Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt cầu $(S):(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(z-10{)}^2=109$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ nên tâm $I(32;50;10)$ và bán kính $R=\sqrt{109}$ (mét).

b) Hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt sân $z=0$ là điểm $J$ có cùng hoành độ và tung độ với $I$, còn $z_J=0$, tức $J(32;50;0)$.

c) Vì $M\in (S)$ và $M$ nằm trên mặt phẳng $z=0$ nên tọa độ $M(x;y;0)$ thỏa mãn:
$$(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(0-10{)}^2=109\Rightarrow (x-32{)}^2+(y-50{)}^2=9.$$
Khoảng cách từ $M$ đến $J$:
$$MJ=\sqrt{(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{9}=3\text{ (m)}.$$
Vậy $MJ=3$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $I(2;-1;1)$ đến $(P):3x+y+z-17=0$ là $R=\frac{|3\cdot 2+(-1)+1-17|}{\sqrt{9+1+1}}=\frac{11}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}$. a) $IH\perp (P)$ nên vecto chỉ phương của $IH$ là vecto pháp tuyến $(3;1;1)$, phương trình $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$ → đúng. b) $R=\sqrt{11}\ne 11$ → sai. c) $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=11\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-5=0\ne$ phương trình đề đưa $(-7)$ → sai. d) $H=I+\frac{R}{|\vec{n}|}\vec{n}=I+(3;1;1)=(5;0;2)$, hoành độ bằng 5 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$IH$ vuông góc với $(P)$ nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến $(3;1;1)$ của $(P)$, qua $I(2;-1;1)$: $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=d(I,(P))=\frac{|6-1+1-17|}{\sqrt{11}}=\frac{11}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}\ne 11$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=11$ tức $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-5=0$, không phải $-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$H=I+\frac{R}{|\vec{n}|}\vec{n}=(2;-1;1)+(3;1;1)=(5;0;2)$, hoành độ bằng 5.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ranh giới vùng phủ sáng là mặt cầu tâm I(20;40;60), bán kính R = 3 km = 3000 m (đổi về đơn vị mét vì đề cho đơn vị trên các trục là mét). Phương trình mặt cầu: $(x-20{)}^2+(y-40{)}^2+(z-60{)}^2=3000^2=9000000$.

b) Tính khoảng cách từ M(420;340;0) đến I:
$$IM=\sqrt{(420-20{)}^2+(340-40{)}^2+(0-60{)}^2}=\sqrt{400^2+300^2+60^2}=\sqrt{160000+90000+3600}=\sqrt{253600}\approx 503,6\text{ m}.$$
Vì $IM\approx 503,6\text{ m}<3000\text{ m}=R$ nên M nằm trong vùng phủ sáng của hải đăng. Vậy người đi biển có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng đáp án trang 9 (bản màu) ghi rõ mã đề 1122, Phần 3, câu 4 là 415 (trang 10 bị thiếu ô nhưng không mâu thuẫn). Kiểm tra độc lập: khối cầu $R=5$ dm, hai mặt phẳng cách tâm $3$ dm nên mỗi phần bị cắt là chỏm cầu chiều cao $h=5-3=2$ dm. Thể tích một chỏm: $V=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}=\frac{\pi \cdot 4\cdot 13}{3}=\frac{52\pi }{3}$ dm³. Hai chỏm: $\frac{104\pi }{3}$ dm³. Thể tích khối cầu: $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500\pi }{3}$ dm³. Thể tích chiếc lu: $V=\frac{500\pi }{3}-\frac{104\pi }{3}=132\pi \approx 414,69$ dm³ $\approx 415$ lít (1 dm³ = 1 lít). Kết quả khớp đáp án nguồn 415.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d đi qua P(1;0;0), vtcp u=(1;-1;2) (vì -y=t ⇒ y=-t).

