Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1\ge 0$ và $x-3\ge 0$, tức $x\ge 3$. Bình phương hai vế: $x-1=(x-3{)}^2\iff x^2-7x+10=0\iff (x-2)(x-5)=0$, nên $x=2$ (loại vì $2<3$) hoặc $x=5$ (thỏa mãn). Kiểm tra: $\sqrt{5-1}=2=5-3$. Vậy $S=\{5\}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-4x+3\ge 0$ và $1-x\ge 0$ (tức $x\le 1$). Bình phương hai vế: $x^2-4x+3=1-x\iff x^2-3x+2=0\iff (x-1)(x-2)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=2$. Với $x=1$: $\sqrt{0}=\sqrt{0}$ thỏa mãn. Với $x=2$: $1-x=-1<0$ loại. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{4}$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+1=(4x-1{)}^2=16x^2-8x+1\iff 15x^2-5x=0\iff 5x(3x-1)=0\iff x=0$ (loại vì $x<\frac{1}{4}$) hoặc $x=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn, kiểm tra: $\sqrt{\frac{1}{9}-1+1}=\frac{1}{3}=4\cdot \frac{1}{3}-1$). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-16\ge 0\iff x\le -4$ hoặc $x\ge 4$. Với $x\ge 4$ thì $x-3>0$ nên $(x-3)\sqrt{x^2-16}\ge 0$ luôn đúng. Với $x\le -4$ thì $x-3<0$ và $\sqrt{x^2-16}\ge 0$, tích $\le 0$, chỉ bằng $0$ khi $x=-4$. Vậy tập nghiệm là $\{-4\}\cup [4;+\infty )$. Các nghiệm nguyên thuộc $[-30;50]$: $x=-4$ và $x\in \{4,5,\dots ,50\}$. Tổng: $-4+\frac{(4+50)\cdot 47}{2}=-4+1269=1265$.

Giải hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ll}(y-2).\sqrt{x+2}-x\sqrt{y}=0& (1)\\ \sqrt{x+1}.\left(\sqrt{y}+1\right)=(y-3)\left(1+\sqrt{x^2+y-3x}\right)& (2)\end{array}$

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ y\ge 0\\ x^2+y-3x\ge 0\end{array}$.

Đặt $\{\begin{array}{l}a=\sqrt{x+2}\ge 1\\ b=\sqrt{y}\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=a^2-2\\ y=b^2\end{array}$.

Khi đó (1) trở thành:

$\left(b^2-2\right)a-b\left(a^2-2\right)=0\iff ab(b-a)+2(b-a)=0$

$\iff (b-a)(ab+2)=0\iff a=b$ (do $ab+2>0$)

$\Rightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{y}\iff y=x+2$. [0.5]

Thay vào phương trình (2) ta được phương trình:

$\sqrt{x+1}.\left(\sqrt{x+2}+1\right)=(x-1).\left(1+\sqrt{x^2-2x+2}\right)$

$\iff \sqrt{x+1}.\left(1+\sqrt{(x+1)+1}\right)=(x-1).\left(1+\sqrt{(x-1{)}^2+1}\right)$ (3).

Nếu $x<1$ thì (3) vô nghiệm. [0.5] [0.5]

Với $x\ge 1$, xét hàm số: $f(t)=t\left(1+\sqrt{1+t^2}\right)$ trên $[0;+\infty )$.

Có: $f^{\prime }(t)=1+\sqrt{1+t^2}+\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}>0,\forall t\in [0;+\infty )$, do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $[0;+\infty )$

$\Rightarrow (3)\iff f\left(\sqrt{x+1}\right)=f(x-1)\iff \sqrt{x+1}=x-1\iff x^2-3x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=3\end{array}\right]$ (do $x\ge 1$)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(3;5)$. (0.5 điểm)

a. (2,0 điểm). Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{ll}{x}^2-y=y^2+x& (1)\\ x^2+3y^2=5+xy& (2)\end{array}$$

- (0,5 điểm). Ta có $x^2-y=y^2+x\iff x^2-y^2=x+y\iff (x+y)(x-y-1)=0\iff \left[\begin{array}{c}y=-x\\ y=x-1\end{array}\right]$

