Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin (2x+30^0)=\sin 60^0$, ta có hai trường hợp: $2x+30^0=60^0+k.360^0\Rightarrow x=15^0+k.180^0$, hoặc $2x+30^0=180^0-60^0+k.360^0=120^0+k.360^0\Rightarrow x=45^0+k.180^0$ $(k\in \mathbb{Z})$. Kết quả khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi$. Phương trình $\sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3}$. Với $x\in [2\pi ;4\pi ]$ thì $k\in \{6,7,8,9,10,11,12\}$, tức $x\in \{2\pi ,\frac{7\pi }{3},\frac{8\pi }{3},3\pi ,\frac{10\pi }{3},\frac{11\pi }{3},4\pi \}$ (7 giá trị). Loại $x=3\pi$ vì khi đó $\cos 3\pi =-1$ (mẫu bằng 0). Vậy có 6 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, nên phương trình trở thành $1-2{\sin }^{2}x-\sin x=0$, tức $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$. Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$: $2t^2+t-1=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=-1$. Với $\sin x=\frac{1}{2}$ trên $[0;2\pi ]$: $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$. Với $\sin x=-1$: $x=\frac{3\pi }{2}$. Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}+\frac{3\pi }{2}=\pi +\frac{3\pi }{2}=\frac{5\pi }{2}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos (x-15^{\circ })-1=0$ ta có $\cos (x-15^{\circ })=\frac{1}{2}$, suy ra $x-15^{\circ }=\pm 60^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Với dấu cộng: $x=75^{\circ }+k360^{\circ }$; với dấu trừ: $x=-45^{\circ }+k360^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$, ta có $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) Sai: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{1}{2}$, nên phương trình không tương đương với $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$.
b) Đúng: nghiệm tổng quát đúng như trên.
c) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}$ (khi $k=0$), không phải $\frac{7\pi }{6}$.
d) Đúng: các nghiệm thuộc $(0;2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{7\pi }{6}$, tổng bằng $\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}+\frac{7\pi }{6}=\frac{10\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$. Kết quả khớp đáp án nguồn (SĐĐĐ).
a) $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{1}{2}$ nên hai phương trình không tương đương.
b) Từ $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ suy ra $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$.
c) Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}$ ($k=0$ ở họ nghiệm đầu), nhỏ hơn $\frac{7\pi }{6}$.
d) Các nghiệm trong $(0;2\pi )$ là $\frac{\pi }{2}$ và $\frac{7\pi }{6}$; tổng $=\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$, nên $x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) Đúng vì $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$.
b) Sai: họ nghiệm thứ hai là $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$, không phải $-\frac{\pi }{12}+k2\pi$.
c) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{12}$ (nhỏ hơn $\frac{5\pi }{12}$).
d) Đúng: các nghiệm thuộc $(0;\pi )$ là $\frac{\pi }{12}$ và $\frac{5\pi }{12}$, tổng bằng $\frac{\pi }{2}$. Kết quả khớp đáp án DSDD của mã đề 4567.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên phương trình tương đương $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$ được $x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$; họ $-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{12}$, không phải $\frac{5\pi }{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(0;\pi )$ có hai nghiệm $\frac{\pi }{12}$ và $\frac{5\pi }{12}$, tổng bằng $\frac{6\pi }{12}=\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. a) Vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$ giống hệt phương trình đã cho, do đó tương đương → Đúng. b) Từ $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ → Đúng. c) Với $k=0$, nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}<\frac{7\pi }{6}$, nên khẳng định nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{7\pi }{6}$ là Sai. d) Trong $(0;2\pi )$ có hai nghiệm $\frac{\pi }{2}$ và $\frac{7\pi }{6}$, tổng bằng $\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$ → Đúng. Kết quả Đ-S-Đ-Đ khớp đáp án nguồn SDSD (mã đề 2345, trang 17).
a) Vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên hai phương trình giống hệt nhau, do đó tương đương. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)
b) Từ $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ ta có $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)
c) Với $k=0$, nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}<\frac{7\pi }{6}$, nên khẳng định sai. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)
d) Các nghiệm thuộc $(0;2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{7\pi }{6}$; tổng bằng $\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{3\pi +7\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$, nên ý a) Đúng. Suy ra $x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Ý b) Sai vì họ nghiệm thứ hai phải là $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$ chứ không phải $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$. Ý c) Sai vì nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{12}$ (nhỏ hơn $\frac{5\pi }{12}$). Trong khoảng $(0;\pi )$ có hai nghiệm $\frac{\pi }{12}$ và $\frac{5\pi }{12}$, tổng bằng $\frac{\pi }{12}+\frac{5\pi }{12}=\frac{6\pi }{12}=\frac{\pi }{2}$, nên ý d) Đúng. Kết quả khớp đáp án ĐSSD của mã đề 0123.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$ nên phương trình tương đương $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$ được $x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$, không phải $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{12}$, không phải $\frac{5\pi }{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $(0;\pi )$ là $\frac{\pi }{12}$ và $\frac{5\pi }{12}$, tổng bằng $\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-20^0\ne 90^0+k180^0$. Từ $\tan (x-20^0)=\tan 10^0$ suy ra $x-20^0=10^0+k180^0$, tức $x=30^0+k180^0$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x=30^0+k180^0$ thì $x-20^0=10^0+k180^0$ không thuộc tập xác định bị loại, nên mọi nghiệm đều thỏa mãn. Vậy $x=30^0+k180^0$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10. Giải từng phương trình lượng giác cơ bản:

