Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-4x^2+2x-6}{3-2x}$.
a) Điều kiện xác định: $3-2x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{3}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\}$; khẳng định a SAI.
b) $y^{\prime }=\frac{(-8x+2)(3-2x)-(-4x^2+2x-6)(-2)}{(3-2x{)}^2}$. Tính: $(-8x+2)(3-2x)=16x^2-28x+6$; $(-4x^2+2x-6)(-2)=8x^2-4x+12$. Hiệu: $16x^2-28x+6-(8x^2-4x+12)=8x^2-24x-6$. Vậy $y^{\prime }=\frac{8x^2-24x-6}{(3-2x{)}^2}$, khẳng định b ĐÚNG.
c) Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0, tử $-4\cdot \frac{9}{4}+3-6=-12\ne 0$, nên tiệm cận đứng là $x=\frac{3}{2}$; khẳng định c ĐÚNG.
d) Phép chia: $-4x^2+2x-6=(2x+2)(3-2x)-12$, nên $y=2x+2-\frac{12}{3-2x}$. Đường thẳng $y=2x+2$ có tâm đối xứng tại mọi điểm trên nó, và $-\frac{12}{3-2x}$ đối xứng qua $x=\frac{3}{2}$, nên đồ thị có tâm đối xứng $I\left(\frac{3}{2};2\cdot \frac{3}{2}+2\right)=I\left(\frac{3}{2};5\right)$; khẳng định d ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $3-2x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{3}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$, không phải loại $-\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(-8x+2)(3-2x)-(-4x^2+2x-6)(-2)}{(3-2x{)}^2}=\frac{16x^2-28x+6-(8x^2-4x+12)}{(3-2x{)}^2}=\frac{8x^2-24x-6}{(3-2x{)}^2}$, trùng với khẳng định đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0, tử bằng $-12\ne 0$, nên $x=\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $y=2x+2-\frac{12}{3-2x}$, đồ thị có tâm đối xứng $I\left(\frac{3}{2};2\cdot \frac{3}{2}+2\right)=I\left(\frac{3}{2};5\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$.

a) Khoảng đơn điệu: $y^{\prime }=0\iff x=\pm 2$. Với $x\in (-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến; với $x\in (-2;0)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến; với $x\in (0;2)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến; với $x\in (2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến. Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$ và $(0;2)$.

b) Cực trị: tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên hàm đạt cực đại $y_{CĐ}=y(-2)=-2-2=-4$, điểm cực đại $(-2;-4)$. Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên hàm đạt cực tiểu $y_{CT}=y(2)=2+2=4$, điểm cực tiểu $(2;4)$.

c) Trên khoảng $(0;+\infty )$: hàm nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$, $\min y=4$; hàm không có giá trị lớn nhất trên $(0;+\infty )$ vì khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$.

d) Tiệm cận: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x^2+4}{x}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{x^2+4}{x}=-\infty$ nên đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng. ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{x^2+4}{x}-x\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x}=0$ nên đường thẳng $y=x$ là tiệm cận xiên. Đồ thị không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. a) Hai điểm cực trị: $x=1\Rightarrow y=\frac{1-1-1}{-1}=1$ và $x=3\Rightarrow y=\frac{9-3-1}{1}=5$. Hệ số góc đường thẳng qua $(1;1)$ và $(3;5)$ là $\frac{5-1}{3-1}=2$ → Đúng. b) Trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ với $x\in (2;3)$, $y^{\prime }>0$ với $x>3$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$, giá trị $y=5$ → Đúng. c) Hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ (không phải $x=-2$) → Sai. d) Trên $(1;3)$ hàm số không xác định tại $x=2$ nên không liên tục, do đó không thể nghịch biến trên cả khoảng $(1;3)$ (chỉ nghịch biến trên $(1;2)$ và $(2;3)$) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $(1;1)$ và $(3;5)$, hệ số góc $=\frac{5-1}{3-1}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(2;+\infty )$ hàm giảm trên $(2;3)$, tăng trên $(3;+\infty )$, nên $\min y=y(3)=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=2$ vì mẫu số bằng 0 tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm không xác định tại $x=2\in (1;3)$ nên không liên tục trên khoảng này, không nghịch biến trên $(1;3)$.

Từ đồ thị hàm số:
1) Nhánh cuối cùng đi lên khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a>0$.
2) Đồ thị cắt trục tung $Oy$ tại điểm có tung độ dương (nằm phía trên trục hoành), suy ra $f(0)=c>0$.
3) Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung, phương trình $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b=0$ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu, suy ra tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{b}{3a}<0$. Vì $a>0$ nên $b<0$.
Vậy $a>0,b<0,c>0$.

Đồ thị là hàm bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty \Rightarrow a>0$, có hai điểm cực trị ($ab<0\Rightarrow b<0$) và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm ($f(0)=-1<0$). Vậy $f(x)=x^3-3x-1$. Chọn B.

