Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1)$, $B(5;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z-4=0$.

Hai học sinh đang chuyền bóng, bạn nữ ném bóng cho bạn nam, quả bóng bay lên không lệch sang phải và rơi xuống mặt đất cách bạn nam $3$m và cách bạn nữ $5$m (hình bên). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt đất. Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ được mô tả trong hình. Khi đó phương trình của mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+y+cz+d=0$. Tính $3a+4c$.

Hình vẽ bên minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết $OABC.DEFG$ là hình chóp cụt có hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, $OABC$ là hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, $OA=100$ m, $OC=60$ m và điểm $D(10;10;8)$. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(OCGD)$ bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $8\text{m},9\text{m},10\text{m}$. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài $8\text{m}$. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $B\in Ox$, $C\in Oy$, tia $Oz$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Chọn gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $AC$ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài $1\text{m}$.

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 8m, 9m, 10m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 6m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $B\in Ox$, $C\in Oy$, tia $Oz$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Chọn gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $AC$ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;2)$, mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=1+2t\\ z=-2+t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).

Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như Hình 2.

Trong quá trình cất cánh tại sân bay, một chiếc máy bay bắt đầu rời khỏi đường băng và bay lên không trung. Để mô tả vị trí của máy bay, người ta thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục tọa độ là km). Biết $D$ là vị trí của máy bay, $OD=16;OA=OB;\widehat{DOC}=60^{\circ }$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;0;2),B(1;3;1),C(2;-1;2)$.

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(1;-2;0),B(2;0;0),C(0;0;2),D(1;-1;1)$. Khi đó:

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;-1)$ và $B(-2;3;-1)$. Xét điểm $M$ thay đổi thỏa mãn $MB=2MA$ và điểm $N(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x+2y-2z+7=0$ sao cho đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất. Hỏi giá trị biểu thức $T=a^2+b^2+c^2$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $(Oxyz)$ cho $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ, các điểm $S(0;0;3),B(3;0;0),D(0;4;0)$.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Những căn nhà gỗ trong hình $a)$ được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, với hệ trục toạ độ $Oxyz$ thể hiện như hình $b)$ (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm $A^{\prime }$ và $B^{\prime }$ có toạ độ lần lượt là $(200;350;0)$ và $(100;350;300)$. Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ bằng bao nhiêu cm? *(Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)*.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(4;-3;2)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(5;7,5;0)$ trên đường băng (như hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(6;0;0)$, $N(0;-6;0)$ và $P(0;0;1,6)$. Tính độ cao của máy bay (đơn vị: mét) khi nó xuyên qua đám mây để hạ cánh.

Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với $1\text{ meˊt}$ trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng $(P)$ thẳng đứng, đi qua hai điểm $C(-50;-45;0)$ và $D(-20;-60;0)$. Vị trí giao hàng là điểm $B$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí $A(-30;-30;40)$. Từ vị trí $A$, drone thay đổi hướng bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng $(P)$ đến vị trí giao hàng $B$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $B$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét).

Trong không gian $Oxyz$, gọi mặt phẳng $(P)$ là sân trường Ngô Gia Tự; hai điểm $A(4;1;3),B(1;-2;3)$ lần lượt nằm trên đỉnh nóc toà nhà hiệu bộ và đỉnh nóc toà nhà thí nghiệm thực hành; điểm $C(1;-2;0)$ là chân cột cờ trên sân trường.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y-z+1=0$ và hai điểm $A(1;-1;2),B(2;-1;1)$. Mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình $ax+by+cz-3=0$. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2;4;1);B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$. Một mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+by+cz-11=0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1),B(5;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z-4=0$.