Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

Gọi BM = $xkm$ $(0<x<7)$
$$\Rightarrow MC=7-x(km)$$
Ta có: $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+x^2}(km)$
Thời gian từ $A$ đến $M$ là: $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}(h)$
Thời gian từ $M$ đến C là: $\frac{7-x}{5}(h)$
Tổng thời gian từ $A$ đến C là 148 phút nên ta có:
$$\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{148}{60}$$
Biến đổi về được pt:
$$5\sqrt{16+x^2}=16+3x$$
Bình phương 2 về:
$$\Rightarrow 16x^2-96x+144=0$$
$$\iff x=3$$
Thử lại $x=3(tm)$
Vậy khoảng cách từ vị trí $B$ đến $M$ là 3 km.

$\Rightarrow x^2-4x+4=(2x-3{)}^2$ (0,25)

$\Rightarrow x^2-4x+4=4x^2-12x+9$ (0,25 đ)

$\Rightarrow 3x^2-8x+5=0$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\ x=1\end{array}$ nếu HS ghi nhận/loại hợp lí cho tròn điểm (0,25)

Thay lần lượt các giá trị vào pt đã cho, ta thấy chỉ có $x=\frac{5}{3}$ thỏa mãn. (0,25 đ)

Vậy nghiệm của pt đã cho là $x=\frac{5}{3}$. (0,25)

Nếu HS dùng biến đổi tương đương cho điểm theo các bước tương ứng, không cần kết luận tập nghiệm. Lưu ý HS làm cách này phải dùng ký hiệu tương đương.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2-6x-8=x^2-5x-2\iff x^2-x-6=0\iff x=3$ hoặc $x=-2$. Kiểm tra điều kiện: với $x=3$ thì $2x^2-6x-8=18-18-8=-8<0$ (loại); với $x=-2$ thì $2\cdot 4+12-8=12\ge 0$ và $4+10-2=12\ge 0$, hai vế đều bằng $\sqrt{12}$. Vậy $x=-2$ là nghiệm, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Khuôn viên hình chữ nhật có đường chéo 25m, chu vi 70m. Gọi một cạnh là $x$ (mét).
a) Vì cạnh của hình chữ nhật nhỏ hơn đường chéo nên $0<x<25$: đúng.
b) Theo định lý Pythagoras, cạnh còn lại là $\sqrt{25^2-x^2}$: đúng.
c) Chu vi bằng 70m nên $2\left(\sqrt{25^2-x^2}+x\right)=70$, tức $\sqrt{25^2-x^2}+x=35$, không phải bằng 70: sai.
d) Giải $2\left(\sqrt{625-x^2}+x\right)=70\iff \sqrt{625-x^2}=35-x$ (điều kiện $x\le 35$ luôn đúng). Bình phương: $625-x^2=1225-70x+x^2\iff x^2-35x+300=0\iff x=15$ hoặc $x=20$, đều thỏa mãn. Diện tích $=15\cdot 20=300m^2$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình chữ nhật luôn nhỏ hơn đường chéo 25m và dương, nên $0<x<25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Pythagoras với đường chéo 25m: cạnh còn lại $=\sqrt{25^2-x^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi 70m nên $2\left(\sqrt{25^2-x^2}+x\right)=70$, suy ra $\sqrt{25^2-x^2}+x=35$, không phải 70.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\sqrt{625-x^2}=35-x$ được $x=15$ hoặc $x=20$; diện tích $=15\cdot 20=300m^2$.

Điều kiện xác định $-2\le x\le 2$

$(x+1)\sqrt{4-x^2}=x^2-x-2$

$$\iff (x+1)\sqrt{4-x^2}=(x+1)(x-2)$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x=-1(TM)\\ \sqrt{4-x^2}=x-2(\ast )\end{array}$$

Giải (*):

$$\sqrt{4-x^2}=x-2\iff \left[\begin{array}{c}x\ge 2\\ 4-x^2=(x-2{)}^2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x\ge 2\\ 2x^2-4x=0\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x\ge 2\\ x=2(TM)\\ x=0(L)\end{array}\right]$$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 1

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+1=x-2\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $x\ge 2$ nên chỉ nhận $x=3$. Thử lại: $\sqrt{9-9+1}=1=\sqrt{1}$, thỏa. Vậy tập nghiệm là $\{3\}$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+1=x-2\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $x\ge 2$ nên chỉ nhận $x=3$. Vậy tập nghiệm là $\{3\}$, khớp đáp án D (mã đề 3267).

(AI giải đề cho tôi)
Khuôn viên là hình chữ nhật với đường chéo 25 m và chu vi 70 m. Gọi hai cạnh là $x$ và $y$. a) Vì $x$ là cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền 25 m nên $0<x<25$: đúng. b) Theo định lý Pythagoras, $y=\sqrt{25^2-x^2}$: đúng. c) Chu vi $2(x+y)=70$ nên $x+y=35$, không phải $\sqrt{25^2-x^2}+x=70$: sai. d) $x+y=35$, $x^2+y^2=625$ nên $xy=\frac{(x+y{)}^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{1225-625}{2}=300{\text{m}}^2$: đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức Đ, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh $x$ là cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền (đường chéo) bằng 25 m, nên $0<x<25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Pythagoras: $x^2+y^2=25^2$ nên $y=\sqrt{25^2-x^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi là $2\left(x+\sqrt{25^2-x^2}\right)=70$, tức $x+\sqrt{25^2-x^2}=35$, không phải $\sqrt{25^2-x^2}+x=70$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x+y=35$ và $x^2+y^2=625$, diện tích $xy=\frac{35^2-625}{2}=300{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-2\le x\le 2$. Phương trình: $(x+1)\sqrt{4-x^2}=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.