- (0,5 điểm). Với $y=-x$ thay vào (2) biến đổi ta được PT: $x^2=1\iff \left[\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=-1\\ x=-1\Rightarrow y=1\end{array}\right]$

- (0,5 điểm). Với $y=x-1$ thay vào (2) biến đổi ta được $$3x^2-5x-2=0\iff \left[\begin{array}{c}x=2\Rightarrow y=1\\ x=-\frac{1}{3}\Rightarrow y=\frac{-4}{3}\end{array}\right]$$

- (0,5 điểm). Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm $(1;-1),(-1;1),(2;1),\left(-\frac{1}{3};\frac{-4}{3}\right)$

b. (2,0 điểm). Một nhà địa chất đang ở vị trí $A$ trên sa mạc, cách con đường thẳng $10km$ $(AN=10km)$. Trên con đường, xe của nhà địa chất chạy với vận tốc $50km/h$, còn trên sa mạc chỉ chạy với vận tốc $30km/h$. Nhà địa chất cần đi đến trạm xăng tại vị trí $P$ nằm trên con đường, biết rằng $NP=25km$. Trên đoạn đường từ vị trí N đến trạm xăng P có một vị trí M, nhà địa chất muốn đi từ vị trí A qua sa mạc đến vị trí M rồi đi trên đường đến trạm xăng P (như hình vẽ).

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Biết tổng thời gian nhà địa chất đi hết 46 phút. Hỏi vị trí M cách vị trí N bao nhiêu kilômét (km).

- (0,5 điểm). Ta có quãng đường $AM=\sqrt{10^2+x^2}$ ; $MP=25-x$ ; $(0<x<25)$.

- (0,5 điểm). Thời gian nhà địa chất đi từ A đến M và từ M đến trạm xăng P là $$\frac{\sqrt{10^2+x}}{30}+\frac{25-x}{50}(h).$$

- (0,5 điểm). Tổng thời gian đi hết $46phut=\frac{23}{30}(h)$,

Ta có phương trình $\frac{\sqrt{10^2+x}}{30}+\frac{25-x}{50}=\frac{23}{30}\iff 5\sqrt{100+x^2}=40+3x$, (*), với đk $0<x<25$.

- (0,5 điểm). Bình phương hai vế phương trình (*) và biến đổi ta được $4x^2-60x+225=0\iff x=7,5$. Vậy $NM=7,5km$.

a) Điều kiện $x\ge -1$. Với $x\ge -1\Rightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}>0$.

$$\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x$$
$$\iff \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)=2x\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)$$
$$\iff x^2+\sqrt{x^2+4x+3}=x.\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)$$
$$\iff x^2-x\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)(x+1)}-x\sqrt{x+1}=0$$
$$\iff \left(x-\sqrt{x+3}\right)\left(x-\sqrt{x+1}\right)=0\iff \{\begin{array}{l}x-\sqrt{x+3}=0\\ x-\sqrt{x+1}=0\end{array}$$

$$x-\sqrt{x+3}=0\iff \sqrt{x+3}=x\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+3=x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-x-3=0\end{array}\iff x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$

$$x-\sqrt{x+1}=0\iff \sqrt{x+1}=x\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+1=x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-x-1=0\end{array}\iff x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$, $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

b) Điều kiện xác định: $4x^2-4(m+3)x+m^2+6m>0$

$$4x^2-4(m+3)x+m^2+6m>0\iff \{\begin{array}{l}x>\frac{m+6}{2}\\ x<\frac{m}{2}\end{array}$$

Suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left(-\infty ;\frac{m}{2}\right)\cup \left(\frac{m+6}{2};+\infty \right)$.

Hàm số xác định trên tập $(-2;1)\cup (4;6)\iff (-2;1)\cup (4;6)\subset D$

TH1: $(-2;1)\cup (4;6)\subset \left(-\infty ;\frac{m}{2}\right)\iff 6\le \frac{m}{2}\iff m\ge 12$

TH2: $(-2;1)\cup (4;6)\subset \left(\frac{m+6}{2};+\infty \right)\iff \frac{m+6}{2}\le -2\iff m\le -10$

TH3: $\{\begin{array}{l}(-2;1)\subset \left(-\infty ;\frac{m}{2}\right)\\ (4;6)\subset \left(\frac{m+6}{2};+\infty \right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1\le \frac{m}{2}\\ \frac{m+6}{2}\le 4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 2\\ m\le 2\end{array}\iff m=2$

Số giá trị nguyên của $m\in (-2025;2026)$ là $-10-(-2024)+1+2025-12+1+1=4030$.

a) Điều kiện: $3x-2\ge 0\iff x\ge \frac{2}{3}$.

