Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với giá của vecto $\vec{a}=(1;-1;2)$ nên nhận ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;2)$. Phương trình $(P)$: $1(x-3)-1(y+1)+2(z-4)=0\iff x-y+2z-12=0$. Kiểm tra: thay $M(3;-1;4)$: $3+1+8-12=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $H(1;-1;-2)$ lên các trục là $A(1;0;0)$, $B(0;-1;0)$, $C(0;0;-2)$. Mặt phẳng qua ba điểm này có dạng đoạn chắn $\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{-2}=1$, tức $\frac{x}{1}-\frac{y}{1}-\frac{z}{2}=1$. Thử lại: $A$ cho $1=1$; $B$ cho $-(-1)=1$; $C$ cho $\frac{-(-2)}{2}=1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã 102, Câu 2: B).

VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=(-4;1;3)$ (0,25). PTMP: $-4(x-0)+(y-1)+3(z-2)=0\iff 4x-y-3z+7=0$ (0,25).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ là các giao điểm của mặt phẳng với ba trục. Trọng tâm $G=\left(\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3}\right)=(1;-1;-2)$ nên $a=3$, $b=-3$, $c=-6$. Mặt phẳng có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{-6}=1$, tức $\frac{x}{3}-\frac{y}{3}-\frac{z}{6}=1$. Khớp với đáp án C (đáp án nguồn là C, đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M(a;b;1)\in (P):2x-y+z-3=0$ nên thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình mặt phẳng: $2a-b+1-3=0$, suy ra $2a-b=2$. Do đó $S=20a-10b=10(2a-b)=10\cdot 2=20$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;4;1),{\overrightarrow{n}}_Q=(3;1;1)$.
Vecto pháp tuyến của $(P)$ là ${\overrightarrow{n}}_P=[\overrightarrow{AB},{\overrightarrow{n}}_Q]=(3;2;-11)$.
Phương trình tổng quát của $(P)$ là $3(x-1)+2(y-2)-11(z-0)=0\iff 3x+2y-11z-7=0$.
Vậy $b=2,c=-11,d=-7\Rightarrow b+c+d=-16$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia Ox, Oy, Oz các đoạn bằng nhau nên có dạng x + y + z = k (k ≠ 0). Vì đi qua M(1;2;1) nên k = 1 + 2 + 1 = 4. Vậy (α): x + y + z − 4 = 0, suy ra a = 1, b = 1, c = −4. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102/104, Câu 3 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên phương trình có dạng $x+y+z=k$ (các hệ số bằng nhau, hệ số của $x$ bằng 1). Vì mặt phẳng đi qua $M(1;1;2)$ nên $k=1+1+2=4$. Vậy phương trình là $x+y+z-4=0$, suy ra $a=b=1$ và $c=-4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn ($-4$).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên có dạng $\frac{x}{p}+\frac{y}{p}+\frac{z}{p}=1$ ($p\ne 0$), tức $x+y+z=p$. So với $x+ay+bz+c=0$ ta được $a=1$, $b=1$, $c=-p$. Mặt phẳng đi qua $M(1;2;1)$ nên $1+2+1=p=4$, phương trình là $x+y+z-4=0$. Vậy $a=1$, khớp với đáp án nguồn (đề 102/104, Câu 3 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$ ($a\ne 0$), tức $x+y+z=a$. So với $x+ay+bz+c=0$ (hệ số của $x$ bằng 1) ta được $a=b=1$. Mặt phẳng đi qua $M(1;1;2)$ nên $1+1+2+c=0$, suy ra $c=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ($-4$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình 8x-3y+2z+61=0, véc-tơ pháp tuyến là n=(8;-3;2). b) Thay A(-7;9;7): 8(-7)-3(9)+2(7)+61 = -56-27+14+61 = -8 ≠ 0 nên A không thuộc (P) → sai. c) d(M,(P)) = |8(-5)-3(9)+2(7)+61|/√(64+9+4) = |-40-27+14+61|/√77 = 8/√77 = 8√77/77 → đúng. d) (R): -40x+15y-10z+63=0, chia hai vế cho -5: 8x-3y+2z-63/5=0, song song với (P). Khoảng cách d = |61-(-63/5)|/√77 = (368/5)/√77 = 368√77/385 ≈ 4,19, khác 368√77/77 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng cho véc-tơ pháp tuyến n=(8;-3;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
8(-7)-3(9)+2(7)+61 = -8 ≠ 0 nên A không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
d = |−40−27+14+61|/√77 = 8/√77 = 8√77/77.
