Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $M_1$ có tọa độ góc $\frac{\pi }{3}$ và $M_2$ là điểm đối xứng qua tâm $O$ nên có góc $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$. Hai điểm này đối nhau qua tâm, tức nghiệm có dạng $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét các phương trình: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$ (biểu diễn là $A$, $A^{\prime }$) — sai. $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, cho đúng hai điểm $M_1$, $M_2$ — đúng. $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$ — sai. $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$ — sai. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 111 (Câu 14: B).

$\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

Do chiều cao của mực nước trong kênh là $9m$ nên ta có:

$3\cos \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)+12=9\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)=-1$

$\iff \frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}=\pi +k2\pi \iff t=8+24k$.

Vì $0\le t\le 24\iff 0\le 8+24k\le 24\iff -\frac{1}{3}\le k\le \frac{2}{3}$

Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$. Khi đó $t=8(h)$.

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Nếu học sinh làm không giống đáp án các thầy cô giáo chấm và cho điểm tương ứng.)

Câu 1a (0.5 điểm): Do $0<x<90^0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin x>0\\ \cos x>0\\ \tan x>0\\ \cot x>0\end{array}$. (0.25)

Từ đó với $\cos x=\frac{3}{5}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\frac{4}{5}$. (0.25)

$\Rightarrow \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3}$. Vậy....

Câu 1b (1 điểm): Ta có $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$ (0.25)

Với $0\le x\le 2\pi$ ta có $\{\begin{array}{l}0\le -\frac{\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{24}\le k\le \frac{25}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1$ nghiệm là $x=\frac{23\pi }{12}$. (0.25)

$\{\begin{array}{l}0\le -\frac{7\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{7}{24}\le k\le \frac{31}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1\Rightarrow x=\frac{17\pi }{12}$. (0.25)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $0\le x\le 2\pi$. (0.25)

Lưu ý: đề bài ghi $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ nhưng lời giải gốc dùng $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ — không nhất quán theo bản gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình tan(2x−15°)=1: điều kiện 2x−15° ≠ 90°+k180°. Ta có 2x−15° = 45°+k180° ⇒ x = 30°+k90°, k∈ℤ.
a) Đúng: họ nghiệm đúng là x = 30°+k90°.
b) Sai: các nghiệm âm là x = −60° (k=−1), −150° (k=−2),... nên nghiệm âm lớn nhất là −60°, không phải −30°.
c) Đúng: trong khoảng (−180°;90°) có các nghiệm −150°, −60°, 30°; tổng = −150°−60°+30° = −180°.
d) Sai: nghiệm lớn nhất trong khoảng (−180°;90°) là 30°, không phải 60° (60° không thuộc khoảng này và cũng không là nghiệm dạng 30°+k90° trong khoảng).
a) (AI giải đề cho tôi)
tan(2x−15°)=1 ⇒ 2x−15°=45°+k180° ⇒ x=30°+k90°, k∈ℤ. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất: k=−1 cho x=−60°, không phải −30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong (−180°;90°) các nghiệm là −150°, −60°, 30°; tổng bằng −180°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong khoảng là 30°, không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A) $2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +\frac{\pi }{6}+k2\pi$, nên có nghiệm. B) $\tan x-3=0\iff \tan x=3$ có nghiệm $x=\arctan 3+k\pi$, nên có nghiệm. C) $2\cos x-3=0\iff \cos x=\frac{3}{2}$. Vì $\cos x\le 1<\frac{3}{2}$ với mọi $x$, phương trình vô nghiệm. D) $\sqrt{3}\cot x+1=0\iff \cot x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ có nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}+k\pi$, nên có nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm là $2\cos x-3=0$, đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\tan (2x-15^{\circ })=1$: điều kiện $2x-15^{\circ }\ne 90^{\circ }+k180^{\circ }$. Ta có $2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ },k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng: họ nghiệm đúng là $x=30^{\circ }+k90^{\circ }$.

b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $x=30^{\circ }-90^{\circ }=-60^{\circ }$, không phải $-30^{\circ }$.

c) Đúng: trong khoảng $(-180^{\circ };90^{\circ })$, các nghiệm là $k=-2\Rightarrow x=-150^{\circ }$, $k=-1\Rightarrow x=-60^{\circ }$, $k=0\Rightarrow x=30^{\circ }$. Tổng $=-150^{\circ }-60^{\circ }+30^{\circ }=-180^{\circ }$.

d) Sai: nghiệm lớn nhất trong khoảng $(-180^{\circ };90^{\circ })$ là $30^{\circ }$ (vì $k=1$ cho $x=120^{\circ }\notin$ khoảng), không phải $60^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ }$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=-60^{\circ }$ ($k=-1$), không phải $-30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong $(-180^{\circ };90^{\circ })$: $-150^{\circ },-60^{\circ },30^{\circ }$; tổng bằng $-180^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong khoảng là $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ sâu lớn nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=16k-2$. Với $0\le t<24$: $k=0\Rightarrow t=-2$ (loại), $k=1\Rightarrow t=14$, $k=2\Rightarrow t=30$ (loại). Vậy mực nước cao nhất khi $t=14$ giờ, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1102, Câu 3: 14).