Đồ thị là hàm bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty \Rightarrow a<0$, có hai điểm cực trị ($ab<0\Rightarrow b>0$) và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương ($f(0)=1>0$). Vậy $f(x)=-x^3+3x+1$. Chọn A.

Đồ thị là hàm bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty \Rightarrow a>0$, có hai điểm cực trị và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương $f(0)=1>0$. Do đó $f(x)=x^3-3x+1$. Chọn C.

Giao điểm của $(C)$ với trục tung $Oy$ ($x=0$) là điểm $M(0;-2)$. Đạo hàm: $y^{\prime }=-3x^2+3⟹y^{\prime }(0)=3$. Phương trình tiếp tuyến tại $M(0;-2)$ là $y=y^{\prime }(0)(x-0)-2⟺y=3x-2$.

Hàm số bậc ba $y=-x^3-3x^2+2$ có hệ số $a=-1<0$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, nhánh bên phải hướng xuống. Đạo hàm: $y^{\prime }=-3x^2-6x=0⟺x=0$ hoặc $x=-2$. Tại $x=0⟹y=2$ (điểm cực đại $(0;2)$); tại $x=-2⟹y=-2$ (điểm cực tiểu $(-2;-2)$). Dạng đồ thị đúng là Hình C.

Đồ thị có dạng hàm số trùng phương bậc bốn $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh ngoài cùng hướng lên nên $a>0$. Đồ thị đi qua điểm cực đại $(0;-1)$ và hai điểm cực tiểu $(\pm 2;-5)$. Thay $x=2$ vào hàm số ở phương án C: $y(2)=\frac{1}{4}(16)-2(4)-1=4-8-1=-5$ (thỏa mãn). Vậy hàm số là $y=\frac{1}{4}{x}^4-2x^2-1$.

Quan sát đồ thị hàm số:
- Nhánh phải đồ thị đi lên nên hệ số $a>0$, loại đáp án D.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$.
- Đồ thị đi qua điểm $(1;3)$. Thay $x=1,y=3$ vào các phương án:
+ Phương án A: $y(1)=2-1+6+1=8\ne 3$, loại.
+ Phương án B: $y(1)=2-6+6+1=3$, thỏa mãn.
+ Phương án C: $y(1)=2-6-6+1=-9\ne 3$, loại.

Vậy hàm số có đồ thị đã cho là $y=2x^3-6x^2+6x+1$.

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương:
- Nhánh cuối cùng đi xuống nên $a<0$.
- Đồ thị có $3$ điểm cực trị nên $ab<0$. Vì $a<0$ nên $b>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;c)$ nằm phía dưới trục hoành nên $c<0$.

Vậy $a<0,b>0,c<0$.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;-1)$ nên phương án D bị loại.
- Đồ thị có 2 điểm cực trị là điểm cực đại $(-1;1)$ và điểm cực tiểu $(1;-3)$.
Xét $y=x^3-3x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$.
Tại $x=-1⟹y=1$, tại $x=1⟹y=-3$.
Vậy hàm số có đồ thị như hình vẽ là $y=x^3-3x-1$. Chọn A.

Đồ thị là của hàm số bậc ba có nhánh cuối đi lên ($a>0$), đạt cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$ nên là đồ thị của hàm số $y=x^3-3x+1$. Chọn đáp án C.

Đồ thị hàm số có hình dạng chữ N, đi lên từ trái qua phải khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a>0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$, đạt cực đại tại điểm $(0;1)$ và đạt cực tiểu tại điểm $(2;-3)$.
Xét hàm số $y=x^3-3x^2+1$:
- $y(0)=1$.
- $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
- Tại $x=2$: $y(2)=2^3-3\cdot 2^2+1=8-12+1=-3$.
Khớp hoàn toàn với hình vẽ.

Từ hình vẽ, ta có:
- Tiệm cận đứng: $x=1$.
- Tiệm cận ngang: $y=1$.
- Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$ và cắt trục tung tại điểm $(0;2)$.
Xét hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$:
- Tiệm cận đứng: $x=1$.
- Tiệm cận ngang: $y=1$.
- Khi $x=0\Rightarrow y=2$; khi $y=0\Rightarrow x=2$.
Khớp hoàn toàn với đồ thị.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.
Đồ thị có dạng nhánh phải đi lên nên $a>0$, loại đáp án B và D.
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và có điểm cực trị $(1;-2)$, $(-1;2)$.
Với hàm số $y=x^3-3x$, ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, $y(1)=-2,y(-1)=2$. Vậy chọn C.

Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có nhánh cuối đi lên nên $a>0$. Do đó ta chọn hàm số $y=x^4-2x^2-2$. Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-\frac{x^4}{2}+x^2+\frac{3}{2}=0\iff x^4-2x^2-3=0\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $2$ điểm. Chọn đáp án B.

Quan sát đồ thị hàm số bậc ba:
- Nhánh phải đi xuống khi $x\to +\infty ⟹a<0$, loại A và B.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$, loại D (có hệ số tự do là 2).
Do đó hàm số cần tìm là $y=-x^3+3x-2$.