Phương trình tương đương với:
$$\left[(3x-1)\sqrt{3x-2}-x(3x-1)\right]=7x^2-13x+8-3x^2+x$$
$$\iff (3x-1)\cdot \frac{3x-2-x^2}{\sqrt{3x-2}+x}=4(x^2-3x+2)$$
$$\iff (3x-1)(\sqrt{3x-2}-x)=4x^2-12x+8$$
$$\iff \frac{-(3x-1)(x^2-3x+2)}{\sqrt{3x-2}+x}-4(x^2-3x+2)=0$$
$$\iff (x^2-3x+2)\left[4+\frac{3x-1}{\sqrt{3x-2}+x}\right]=0.$$

Với $x\ge \frac{2}{3}$ ta có $3x-1>0$, $\sqrt{3x-2}\ge 0$ nên biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương.

Do đó: $x^2-3x+2=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$ (thỏa mãn).

Tập nghiệm của phương trình là $S=\{1;2\}$.

b) Xét phương trình thứ nhất của hệ: $x{y}^2(\sqrt{x^2+1}+1)=3(\sqrt{y^2+9}+y)$. (1)

Dễ thấy $\sqrt{y^2+9}>\sqrt{y^2}=|y|\ge -y$, nên vế phải luôn lớn hơn $0$, $\forall y\in \mathbb{R}$.

Do đó vế trái dương, suy ra $x>0$ và $y\ne 0$.

Chia $2$ vế của (1) cho $y^2>0$:

$$x(\sqrt{x^2+1}+1)=\frac{3}{y^2}(\sqrt{y^2+9}+y).$$

Vì $x>0$ nên $x(\sqrt{x^2+1}+1)>0$, mà $\sqrt{y^2+9}+y>0$ nên bắt buộc $y>0$.

Với $y>0$, ta có:

$$x(\sqrt{x^2+1}+1)=\frac{3}{y}\left(\sqrt{1+\frac{9}{y^2}}+1\right).$$ (2)

Xét hàm số $f(t)=t(\sqrt{t^2+1}+1)$ với $t>0$.

Ta có $f^{\prime }(t)=\sqrt{t^2+1}+1+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}>0$, $\forall t>0$, suy ra hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.

Phương trình (2) có dạng $f(x)=f\left(\frac{3}{y}\right)\iff x=\frac{3}{y}\iff xy=3$.

Thay $xy=3$ vào phương trình thứ hai của hệ:

$$(x\cdot 3-1)\sqrt{x\cdot 3+3-5}+3\cdot x\cdot 3=7x^2-4x+8\iff (3x-1)\sqrt{3x-2}=7x^2-13x+8.$$

Đây chính là phương trình ở câu a), cho ta nghiệm $x=1$ hoặc $x=2$.

Với $x=1\Rightarrow y=3$ (thỏa mãn $y>0$).

Với $x=2\Rightarrow y=\frac{3}{2}$ (thỏa mãn $y>0$).