a) Điểm M(1+t; -t; 2t) trên d. Khoảng cách từ A(0;1;3) đến d: AP=(1;-1;-3), AP×u = (-5;-5;0), |AP×u|=5√2, |u|=√6 ⇒ d(A,d)=5√2/√6=5/√3, d²=25/3. Độ dài dây giao tuyến (khoảng cách xa nhất giữa hai điểm trong vùng phủ sóng trên d) = 2√(25-25/3)=2√(50/3)=10√6/3 ≈ 8,16 km ≠ 5√6/3 ≈ 4,08 km ⇒ ý a SAI.

b) AM=(1+t; -t-1; 2t-3), AM·u = (1+t)+(t+1)+2(2t-3)=6t-4=0 ⇒ t=2/3 ⇒ H(5/3; -2/3; 4/3). Hoành độ của H là 5/3 ≠ -2/3 (chỉ tung độ mới bằng -2/3) ⇒ ý b SAI.

c) Từ -y=t ⇒ y=-t, nên vtcp của d là (1;-1;2) ⇒ ý c ĐÚNG.

d) Mặt cầu tâm A(0;1;3), bán kính 5: x²+(y-1)²+(z-3)²=25 ⇒ ý d ĐÚNG.

Khớp đáp án nguồn: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
d(A,d)=5/√3 ⇒ dây giao tuyến dài 2√(25-25/3)=10√6/3 ≈ 8,16 km, không phải 5√6/3 ≈ 4,08 km.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
H(5/3; -2/3; 4/3), hoành độ bằng 5/3 ≠ -2/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ -y=t ⇒ y=-t nên vtcp của d là (1;-1;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm A(0;1;3), bán kính 5: x²+(y-1)²+(z-3)²=25.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d có VTCP u=(1;-1;2), điểm đi qua P0(1;0;0). Điểm M trên d: M(1+t; -t; 2t). a) Vectơ AM=(1+t; -t-1; 2t-3). AM.u = (1+t)+(t+1)+2(2t-3)=6t-4=0 → t=2/3, H(5/3; -2/3; 4/3). Khoảng cách d(A,d)=|AH|=√(25/9·3)=5√3/3 < 5 nên d cắt mặt cầu. Dây cung = 2√(R²−d²)=2√(25−25/3)=2√(50/3)=10√6/3 ≠ 5√6/3 → a sai. b) u=(1;-1;2) đúng là VTCP của d → đúng. c) H có hoành độ 5/3, không phải −2/3 (−2/3 là tung độ) → sai. d) Mặt cầu tâm A(0;1;3) bán kính 5: x²+(y−1)²+(z−3)²=25 → đúng. Đáp án khớp mã đề 1210: S D S D.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(A,d)=5√3/3, dây cung trong mặt cầu dài 2√(25−25/3)=10√6/3, không phải 5√6/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình d, VTCP u=(1;-1;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
H=(5/3; -2/3; 4/3), hoành độ bằng 5/3 chứ không phải −2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm A(0;1;3), R=5: x²+(y−1)²+(z−3)²=25.

(AI giải đề cho tôi)
Khối trụ: bán kính đáy $r=3,3$ cm, chiều cao $h=10$ cm nên $V_{trụ}=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3,3^2\cdot 10=108,9\pi$ (cm${}^3$).

Khối chỏm cầu: chu vi đường tròn lớn $2\pi R=10\pi \Rightarrow R=5$ cm. Chỏm cầu chứa đường tròn lớn, mặt cắt chung với đáy trụ có bán kính $3$ cm. Khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng cắt: $d=\sqrt{R^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$ cm. Vì chỏm chứa đường tròn lớn nên chiều cao chỏm $h_c=R+d=9$ cm.

Thể tích chỏm cầu: $V_{chỏm}=\frac{\pi h_c^2(3R-h_c)}{3}=\frac{\pi \cdot 81\cdot (15-9)}{3}=162\pi$ (cm${}^3$).