d) (AI giải đề cho tôi)
(R) chia cho -5 được 8x-3y+2z-63/5=0; d = (61+63/5)/√77 = 368√77/385, không phải 368√77/77.

(AI giải đề cho tôi)
a) Véctơ pháp tuyến của (P): 8x+9y+7z-86=0 là n=(8;9;7). Ta có (-40;-45;-35) = -5·(8;9;7), cùng phương với (8;9;7) nên là một pháp tuyến của (P). Đúng.
b) Thay A(2;3;5): 8·2+9·3+7·5-86 = 16+27+35-86 = -8 ≠ 0, nên A không thuộc (P). Sai.
c) Pháp tuyến của (Q) là n_Q=(-40;-45;7). Vì -40/8 = -5, -45/9 = -5 nhưng 7/7 = 1 ≠ -5, hai véctơ pháp tuyến không cùng phương nên (Q) không song song với (P). Sai.
d) Hai mặt phẳng vuông góc khi n_β·n_P = 0: 8m+9(m+3)+7·2m = 31m+27 = 0 ⟹ m = -27/31, không phải m = 27/31. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-40;-45;-35) = -5(8;9;7) cùng phương với pháp tuyến (8;9;7) của (P), nên là một véctơ pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
8·2+9·3+7·5-86 = -8 ≠ 0 nên A(2;3;5) không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
n_Q=(-40;-45;7) không cùng phương với n_P=(8;9;7) vì 7/7 ≠ -5, nên (Q) không song song với (P).
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện vuông góc: 8m+9(m+3)+14m = 31m+27 = 0 ⟹ m = -27/31 ≠ 27/31, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình 9x+5y+9z-63=0, véc-tơ pháp tuyến là n=(9;5;9). b) Sai: thay A(0;0;7) vào (P): 9.0+5.0+9.7-63=0, nên A thuộc (P), khẳng định 'không thuộc' sai. c) Sai: pháp tuyến của (Q) là n_Q=(-27;-15;9)=-3(9;5;-3), không tỉ lệ với n_P=(9;5;9) (thành phần z khác dấu tỉ lệ), nên hai mặt phẳng không song song (nếu song song thì -27/-15/9 phải cùng tỉ lệ với 9/5/9; 9/(-27)=-1/3 nhưng 9/9=1). d) Sai: với m=0, pháp tuyến của (β) là n_β=(0;10;0), khi đó n_P·n_β=9.0+5.10+9.0=50≠0, nên (β) không vuông góc với (P).