Vậy hệ có các nghiệm $(x;y)$ là $(1;3)$ và $\left(2;\frac{3}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A) Bình phương hai vế: $x^2-x+1=x+3\iff x^2-2x-2=0$ là bậc hai. B) Bình phương: $x+6=(2x-1{)}^2\iff 4x^2-5x-5=0$ là bậc hai. C) Bình phương: $x^2+2x-3=2x^2+8x-7\iff x^2+6x-4=0$ là bậc hai. D) Bình phương: $x^3-x^2+1=9\iff x^3-x^2-8=0$ là phương trình bậc ba, không thể quy về phương trình bậc hai. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge 0$ và $4x^2-3\ge 0$. Bình phương hai vế: $4x^2-3=x^2\iff 3x^2=3\iff x^2=1\iff x=\pm 1$. Kết hợp điều kiện $x\ge 0$ (vì vế phải là $\sqrt{4x^2-3}\ge 0$) nên chỉ nhận $x=1$. Thử lại: $\sqrt{4-3}=1=x$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$. Bình phương hai vế: $x^2-2x+5=9x^2-6x+1\iff 8x^2-4x-4=0\iff 2x^2-x-1=0\iff (2x+1)(x-1)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$. Vì $x=-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}$ (không thỏa điều kiện, khi đó $3x-1=-\frac{5}{2}<0$) nên loại. Thử $x=1$: $\sqrt{1-2+5}=2=3(1)-1$, thỏa mãn. Vậy $S=\{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km, với $0\le x\le 7$). Khi đó $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+x^2}$ và $MC=7-x$.

Thời gian đi từ $A$ đến $C$ qua $M$ là:
$$t=\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{148}{60}=\frac{37}{15}\text{ (giờ)}$$

Nhân hai vế với 15:
$$5\sqrt{16+x^2}+3(7-x)=37\Rightarrow 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$$

Bình phương hai vế (vế phải dương nên hợp lệ):
$$25(16+x^2)=(16+3x{)}^2=256+96x+9x^2$$
$$\Rightarrow 16x^2-96x+144=0\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$$

Thử lại: $AM=\sqrt{16+9}=5$ km, thời gian chèo thuyền $=5/3$ h, đi bộ $=4/5$ h, tổng $=5/3+4/5=37/15$ h $=148$ phút. Thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ $B$ đến $M$ là $BM=3$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-5x+2\ge 0$ và $x-1\ge 0$ tức $x\ge 1$. Bình phương hai vế: $2x^2-5x+2=(x-1{)}^2=x^2-2x+1\Rightarrow x^2-3x+1=0\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. Vì $x\ge 1$ nên loại $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,38<1$, chỉ nhận $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Vậy $a=3,b=5\Rightarrow S=a+b=8$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã 1103, câu 13: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge 1$ và $2x^2-5x+2\ge 0$. Bình phương hai vế: $2x^2-5x+2=(x-1{)}^2\iff 2x^2-5x+2=x^2-2x+1\iff x^2-3x+1=0$. Nghiệm $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. Vì $x\ge 1$ nên chỉ nhận $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy $a=3$, $b=5$, $S=a+b=8$. Đối chiếu bảng đáp án chính thức trang 25 (Mã đề 1102, Câu 11: A), kết quả khớp. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), $0\le x\le 7$. Khi đó $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+x^2}$ và $MC=7-x$. Tổng thời gian đi từ $A$ đến $C$ là $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{148}{60}=\frac{37}{15}$ (giờ). Nhân hai vế với 15: $5\sqrt{16+x^2}+3(7-x)=37\Rightarrow 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$. Bình phương hai vế (điều kiện $16+3x>0$ luôn đúng vì $x\ge 0$): $25(16+x^2)=256+96x+9x^2\Rightarrow 16x^2-96x+144=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$. Thử lại: $\frac{\sqrt{16+9}}{3}+\frac{4}{5}=\frac{5}{3}+\frac{4}{5}=\frac{37}{15}$ giờ $=148$ phút, thỏa mãn. Vậy $BM=3$ km, khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-5x+2\ge 0$ và $x-1\ge 0$ tức $x\ge 1$. Bình phương hai vế: $2x^2-5x+2=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$, suy ra $x^2-3x+1=0$, nên $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. Với $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,38<1$ (loại vì không thỏa $x\ge 1$). Nghiệm thỏa mãn là $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, vậy $a=3,b=5$, do đó $S=a+b=8$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ với $AC=5$, $AB=x$ nên $BC=5-x$ (a đúng). Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ có $BC=5-x$, $CD=2$ nên $BD=\sqrt{(5-x{)}^2+4}=\sqrt{x^2-10x+29}$, chi phí dưới biển là $5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (b đúng). Chi phí trên đất liền là $3000x$, nên tổng chi phí $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$ (c đúng). Giải: $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$. Thử $x=3,5$: $\sqrt{(-1,5{)}^2+4}=\sqrt{6,25}=2,5$, khi đó $3(3,5)+5(2,5)=10,5+12,5=23$ thỏa mãn. Giải chính xác: đặt $t=5-x>0$, phương trình $3(5-t)+5\sqrt{t^2+4}=23\Rightarrow 5\sqrt{t^2+4}=8+3t\Rightarrow 25t^2+100=64+48t+9t^2\Rightarrow 16t^2-48t+36=0\Rightarrow 4t^2-12t+9=0\Rightarrow (2t-3{)}^2=0\Rightarrow t=1,5$, vậy $x=3,5$ (d đúng). Khớp với đáp án nguồn (Câu 7, Mã 1101: a Đ, b Đ, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $AC=5$, $AB=x$ nên $BC=AC-AB=5-x$ (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $BCD$ vuông tại $C$: $BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{(5-x{)}^2+2^2}=\sqrt{x^2-10x+29}$. Chi phí ngầm dưới biển $=5000\cdot BD=5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí trên đất liền $3000x$, dưới biển $5000\sqrt{x^2-10x+29}$, tổng bằng 23000 nên $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$: đặt $t=5-x$, được $5\sqrt{t^2+4}=8+3t\Rightarrow 4t^2-12t+9=0\Rightarrow t=1,5$, nên $x=3,5$ km (thỏa $0<x<5$).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x+3\ge 0\iff x\ge -\frac{3}{2}$. Bình phương hai vế: $3x^2-4x+1=(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9\iff x^2+16x+8=0$. Nghiệm: $x=-8\pm 2\sqrt{14}$. Với $x=-8+2\sqrt{14}\approx -0,51\ge -\frac{3}{2}$: thỏa mãn (kiểm tra lại $3x^2-4x+1\approx 4,77>0$, $(2x+3{)}^2\approx 3,94$... thực tế thay đúng vì đã thỏa điều kiện và phương trình bình phương tương đương khi hai vế cùng không âm). Với $x=-8-2\sqrt{14}\approx -15,48<-\frac{3}{2}$: loại. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, khớp đáp án nguồn là 1.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$. Phương trình $\sqrt{x-2}(x^2-4x+3)=0$ tương đương với $\sqrt{x-2}=0$ hoặc $x^2-4x+3=0$. Trường hợp 1: $\sqrt{x-2}=0\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn điều kiện). Trường hợp 2: $x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Trong đó $x=1$ không thỏa mãn điều kiện $x\ge 2$ nên loại; $x=3$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm $S=\{2;3\}$, trùng với đáp án D trong bảng đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), $0\le x\le 15$, khi đó $MC=15-x$ (km). Theo định lý Pythagoras: $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{36+x^2}$ (km).