Tổng thể tích: $V=108,9\pi +162\pi =270,9\pi \approx 851,06\approx 851$ cm${}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 851.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu là $I(22;4;13)$, bán kính $R=\sqrt{194}$. Hình chiếu của $I$ xuống mặt sân $z=0$ là $J(22;4;0)$. Vì $M$ nằm trên mặt cầu và $z_M=0$ nên $(x_M-22{)}^2+(y_M-4{)}^2+(0-13{)}^2=194\Rightarrow (x_M-22{)}^2+(y_M-4{)}^2=194-169=25$. Mặt khác $M{J}^2=(x_M-22{)}^2+(y_M-4{)}^2+(z_M-0{)}^2=25+0=25$, suy ra $MJ=5$ (mét). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 5.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu (S) là $I(22;4;13)$, bán kính $R^2=194$. Hình chiếu của $I$ xuống mặt sân $z=0$ là $J(22;4;0)$, suy ra $IJ=13$. Vì $M$ nằm trên mặt cầu và trên mặt phẳng $z=0$, tập hợp các vị trí của $M$ là giao tuyến của mặt cầu với mặt sân: đường tròn tâm $J$ nằm trong mặt phẳng $z=0$. Tam giác $IMJ$ vuông tại $J$ nên $M{J}^2=I{M}^2-I{J}^2=R^2-I{J}^2=194-169=25$, do đó $MJ=5$ (mét). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 5.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay nằm trên đường thẳng $d:(x;y;z)=(-688+91t;-185+75t;8)$, xuất hiện lần đầu khi cách $O$ đúng 417 km. Ta có $|\overrightarrow{OM}+t\vec{u}{|}^2=417^2$ với $\overrightarrow{OM}\cdot \vec{u}=-688\cdot 91-185\cdot 75=-76483$, $|\vec{u}{|}^2=13906$, $|\overrightarrow{OM}{|}^2=507633$. Phương trình: $13906t^2-152966t+333744=0$, tức $6953t^2-76483t+166872=0$. Biệt thức $\Delta =76483^2-4\cdot 6953\cdot 166872=34765^2$, nên $t=\frac{76483-34765}{6953}=6$ (nghiệm nhỏ). Vậy $N=(-688+546;-185+450;8)=(-142;265;8)$. Do đó $T=a-bc=-142-265\cdot 8=-2262$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay: $A(-5;-3;1)$, $\vec{u}(1;1;0)$. Khoảng cách từ $I(1;2;3)$ đến đường thẳng: $\overrightarrow{IA}=(-6;-5;-2)$, $\overrightarrow{IA}\times \vec{u}=(2;-2;-1)$, độ dài $=3$, nên $d=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2,1213$ km. Vận tốc $720$ km/h $=0,2$ km/s, thời gian trong vùng phủ sóng $20$ s nên độ dài dây cung $L=0,2\cdot 20=4$ km, nửa dây $=2$ km. Bán kính $R=\sqrt{d^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+4}=\sqrt{8,5}\approx 2,92$ km, khớp đáp án 2,92.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0\iff (x-1{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=3$, tâm $I(1;-1;0)$, bán kính $R=\sqrt{3}$.
a) Thay $A(1;-1;-1)$: $(1-1{)}^2+(-1+1{)}^2+(-1{)}^2=1\ne 3$ nên $A$ không nằm trên mặt cầu → Sai.
b) Tâm $I(1;-1;0)$, $R=\sqrt{3}$ → Đúng.
c) $d(I,(P))=\frac{|1-1+0-5|}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\approx 2,887>\sqrt{3}\approx 1,732$, nên $(P)$ và $(S)$ không có điểm chung → Đúng.
d) Gọi $M$ là trung điểm $AO$: $M\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$. Ta có $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EO}=2\overrightarrow{EM}$, nên $\left|\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EO}\right|=2EM\le 2(IM+R)$. Tính $IM=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Giá trị lớn nhất $=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\right)=3\sqrt{3}\ne \frac{3\sqrt{3}}{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1;-1) vào phương trình mặt cầu: 0+0+1=1≠3=R², nên A không nằm trên mặt cầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
(x-1)²+(y+1)²+z²=3 cho tâm I(1;-1;0) và R=√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(I,(P))=5/√3≈2,887 > R=√3≈1,732 nên (P) không cắt (S), không có điểm chung.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với M trung điểm AO, |EA+EO|=2EM≤2(IM+R)=2(√3/2+√3)=3√3, không bằng 3√3/2.

a) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ suy ra tâm $I(10;20;30)$.

b) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ nên $R^2=5000^2\Rightarrow R=5000$.

c) Xét $M(5;20;0)$ ta có $IM=\sqrt{(5-10{)}^2+(20-20{)}^2+(0-30{)}^2}=5\sqrt{37}\approx 30,4<R$ nên người đó sử dụng được điện thoại của dịch vụ này.

d) Hình chiếu của $I(10;20;30)$ xuống mặt phẳng $(Oxy)$ là $H(10;20;0)$. Ta có $IH=30$ và $R=5000$ nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{5000^2-30^2}=4999,9$ mét.
Ta có $HA=\sqrt{(5000-10{)}^2+(3000-20{)}^2+(0-0{)}^2}\approx 5812,099$ mét.
Khoảng cách từ người đó đến vùng có sóng là là $d=HA-r=5812,099-4999,9\approx 812,19$ mét.
Vì làm tròn đến đơn vị và phải có sóng nên người đó cần di chuyển ít nhất là 813 mét.

Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d đúng].
a) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ suy ra tâm $I(10;20;30)$.
b) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ nên $R^2=5000^2\Rightarrow R=5000$.
c) Xét $M(5;20;0)$ ta có $IM=\sqrt{(5-10{)}^2+(20-20{)}^2+(0-30{)}^2}=5\sqrt{37}\approx 30,4<R$ nên người đó sử dụng được điện thoại của dịch vụ này.
d) Hình chiếu của $I(10;20;30)$ xuống mặt phẳng $(Oxy)$ là $H(10;20;0)$. Ta có $IH=30$ và $R=5000$ nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{5000^2-30^2}=4999,9$ mét.
Ta có $HA=\sqrt{(5000-10{)}^2+(3000-20{)}^2+(0-0{)}^2}\approx 5812,099$ mét.
Khoảng cách từ người đó đến vùng có sóng là là $d=HA-r=5812,099-4999,9\approx 812,19$ mét.
Vì làm tròn đến đơn vị và phải có sóng nên người đó cần di chuyển ít nhất là 813 mét.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $r$ là bán kính quả bóng. Vì bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà (ba mặt phẳng đôi một vuông góc), tâm bóng có tọa độ $(r,r,r)$ (gốc phòng là giao của ba mặt phẳng). Điểm $M$ trên bóng có khoảng cách đến hai tường lần lượt 17 cm, 18 cm và đến nền 21 cm nên $M(17,18,21)$. Vì $M$ thuộc mặt cầu: $(r-17{)}^2+(r-18{)}^2+(r-21{)}^2=r^2$. Khai triển: $3r^2-2(17+18+21)r+(17^2+18^2+21^2)=r^2$, tức $2r^2-112r+1054=0$ hay $r^2-56r+527=0$. Delta $=56^2-4\cdot 527=3136-2108=1028$, $\sqrt{1028}\approx 32,062$. Suy ra $r=\frac{56-32,062}{2}\approx 11,969$ (nhận, vì $r=44,03$ cho đường kính $\approx 88$ cm không phải bóng rổ). Đường kính $2r\approx 23,94\approx 23,9$ cm, thỏa mãn bóng rổ tiêu chuẩn (23–24,5 cm).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Tâm mặt cầu là đài kiểm soát O(0;0;0), bán kính 417, nên phương trình là x^2+y^2+z^2=417^2, không phải tâm A.
b) Đúng. Đường thẳng d đi qua A(-688;-185;8) với vectơ chỉ phương u=(91;75;0): x=-688+91t, y=-185+75t, z=8.
c) Đúng. Gọi H=A+tu là hình chiếu của O trên d: t=-A·u/|u|^2. A·u=(-688)(91)+(-185)(75)=-76483; |u|^2=91^2+75^2=13906; t=76483/13906=5,5. H=(-688+500,5; -185+412,5; 8)=(-375/2; 455/2; 8).