Lời giải (thang điểm):
$\sin \left(x+\frac{2\pi }{5}\right)-\cos 2x=0\iff \sin \left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=\cos 2x$ (0,125 điểm)
$\iff \sin \left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$ (0,125 điểm)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>x+\frac{2\pi }{5}=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi </td></tr><tr><td>x+\frac{2\pi }{5}=\pi -\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (0,125 điểm)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>x+2x=\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{5}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-2x=\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{5}+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (0,125 điểm)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>3x=\frac{\pi }{10}+k2\pi </td></tr><tr><td>-x=\frac{\pi }{10}+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (0,25 điểm; đúng một phương trình được 0,125)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>x=\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{3}</td></tr><tr><td>x=-\frac{\pi }{10}-k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$ (0,25 điểm; đúng một nghiệm được 0,125)

a) $\cos x=\cos \frac{\pi }{8}\iff x=\pm \frac{\pi }{8}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. (0,5 điểm)
b) $\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}\iff \tan 2x=\tan \frac{\pi }{3}$ $\iff 2x=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. (0,5 điểm)
c) $\sin 3x-\cos 2x=0\iff \sin 3x=\cos 2x\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$ $$\iff \{\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ 3x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}.$$ (0,5 điểm)

$\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin 2x=\sin \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)

$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0,25 điểm)

$\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin 2x=\sin \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)

$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ với điều kiện $3x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Suy ra $3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tức $3x=k\pi$, nên $x=\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Thử lại: với $x=\frac{k\pi }{3}$ thì $3x-\frac{\pi }{4}=k\pi -\frac{\pi }{4}$, và $\tan \left(k\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ (thỏa mãn). Vậy $S=\left\{\frac{k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án A trong đề và bảng đáp án chính thức (mã đề 267, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\tan \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$, ta có $3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $3x=k\pi$, tức $x=k\frac{\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\left\{k\frac{\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án chính thức (mã đề 013, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 2x=\sin x\iff 2\sin x\cos x-\sin x=0\iff \sin x(2\cos x-1)=0$.
Trường hợp 1: $\sin x=0\iff x=k\pi$.
Trường hợp 2: $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
Gộp lại: $x=k\pi$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
Kiểm tra đáp án B: $\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}$ với $k\in \mathbb{Z}$ cho các giá trị $\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3},3\pi ,\frac{11\pi }{3},\dots$ tức là bao gồm cả $k\pi$ (khi $k\equiv 1(\mathrm{mod}3)$) lẫn $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (khi $k\equiv 0(\mathrm{mod}3)$) lẫn $-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (khi $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)$), cộng với họ $k2\pi$ (chính là $k\pi$ với $k$ chẵn, đã nằm trong họ trên). Vậy tập nghiệm đúng là $S=\left\{k2\pi ;\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}$, khớp với đáp án B (khóa đề 201, câu 18: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ có nghiệm $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in [0;5\pi ]$: $0\le -\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 5\pi \iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{31}{12}$, nên $k=1$ hoặc $k=2$, cho $x=\frac{11\pi }{6}$ và $x=\frac{23\pi }{6}$. Vậy có 2 nghiệm, khớp với đáp án nguồn D.

a) $\iff 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$ (0,25 điểm)
$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$ (0,25 điểm)

b) $$\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (0,25 điểm)
$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}-2x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}-2x=-\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}-k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}-k\pi \end{array}$$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3\sin x+m-1=0\iff \sin x=\frac{1-m}{3}$. Để phương trình có nghiệm cần $-1\le \frac{1-m}{3}\le 1\iff -3\le 1-m\le 3\iff -2\le m\le 4$. Các giá trị nguyên của $m$: $-2,-1,0,1,2,3,4$ — tổng cộng 7 giá trị. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 201.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (2x+30^{\circ })=-\sin x=\cos (90^{\circ }+x)$. Do đó $2x+30^{\circ }=\pm (90^{\circ }+x)+k360^{\circ }$. Trường hợp 1: $2x+30^{\circ }=90^{\circ }+x+k360^{\circ }\Rightarrow x=60^{\circ }+k360^{\circ }$. Trường hợp 2: $2x+30^{\circ }=-90^{\circ }-x+k360^{\circ }\Rightarrow 3x=-120^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=-40^{\circ }+k120^{\circ }$. Vậy nghiệm là $x=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=-40^{\circ }+k120^{\circ }$, khớp với đáp án D (khớp cả đáp án tra bảng mã đề 201, câu 6 là D).