Thời gian đi từ $A$ đến $M$ (xuồng máy, $20km/h$) là $\frac{\sqrt{36+x^2}}{20}$ (giờ); thời gian đi từ $M$ đến $C$ (xe máy, $60km/h$) là $\frac{15-x}{60}$ (giờ).

Theo đề, tổng thời gian là $37$ phút $=\frac{37}{60}$ giờ, nên:
$$\frac{\sqrt{36+x^2}}{20}+\frac{15-x}{60}=\frac{37}{60}.$$

Nhân hai vế với $60$:
$$3\sqrt{36+x^2}+15-x=37⟺3\sqrt{36+x^2}=22+x.$$

Bình phương hai vế (với điều kiện $22+x\ge 0$, thỏa mãn vì $x\ge 0$):
$$9(36+x^2)=(22+x{)}^2⟺324+9x^2=484+44x+x^2$$
$$⟺8x^2-44x-160=0⟺2x^2-11x-40=0.$$

Giải phương trình: $x=\frac{11\pm \sqrt{121+320}}{4}=\frac{11\pm 21}{4}$, nên $x=8$ hoặc $x=-\frac{5}{2}$ (loại vì $x\ge 0$).

Thử lại: $3\sqrt{36+64}=3\cdot 10=30=22+8$ ✓.

Vậy $BM=8km$, $AM=\sqrt{36+64}=10km$, $MC=15-8=7km$.

Tổng quãng đường phải đi là:
$$AM+MC=10+7=17(km).$$