d) Sai. Máy bay xuất hiện trên rada khi |A+tu|=417 với t≥0: 13906t^2-152966t+333744=0, có nghiệm t=(76483±34765)/13906, tức t=3 hoặc t=8. Vì máy bay hướng về đài, vị trí sớm nhất ứng với t=3: (-688+273; -185+225; 8)=(-415;40;8), không phải (40;415;8).
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính 417: x^2+y^2+z^2=417^2. Phương trình trong đề có tâm A(-688;-185;8) nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(-688;-185;8) với VTCP (91;75;0): x=-688+91t, y=-185+75t, z=8, t∈R. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của O trên d: t=-A·u/|u|^2=76483/13906=5,5, cho điểm (-375/2; 455/2; 8). Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải |A+tu|=417 với t≥0 được t=3 (nghiệm nhỏ) và t=8. Vị trí sớm nhất là (-688+273; -185+225; 8)=(-415;40;8), khác (40;415;8) nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ với gốc tại góc phòng: hai bức tường là các mặt phẳng $x=0$, $y=0$ và nền nhà là $z=0$. Quả bóng bán kính $r$ tiếp xúc cả ba mặt nên tâm bóng là $I(r;r;r)$. Điểm $M$ trên bóng có khoảng cách tới hai tường và nền lần lượt là 17, 18, 21 cm nên $M(17;18;21)$. Vì $M$ thuộc mặt cầu: $(17-r{)}^2+(18-r{)}^2+(21-r{)}^2=r^2$. Khai triển: $3r^2-112r+1054=r^2\Rightarrow 2r^2-112r+1054=0\Rightarrow r^2-56r+527=0$. Giải: $r=28\pm \sqrt{257}$, tức $r\approx 44,03$ hoặc $r\approx 11,97$. Chỉ nhận $r\approx 11,97$ (vì đường kính phải trong khoảng 23–24,5 cm). Vậy đường kính $2r=56-2\sqrt{257}\approx 23,9$ cm.

Hình lập phương có tâm $I(4;4;4)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;4;4)$ và có bán kính bằng 3
Phương trình mặt cầu là $$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9$$

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-2y+6z-14=0$ có tâm $I(-1;1;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{1+1+9+14}=5$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P):-3x-y-3z+3=0$ là $d=\frac{|3-1+9+3|}{\sqrt{9+1+9}}=\frac{14}{\sqrt{19}}\approx 3,2117$. Bán kính giao tuyến: $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-\frac{196}{19}}=\sqrt{\frac{279}{19}}\approx 3,83$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;3;-1)$, bán kính $R=6$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$: $d(I,(P))=\frac{|-2\cdot 4-3-2\cdot (-1)-8|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|-8-3+2-8|}{3}=\frac{17}{3}$. Bán kính giao tuyến: $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{36-\frac{289}{9}}=\sqrt{\frac{35}{9}}=\frac{\sqrt{35}}{3}\approx 1.97$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm cầu $I(5;1;2)$, bán kính $R=6$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$: $d=\frac{|-2\cdot 5+2\cdot 1-3\cdot 2-4|}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{18}{\sqrt{17}}\approx 4.3657$. Bán kính giao tuyến: $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{36-\frac{324}{17}}=\sqrt{\frac{288}{17}}\approx 4.1159\approx 4.12$.