Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2x=1\iff 2x=2k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Yêu cầu $-\pi <k\pi <3\pi \iff -1<k<3$, nên $k\in \{0,1,2\}$, cho các nghiệm $x=0,\pi ,2\pi$. Vậy có 3 nghiệm thuộc khoảng $(-\pi ;3\pi )$, đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án gạch chân trong nguồn (trang 6).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Trên đường tròn lượng giác, các điểm có tung độ đối với trục tan thỏa mãn là $x=-30^{\circ }$ (tức $330^{\circ }$) và $x=150^{\circ }$. Theo hình vẽ: điểm $C$ ứng với góc $30^{\circ }$, điểm $F$ ứng với $-30^{\circ }$ (đối xứng qua trục hoành, phía dưới trục $Ox$ bên phải), điểm $D$ ứng với $150^{\circ }$ (góc phần tư thứ hai), điểm $E$ ứng với $210^{\circ }$. Vậy nghiệm tương ứng với các điểm $D$ và $F$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{m}{3}$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le \frac{m}{3}\le 1$, tức $-3\le m\le 3$. Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, gồm 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Xét trên khoảng $(0;3\pi )$: với $k=0$ ta được $x=\frac{\pi }{3}$ (thỏa) và $x=-\frac{\pi }{3}$ (không thỏa); với $k=1$ ta được $x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}$ (thỏa) và $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$ (thỏa); với $k=2$ ta được $x=\frac{13\pi }{3}>3\pi$ (không thỏa). Vậy có 3 nghiệm thuộc $(0;3\pi )$: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi) $\tan 2x=-1\Rightarrow 2x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\sin A=\sin B$: hoặc $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}-x+k2\pi \Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}$; hoặc $2x-\frac{\pi }{4}=\pi -\left(\frac{\pi }{4}-x\right)+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+x+k2\pi \Rightarrow x=\pi +k2\pi$. Vậy tập nghiệm khớp với phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{4}=2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với điều kiện $-\pi \le x\le 5\pi$: $-\pi \le -\frac{\pi }{4}+2k\pi \le 5\pi \iff -\frac{3}{8}\le k\le \frac{21}{8}$, nên $k\in \{0;1;2\}$, cho các nghiệm $x=-\frac{\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{15\pi }{4}$. Vậy phương trình có 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao $h=100-30\cos 20t$ lớn nhất khi $\cos 20t=-1$, tức $20t=\pi +2k\pi$. Thời điểm đầu tiên ($k=0$): $t=\frac{\pi }{20}\approx 0,\mathrm{1570796...}$ giây. Làm tròn đến hàng phần trăm: $t\approx 0,16$ giây.

(AI giải đề cho tôi) $\cot x=0$ khi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$, các giá trị thỏa mãn là $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{3\pi }{2}$ ($x=-\frac{\pi }{2}$ và $\frac{5\pi }{2}$ nằm ngoài đoạn). Vậy có 2 giá trị của $x$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos 4x+\sqrt{3}=0$ ta có $\cos 4x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $4x=\pm \frac{5\pi }{6}+2k\pi$, tức $x=\pm \frac{5\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{5\pi }{24}$ thì $4x=\frac{5\pi }{6}$, $\cos 4x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ thỏa mãn. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $3x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Chia hai vế cho 3: $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ ($k\in \mathbb{Z}$). Điều này khớp với phương án D. Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{9}$ thì $\sin 3x=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
tan 5x = -1 ⟹ 5x = -π/4 + kπ ⟹ x = -π/20 + kπ/5, k∈ℤ. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ nên $\cot 9x=\frac{\sqrt{3}}{3}⟺9x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chia hai vế cho 9 ta được $x=\frac{\pi }{27}+k\frac{\pi }{9},k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{27}$ thì $9x=\frac{\pi }{3}$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin x-\sqrt{3}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$ có hai nghiệm: $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{2\pi }{3}$. Vậy số nghiệm là 2, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$, nên $x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$. Suy ra $x=k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng vì $\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$. b) Đúng theo nghiệm vừa tìm. c) Trên khoảng $(0;\pi )$: họ $x=k2\pi$ cho $x=0,2\pi ,\dots$ không thuộc $(0;\pi )$; họ $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ cho $x=\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2},\dots$ cũng không thuộc $(0;\pi )$. Vậy phương trình có 0 nghiệm trên $(0;\pi )$, khẳng định sai. d) Trong đoạn $[-\pi ;\pi ]$ có các nghiệm $x=0$ và $x=-\frac{\pi }{2}$, tổng bằng $-\frac{\pi }{2}$, khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$ nên phương trình tương đương $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ suy ra $x=k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Không có nghiệm nào của hai họ $x=k2\pi$ và $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ thuộc khoảng $(0;\pi )$, nên phương trình có 0 nghiệm trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm thuộc $[-\pi ;\pi ]$ là $x=0$ và $x=-\frac{\pi }{2}$, tổng bằng $-\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), tức $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$: họ thứ nhất cho $x=\frac{\pi }{12},\frac{13\pi }{12}$; họ thứ hai cho $x=\frac{5\pi }{12},\frac{17\pi }{12}$. Vậy có 4 nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $x\in (0;\pi )$, tức $2x\in (0;2\pi )$. Khi đó $2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $2x=\pi -\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Với $2x\in (0;2\pi )$ chỉ nhận $2x=\frac{\pi }{3}$ và $2x=\frac{2\pi }{3}$, suy ra $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{\pi }{3}$, đều thuộc $(0;\pi )$. Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc $(0;\pi )$, khớp với đáp án nguồn (Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$, ta có $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), suy ra $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. a) Đúng vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$. b) Trong $(0;\pi )$: họ thứ nhất cho $x=\frac{11\pi }{12}$ (k=1); họ thứ hai cho $x=\frac{\pi }{4}$ (k=0). Vậy chỉ có 2 nghiệm, khẳng định Sai. c) Tổng các nghiệm $=\frac{\pi }{4}+\frac{11\pi }{12}=\frac{7\pi }{6}\ne \frac{3\pi }{4}$, Sai. d) Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{11\pi }{12}\ne \frac{7\pi }{12}$, Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ nên hai phương trình trùng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $(0;\pi )$ là $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{11\pi }{12}$, chỉ có 2 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{4}+\frac{11\pi }{12}=\frac{7\pi }{6}\ne \frac{3\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{11\pi }{12}$, không phải $\frac{7\pi }{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos x=\sqrt{3}\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
a) Sai: nghiệm phải là $\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$ chứ không phải $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
b) Sai: Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]=\left[0;\frac{15\pi }{6}\right]$, các nghiệm là $\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\frac{13\pi }{6}$ (vì $-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$, $\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}$). Vậy chỉ có 3 nghiệm, không phải 4.
c) Đúng: Tổng $=\frac{\pi }{6}+\frac{11\pi }{6}+\frac{13\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$.
d) Đúng: Nghiệm lớn nhất trong đoạn là $\frac{13\pi }{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, không phải $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\frac{13\pi }{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\frac{\pi }{6}+\frac{11\pi }{6}+\frac{13\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất là $\frac{13\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$.

Ta có $2\cos \frac{x}{2}=-\sqrt{3}\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Do $\cos \frac{5\pi }{6}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên:
$$\cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}\iff \frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Suy ra $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{5\pi }{3}$ thì $\cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, khi đó $2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt{3}=0$ — thỏa mãn.