam giác $ABM$: góc ở $A$ bằng $45^{\circ }$, góc trong ở $B$ bằng $180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$, suy ra góc ở $M$ bằng $180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{AM}{\sin 105^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}$ nên $AM=\frac{30\sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=60\sin 105^{\circ }$. Khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ biển là chiều cao $h$ hạ từ $M$ xuống đường thẳng $AB$: $h=AM\cdot \sin 45^{\circ }=60\sin 105^{\circ }\sin 45^{\circ }\approx 60\cdot 0,9659\cdot 0,7071\approx 40,98\approx 41$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (41).

Ta có $\widehat{BAD}=54^{\circ }+22^{\circ }=76^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}=180^{\circ }-76^{\circ }=104^{\circ }$, $\widehat{ACB}=\widehat{DAC}=22^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có $\frac{AC}{\sin 104^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 22^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{70.\sin 104^{\circ }}{\sin 22^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin 54^{\circ }=\frac{70.\sin 104^{\circ }.\sin 54^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }}$.

Lại có $\widehat{ADB}=180^{\circ }-76^{\circ }-73^{\circ }=31^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABD$, ta có $\frac{AD}{\sin 73^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 31^{\circ }}\Rightarrow AD=\frac{70.\sin 73^{\circ }}{\sin 31^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ACD$ là $S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.\sin 22^{\circ }=\frac{70^2.\sin 104^{\circ }.\sin 73^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }.\sin 31^{\circ }}$.
Vậy diện tích mảnh đất là $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\approx 9548(m^2)$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là vị trí ngọn hải đăng. Theo hình vẽ, góc quan sát tại $A$ là $\widehat{CAB}=45^{\circ }$; tại $B$, góc $75^{\circ }$ là góc giữa phương quan sát và tia $\overrightarrow{AB}$ (phía ngoài đoạn $AB$), nên góc trong tam giác $\widehat{ABC}=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$.

Độ dài đường vuông góc từ $C$ xuống bờ biển (đường thẳng $AB$) là $h$. Theo định lý sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{30}{0,5}=60\Rightarrow BC=60\sin 45^{\circ }.$$
$$h=BC\cdot \sin 105^{\circ }=60\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 105^{\circ }=30\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=15(\sqrt{3}+1)\approx 41,0.$$
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng $41$ m, khớp với đáp án 41 của đề.

Ta có $\widehat{BAD}=54^{\circ }+22^{\circ }=76^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}=180^{\circ }-76^{\circ }=104^{\circ }$, $\widehat{ACB}=\widehat{DAC}=22^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có $\frac{AC}{\sin 104^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 22^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{70.\sin 104^{\circ }}{\sin 22^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin 54^{\circ }=\frac{70.\sin 104^{\circ }.\sin 54^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }}$.

Lại có $\widehat{ADB}=180^{\circ }-76^{\circ }-73^{\circ }=31^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABD$, ta có $\frac{AD}{\sin 73^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 31^{\circ }}\Rightarrow AD=\frac{70.\sin 73^{\circ }}{\sin 31^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ACD$ là $S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.\sin 22^{\circ }=\frac{70^2.\sin 104^{\circ }.\sin 73^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }.\sin 31^{\circ }}$.
Vậy diện tích mảnh đất là $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\approx 9548(m^2)$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1012 (trang 9): câu 14 = DSDD, tức a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) Theo đề, $\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=3\sqrt{3}\Rightarrow \sin A=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $A=60^{\circ }$ hoặc $A=120^{\circ }$. $BC$ lớn nhất khi $\cos A$ nhỏ nhất, tức $A=120^{\circ }$, khi đó $B{C}^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=37$. Trung tuyến từ $B$: $m_B^2=\frac{2A{B}^2+2B{C}^2-A{C}^2}{4}=\frac{18+74-16}{4}=19\Rightarrow m_B=\sqrt{19}$. Đúng.
b) Từ diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=3\sqrt{3}$ suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ (vì $A$ là góc trong tam giác). Sai.
c) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng khoảng cách $AB=3$ (giả thiết đề bài). Đúng.
d) Đây chính là định lí cosin trong tam giác $\Delta ABC$ với góc $A$ kẹp giữa hai cạnh $AB,AC$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) |AB|=3 đúng theo giả thiết. b) S=½·AB·AC·sin A=½·3·4·sin A=3√3 ⟹ sin A=√3/2, nên A=60° hoặc A=120°. BC lớn nhất khi cos A nhỏ nhất, tức A=120°: BC²=9+16−2·3·4·cos120°=25+12=37, BC=√37. Trung tuyến từ B: m_b²=(2BC²+2AB²−AC²)/4=(2·37+2·9−16)/4=76/4=19 ⟹ m_b=√19. Đúng. c) sin A=√3/2>0 (sin góc trong tam giác luôn dương), không thể bằng −√3/2. Sai. d) Đây chính là định lí cosin trong tam giác. Đúng. Kết quả DDSD khớp bảng đáp án mã đề 1011 câu 16.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết AB=3 nên |AB|=3.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=½·3·4·sin A=3√3 ⟹ sin A=√3/2 ⟹ A=60° hoặc 120°. BC lớn nhất khi A=120°: BC²=9+16−24·(−½)=37. Trung tuyến từ B: m_b²=(2·37+2·9−16)/4=19 ⟹ m_b=√19.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ diện tích suy ra sin A=√3/2>0 vì sin góc trong tam giác luôn dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lí cosin: BC²=AB²+AC²−2AB·AC·cos A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: AB = 15 m, AD = 22 m, góc A = 73,07°, BC = 10 m, CD = 18 m. Nối B với D, chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ABD và BCD.