Với $x=-1$: VT $=0$, VP $=0$ → $x=-1$ là nghiệm.

Với $x\ne -1$, chia hai vế cho $(x+1)$: $\sqrt{4-x^2}=x-2$. Vì vế trái $\ge 0$ nên cần $x-2\ge 0$, kết hợp $x\le 2$ suy ra $x=2$. Thử lại: VT $=0$, VP $=0$ → $x=2$ là nghiệm.

Tổng các nghiệm: $-1+2=1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4-x^2\ge 0\iff -2\le x\le 2$. Phương trình: $(x+1)\sqrt{4-x^2}=(x+1)(x-2)$, tức $(x+1)\left(\sqrt{4-x^2}-(x-2)\right)=0$.

TH1: $x=-1$ (thỏa mãn điều kiện): kiểm tra $0\cdot \sqrt{3}=0=(-1{)}^2-(-1)-2=0$, chấp nhận.

TH2: $\sqrt{4-x^2}=x-2$, yêu cầu $x\ge 2$, kết hợp điều kiện nên $x=2$. Kiểm tra: $3\cdot 0=0=4-2-2$, chấp nhận.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=2$, tổng bằng $-1+2=1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1354, Phần III câu 1 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+1=x-2\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $x\ge 2$ nên chỉ nhận $x=3$ (thử lại: $\sqrt{9-9+1}=1=\sqrt{1}$ đúng). Tập nghiệm $\{3\}$, khớp đáp án B.

Điều kiện : $x-3\ge 0\iff x\ge 3$ (0,25)
$\sqrt{x+3}=x-3$
$\iff x+3=(x-3{)}^2$ (0,25)
$\iff x^2-7x+6=0$
$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=6\end{array}$ (0,25)
ĐCDK, nghiệm là $x=6$. (0.25)
Chú ý: Học sinh giải cách khác thì giám khảo tự chia điểm và chấm.

Điều kiện : $x-2\ge 0\iff x\ge 2$ (0,25)
$\sqrt{4x-3}=x-2$
$\iff 4x-3=(x-2{)}^2$ (0,25)
$\iff x^2-8x+7=0$
$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=7\end{array}$ (0,25)
ĐCĐK, nghiệm là $x=7$. (0.25)
Chú ý: Học sinh giải cách khác thì giám khảo tự chia điểm và chấm.

$$\sqrt{x^2-5x+9}=x-3.$$
$$x^2-5x+9=(x-3{)}^2$$
$$x^2-5x+9=x^2-6x+9$$
$$x=0$$
Thử lại, ta thấy phương trình vô nghiệm (0.25 x 4đ)

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (với điều kiện các biểu thức dưới dấu căn không âm): $x^2+2x-3=-2x^2+5\iff 3x^2+2x-8=0\iff x=\frac{4}{3}$ hoặc $x=-2$. Thử lại: với $x=-2$ thì $x^2+2x-3=4-4-3=-3<0$, loại. Với $x=\frac{4}{3}$ thì $x^2+2x-3=\frac{16}{9}+\frac{8}{3}-3=\frac{16}{9}+\frac{24}{9}-\frac{27}{9}=\frac{13}{9}>0$ và $-2x^2+5=-2\cdot \frac{16}{9}+5=\frac{13}{9}>0$, thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{4}{3}$, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 002, Câu 3: A).

$$\sqrt{x^2-5x+9}=x-3.$$
$$x^2-5x+9=(x-3{)}^2$$
$$x^2-5x+9=x^2-6x+9$$
$$x=0$$
Thử lại, ta thấy phương trình vô nghiệm (0.25 x 4đ)

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức dưới dấu căn không âm): $x^2+2x-3=-2x^2+5\iff 3x^2+2x-8=0\iff x=\frac{4}{3}$ hoặc $x=-2$. Kiểm tra điều kiện: với $x=-2$ thì $x^2+2x-3=-3<0$ (loại); với $x=\frac{4}{3}$ thì $x^2+2x-3=\frac{13}{9}>0$ và $-2x^2+5=\frac{13}{9}>0$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{4}{3}$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án mã đề 001.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2+3x-2}=x+1$ ta được ${\left(\sqrt{x^2+3x-2}\right)}^2=(x+1{)}^2$, tức $x^2+3x-2=(x+1{)}^2$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 10: B).

Đáp số: 12.

Phương trình: $\frac{\sqrt{169-x^2}}{30}=\frac{x}{30}-\frac{14}{60}\iff \sqrt{169-x^2}=x-7$

Bình phương hai vế của phương trình trên và thu gọn, ta được:

$2x^2-14x-120=0$

Phương trình này có các nghiệm $x_1=12$, $x_2=-5$.

Chỉ có nghiệm $x=12$ thoả phương trình và thoả điều kiện thực tế $x>0$.

Giải phương trình $\sqrt{2x^2-4x-3}=\sqrt{2-x}$. (1)

Bình phương hai vế ta được $2x^2-4x-3=2-x$.

Thu gọn ta có phương trình $2x^2-3x-5=0$. (2)

Phương trình (2) có hai nghiệm là $x=-1$ và $x=\frac{5}{2}$.

Thử lại ta thấy chỉ có $x=-1$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=-1$.