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (P): 9x+5y+9z-63=0 là n=(9;5;9).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(0;0;7): 9.0+5.0+9.7-63=0 nên A thuộc (P); khẳng định 'không thuộc' sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_Q=(-27;-15;9) không tỉ lệ với n_P=(9;5;9) vì 9/(-27)=-1/3 nhưng 9/9=1, nên (Q) không song song (P).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với m=0, n_β=(0;10;0), n_P·n_β=50≠0 nên (β) không vuông góc (P).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia Ox, Oy, Oz các đoạn bằng nhau nên có dạng x + y + z = k (k ≠ 0). Vì đi qua M(1;2;1) nên k = 1 + 2 + 1 = 4. Vậy (α): x + y + z − 4 = 0, suy ra a = 1, b = 1, c = −4. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên phương trình dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$, tức $x+y+z=a$. Vì đi qua $M(1;1;2)$ nên $a=1+1+2=4$. Vậy $(\alpha ):x+y+z-4=0$, suy ra $c=-4$. Khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên phương trình dạng $x+y+z=k$ (tức $a=b=1$). Vì đi qua $M(1;2;1)$: $1+2+1+c=0\Rightarrow c=-4$. Vậy $a=1$, khớp đáp án nguồn (đề 102/104, Câu 3 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với $(P):2x-2y+z+3=0$ có dạng $2x-2y+z+d=0$. Vì đi qua $M(2;-3;1)$: $2(2)-2(-3)+1+d=0\Rightarrow 4+6+1+d=0\Rightarrow d=-11$. Vậy phương trình là $2x-2y+z-11=0$, trùng với đáp án B (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình $(\alpha ):2x-y+2z+5=0$ ta có ngay một vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;2)$. b) Sai: thay $M(1;-2;-2)$ vào $(\alpha )$: $2(1)-(-2)+2(-2)+5=2+2-4+5=5\ne 0$, nên $M\notin (\alpha )$. c) Sai: $d(N,(\alpha ))=\frac{|2(2)-(-1)+2(2)+5|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|4+1+4+5|}{3}=\frac{14}{3}\approx 4,67\ne 3$. d) Đúng: $(\beta )$ chứa $\vec{b}=(0;2;-2)$ nên $\overrightarrow{n_{\beta }}\perp \vec{b}$: $(1)(0)+(-2)(2)+(-2)(-2)=0-4+4=0$; $(\beta )\perp (\alpha )$ nên $\overrightarrow{n_{\beta }}\perp \overrightarrow{n_{\alpha }}$: $(1)(2)+(-2)(-1)+(-2)(2)=2+2-4=0$. Vậy $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;-2;-2)$ thỏa mãn. Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng, khớp bảng đáp án mã đề 1002 (DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+2z+5=0$, vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;-2;-2)$: $2(1)-(-2)+2(-2)+5=5\ne 0$ nên $M\notin (\alpha )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(N,(\alpha ))=\frac{|4+1+4+5|}{3}=\frac{14}{3}\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_{\beta }}\cdot \vec{b}=0-4+4=0$ và $\overrightarrow{n_{\beta }}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=2+2-4=0$, nên $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;-2;-2)$ thỏa cả hai điều kiện vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ phương trình $x+2y-2z+3=0$, vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;2;-2)$, không phải $(0;2;-2)$. b) Đúng: $d(N,(\alpha ))=\frac{|1+2\cdot 0-2\cdot (-1)+3|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{6}{3}=2$. c) Sai: thay $M(1;-2;0)$: $1+2(-2)-0+3=0$, nên $M\in (\alpha )$, tức mặt phẳng đi qua $M$. d) Đúng: $\overrightarrow{n_{\beta }}$ phải vuông góc với cả $\vec{a}=(2;1;2)$ và $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;2;-2)$. Tích có hướng $\overrightarrow{n_{\alpha }}\times \vec{a}=(2\cdot 2-(-2)\cdot 1;(-2)\cdot 2-1\cdot 2;1\cdot 1-2\cdot 2)=(6;-6;-3)=-3(-2;2;1)$, nên $\overrightarrow{n_{\beta }}=(-2;2;1)$ thỏa mãn (kiểm tra: $(-2;2;1)\cdot (2;1;2)=0$ và $(-2;2;1)\cdot (1;2;-2)=0$). Khớp đáp án mã đề 1001: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha ):x+2y-2z+3=0$ là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;2;-2)$, không phải $(0;2;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(N,(\alpha ))=\frac{|1+0+2+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{6}{3}=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;-2;0)$: $1+2(-2)-0+3=0$ nên $M\in (\alpha )$; mặt phẳng đi qua $M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_{\beta }}=(-2;2;1)$ thỏa $\overrightarrow{n_{\beta }}\cdot \vec{a}=0$ và $\overrightarrow{n_{\beta }}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=0$, nên $(\beta )\perp (\alpha )$ và chứa $\vec{a}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{1+5}{2};\frac{3+1}{2};\frac{0-2}{2}\right)=I(3;2;-1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4;-2;-2)$, chọn vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;-1)$. Mặt phẳng đi qua $I$ vuông góc với $AB$: $2(x-3)-(y-2)-(z+1)=0\iff 2x-y-z-5=0$. Vậy đáp án B.