Tam giác ABD:
$S_{ABD}=\frac{1}{\cdot }15\cdot 22\cdot \sin 73,07^{\circ }\approx 165\cdot 0,9568\approx 157,87$ m².
Đường chéo BD theo định lí cosin:
$B{D}^2=15^2+22^2-2\cdot 15\cdot 22\cdot \cos 73,07^{\circ }\approx 709-660\cdot 0,2907\approx 517,1$, nên $BD\approx 22,74$ m.

Tam giác BCD với ba cạnh 10; 18; 22,74:
$p=\frac{10+18+22,74}{2}\approx 25,37$.
Công thức Heron:
$S_{BCD}=\sqrt{25,37\cdot 15,37\cdot 7,37\cdot 2,63}\approx \sqrt{7557}\approx 86,9$ m².

Diện tích mảnh đất:
$S\approx 157,87+86,9\approx 244,8\approx 245$ m².

Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 114, Phần III câu 2 = 245).

(vẽ hình 0,25 điểm)

Xét tam giác DAC vuông tại D có:
$AC=\frac{DC}{\cos \widehat{ACD}}=\frac{18}{\cos 40^{\circ }}\approx 23,5$ m — 0,25

Xét tam giác BCD vuông tại D có:
$BC=\frac{DC}{\cos \widehat{BCD}}=\frac{18}{\cos 50^{\circ }}\approx 28$ m — 0,25

Xét tam giác ABC có:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \widehat{ACB}}\approx 6$ m
Vậy chiều cao của cột cờ khoảng 6 m — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=169+225-2\cdot 13\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=394-195=199$, nên $AC=\sqrt{199}$ cm → a) Đúng.

b) Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$. Ta có $\sin A=\frac{BC\cdot \sin B}{AC}=\frac{15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{199}}=\frac{15\sqrt{3}}{2\sqrt{199}}$. Suy ra $R=\frac{15}{2\sin A}=\frac{15\sqrt{199}}{15\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{597}}{3}\ne \frac{\sqrt{579}}{3}$ → b) Sai.

c) Công thức diện tích với góc $B$ là $S=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin B$, không phải $\sin A$ → c) Sai.

d) $S=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 15\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{195\sqrt{3}}{4}$ cm² → d) Đúng. Khớp với đáp án nguồn (1a: Đ, 1b: S, 1c: S, 1d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: AC² = 13² + 15² − 2·13·15·cos60° = 199, nên AC = √199 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2sinA) với sinA = 15√3/(2√199), suy ra R = √597/3 ≠ √579/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là S = ½·BA·BC·sin B (góc xen giữa hai cạnh BA, BC là góc B), không phải sin A.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·13·15·sin60° = 195√3/4 cm².

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác ABCD có góc A và góc B vuông (mảnh đất chữ nhật bị xén một góc, theo hình vẽ). Nối BD: tam giác ABD vuông tại A có AB = 30 m, AD = 40 m nên BD = √(30² + 40²) = 50 m, diện tích S₁ = ½·30·40 = 600 m². Tam giác BCD có ba cạnh 28, 26, 50; nửa chu vi p = (28+26+50)/2 = 52, theo công thức Heron: S₂ = √(52·24·26·2) = √(52²·24) = 52·2√6 = 104√6 ≈ 254,75 m². Vậy S_ABCD = 600 + 104√6 ≈ 854,75 ≈ 855 m², khớp với đáp án nguồn 855 (đáp án câu 3, đề 113).