a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có $2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $2x-\frac{\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{3}+k2\pi =-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ (do $-\frac{2\pi }{3}$ tương đương $\frac{4\pi }{3}$).
Suy ra $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$
$\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
Trường hợp $+$: $\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{18}+\frac{4k\pi }{3}$.
Trường hợp $-$: $\frac{3x}{2}=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{18}+\frac{4k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $\sin 3x-\cos 5x=0\iff \sin 3x=\cos 5x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-5x\right)$
$\iff 2\cos \left(\frac{3x+\frac{\pi }{2}-5x}{2}\right)\sin \left(\frac{3x-\frac{\pi }{2}+5x}{2}\right)=0$
$\iff \cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\sin \left(4x-\frac{\pi }{4}\right)=0$.
Từ đó $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $4x=\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$, $k\in \mathbb{Z}$.

d) ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}\iff \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{4}\iff \cos 2x=-\frac{1}{2}$
$\iff 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

e) $\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$. Vì $\cos x\ne 0$ (nếu $\cos x=0$ thì $\sin x=0$, vô lý), chia hai vế cho $\cos x$:
$\tan x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

f) $\sin x+\cos x=0\iff \tan x=-1$ (tương tự $\cos x\ne 0$)
$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

g) $\tan 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\iff 3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

h) $\tan \left(2x+10^{\circ }\right)=\tan 60^{\circ }\iff 2x+10^{\circ }=60^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$
$\iff x=25^{\circ }+k\cdot 90^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

k) $\cot 4x=\sqrt{3}\iff 4x=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$, $k\in \mathbb{Z}$.

l) $\cot (x+2)=1\iff x+2=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}-2+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện $\sin (x+2)\ne 0$ được thỏa vì $\cot =1$).

(AI giải đề cho tôi)
Mức nước cao nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $\frac{t}{8}=2k-\frac{1}{4}$, nên $t=16k-2$. Với $0\le t\le 24$: $k=1$ cho $t=14$; $k=0$ cho $t=-2$ (loại); $k=2$ cho $t=30$ (loại). Vậy mức nước cao nhất lúc 14 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $(2\cos x-1)(\sin x+1)=0$.

Phương trình tương đương với $2\cos x-1=0$ hoặc $\sin x+1=0$.

TH1: $2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

TH2: $\sin x+1=0\iff \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 115. Giải từng phương trình:

a) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$. Suy ra $4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn $|\cos x|\le 1$). Vậy $x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$. Suy ra $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, tức $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện tan xác định luôn thỏa).

d) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$. Suy ra $3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

e) $(\sin 3x+1)\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$.
• $\sin 3x=-1\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Vậy tập nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

f) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{2}-2x\right)$.
• Trường hợp 1: $7x=-\frac{\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 9x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{9}$.
• Trường hợp 2: $7x=\pi -\left(-\frac{\pi }{2}-2x\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}+2x+2k\pi \Rightarrow 5x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{3\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{9}$ hoặc $x=\frac{3\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 2x=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$. Với $x\in (0;\pi )$ thì $2x\in (0;2\pi )$. Trên $(0;2\pi )$, phương trình $\sin t=-\frac{1}{2}$ có hai nghiệm $t=\frac{7\pi }{6}$ và $t=\frac{11\pi }{6}$. Suy ra $x=\frac{7\pi }{12}$ và $x=\frac{11\pi }{12}$, đều thuộc $(0;\pi )$. Vậy số nghiệm là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos 2x=\sqrt{3}\iff \cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{12}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy nghiệm là $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$, tương ứng với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x=0$.
- $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- $\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy hai họ nghiệm là $x=k\pi$ và $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, đúng với đáp án A. Các đáp án B, C, D đều thiếu hoặc chỉ chứa một phần họ nghiệm nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
a) Đúng: $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ nên phương trình tương đương $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) Đúng: họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$).
c) Sai: với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta có $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên họ $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ không phải họ nghiệm của phương trình; họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
d) Đúng: trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 112, Phần II Câu 2: A Đúng, B Đúng, C Sai, D Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ suy ra $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$), nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta có $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên họ $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ không phải họ nghiệm của phương trình; họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$, nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ ta được $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
a) Đúng: phương trình tương đương là $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) Sai: nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ thì $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên khẳng định sai.
c) Đúng: các nghiệm dương là $\frac{\pi }{4}+k2\pi$ và $\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ với $k\ge 0$, nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.
d) Đúng: trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai vế cho 2: $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên phương trình tương đương.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$; họ $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ không thỏa mãn vì $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$ ở họ $\frac{\pi }{4}+k2\pi$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(-\pi ;\pi )$, hai họ nghiệm cho $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$, đúng hai nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{2}\Rightarrow \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow 2x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow 2x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{5\pi }{24}+k\pi ;\frac{11\pi }{24}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.