Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

Lời giải
B. F ( x ) =

Chọn B

x 2 3x
+C .
Ta có: $\int$ ( x + 3 ) dx = +
2 ln 3

Ta có $F(x)=\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C$.
Vì $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi$, nên $\frac{1}{2}\sin \pi +C=\pi \Rightarrow C=\pi$.
Vậy $F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\pi$.
Chọn đáp án A.

Ta có $\int \frac{1}{2x-5}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{2x-5}d(2x-5)=\frac{1}{2}\ln |2x-5|+C$.
Chọn đáp án B.

Chọn D.
Ta có $F(x)=\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$.
Vì $F(0)=-\frac{1}{2}$ nên $-1+C=-\frac{1}{2}⟺C=\frac{1}{2}$.
Do đó $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Chọn D.
Ta có $f(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$.
Do đó $\int f(x)dx=\int \left(2+\frac{3}{x-1}\right)dx=2x+3\ln |x-1|+C$.

Chọn D.
Ta có $\int (2x-\cos x)dx=x^2-\sin x+C$.

Ta có $\int 2^x\cdot 5^{x}dx=\int 10^{x}dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C$.

Ta có F ^\prime ( x ) = f ( x ) .
^\prime
( )
\implies F ( x 2 ) [] = 2 x.F ^\prime ( x 2 ) = 2 x. f x 2 .

( )
Vậy F x 2 là một nguyên hàm của hàm số 2 x. f x 2 . ( )
x- x-2

Ta có $\int x(x^2+1{)}^{2016}dx=\frac{1}{2}\int (x^2+1{)}^{2016}d(x^2+1)=\frac{(x^2+1{)}^{2017}}{4034}+C$.

Ta có $\int \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)dx=\frac{1}{3}\sin \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+C$.

Ta có: $\int x{e}^{x}dx=\int xd(e^x)=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$.

Chọn D.
Nguyên hàm của tích không bằng tích các nguyên hàm, do đó mệnh đề $\int f(x)\cdot g(x)dx=\int f(x)dx\cdot \int g(x)dx$ là sai.

Chọn D.
Đặt $t=x+1\Rightarrow x=t-1$ và $dx=dt$.
Thay vào tích phân ta được:
$I=\int \frac{t-1}{t^2}dt.$

Chọn B.
Ta có:
$f(x)=2^x(1+2^{-x}\sin x)=2^x+2^x\cdot 2^{-x}\sin x=2^x+\sin x.$
Nguyên hàm của hàm số là:
$\int f(x)dx=\int (2^x+\sin x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-\cos x+C.$

Đặt $\{\begin{array}{rl}u& =x\\ dv& =\cos 2xdx\end{array}⟹\{\begin{array}{rl}du& =dx\\ v& =\frac{1}{2}\sin 2x\end{array}$.
Ta có:
$\int x\cos 2xdx=\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{2}\int \sin 2xdx=\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C$.
Đồng nhất hệ số với $a\cos 2x+bx\sin 2x+C$, ta được: $a=\frac{1}{4}$ và $b=\frac{1}{2}$.
Vậy $2a+b=2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Ta có: $\int f(x)dx=\int \frac{\sin x}{1+3\cos x}dx=-\frac{1}{3}\int \frac{d(1+3\cos x)}{1+3\cos x}=-\frac{1}{3}\ln |1+3\cos x|+C$.

Ta có $\int e^{x}dx=e^x+C$, do đó khẳng định C sai.

Ta có $\int e^{-x}\mathrm{d}x=-e^{-x}+C$.

Ta có $\int \frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}\mathrm{d}x=-3\int \frac{\mathrm{d}(1-x^3)}{\sqrt{1-x^3}}=-6\sqrt{1-x^3}+C$.

Chọn A.
Ta có $F(x)=\int 4x^{3}dx=x^4+C$. Vì $F(0)=1⟹C=1$, suy ra $F(x)=x^4+1$.
Vậy $F(2)=2^4+1=17$.