Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=0$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, vì $\cos x$ bằng 0 tại các điểm cách đều nhau một nửa chu kỳ $\pi$ trên đường tròn lượng giác. So sánh với các phương án: A và B chỉ liệt kê một họ nghiệm (thiếu họ kia), C là nghiệm của $\cos x=1$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Biên độ dao động là $A=8$, nên khi vật ở xa vị trí cân bằng nhất thì $s=8$ (m). b) Vật qua vị trí cân bằng khi $s=0$: $\cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow \frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{5}{3}+2k,k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 10$: $t=\frac{5}{3};\frac{17}{3};\frac{29}{3};\frac{41}{3};\frac{53}{3}$. Vậy lần thứ nhất là $t=\frac{5}{3}$ giây, lần thứ hai là $t=\frac{17}{3}$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
cos x = -1/2 có nghiệm x = ± arccos(-1/2) + k2π = ±(π - π/3) + k2π = ±(2π/3) + k2π, k ∈ ℤ. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $s(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{2}\right)=5\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)$ (cm), biên độ $A=5$ cm, chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /3}=6$ giây.

a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi $|s(t)|=A=5$, tức $s(t)=\pm 5$ cm. Cụ thể tại $t=0$ thì $s(0)=5$ cm, nên giá trị xa vị trí cân bằng nhất là $5$ cm.

b) Vật đi qua vị trí cân bằng khi $s(t)=0\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=0\iff \frac{\pi }{3}t=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff t=\frac{3}{2}+3k,k\in \mathbb{Z}$.

Trong 12 giây đầu tiên ($0\le t\le 12$): $t=1,5;4,5;7,5;10,5$ giây. Vậy lần thứ hai vật đi qua vị trí cân bằng tại $t=4,5$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha \iff \sin x-\sin \alpha =0\iff 2\cos \frac{x+\alpha }{2}\sin \frac{x-\alpha }{2}=0$, cho $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=0\iff 2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$. a) Các nghiệm âm: từ họ thứ nhất lấy $k=0$ được $x=-\frac{\pi }{6}$; từ họ thứ hai lấy $k=-1$ được $x=\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6}$. Nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{5\pi }{6}$ → Sai. b) Đúng như nghiệm tổng quát ở trên → Đúng. c) $f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )+1=f(x)$, chu kỳ $T=2\pi$ → Đúng. d) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $\min f=-1$, $\max f=3$, tổng bằng $2\ne 0$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{6}$ (vì $-\frac{\pi }{6}>-\frac{5\pi }{6}$), nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, đúng như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )+1=f(x)$ nên hàm tuần hoàn chu kỳ $T=2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\min f=2(-1)+1=-1$, $\max f=2(1)+1=3$, tổng bằng $2\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{3}$ có họ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tức là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$. Điều này khớp với phương án C (và cũng khớp đáp án C trong bảng đáp án mã đề 111).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có họ nghiệm $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được $x=60^{\circ }$ (dương), với $k=-1$ ta được $x=\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}=-120^{\circ }$. Các nghiệm với $k\le -2$ đều nhỏ hơn $-120^{\circ }$, nên nghiệm âm lớn nhất là $-120^{\circ }$. Vậy $a=-120$, khớp đáp án nguồn (bảng Phần III, cột 1).

$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{4}$ (0,25đ).

$\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right]$, $k\in \mathbb{Z}$ (0,25đ).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, hai điểm $M$, $N$ trên đường tròn lượng giác có cùng tung độ bằng $\frac{1}{2}$ và đối xứng nhau qua trục $Oy$, tức là hai điểm có hoành độ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ và tung độ $\frac{1}{2}$. Điều này tương ứng với $\sin x=\frac{1}{2}$, vì nghiệm của $\sin x=\frac{1}{2}$ là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, biểu diễn trên đường tròn bởi đúng 2 điểm $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$ — chính là $M$, $N$ trong hình.

Kiểm tra các phương án khác:
- A: $2\sin 2x=1\iff \sin 2x=\frac{1}{2}$ có 4 nghiệm trên $[0;2\pi )$ nên biểu diễn bởi 4 điểm.
- B: $2\cos x=1\iff \cos x=\frac{1}{2}$ cho 2 điểm đối xứng qua trục $Ox$ (khác hình vẽ).
- C: $2\cos 2x=1\iff \cos 2x=\frac{1}{2}$ có 4 nghiệm trên $[0;2\pi )$ nên biểu diễn bởi 4 điểm.

Vậy phương trình $2\sin x=1$ (phương án D) có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm $M$, $N$ như hình vẽ. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$. Ta có $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ (với $\alpha =\frac{2\pi }{3}$): $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ và $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Các phương án khác sai vì $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, và phương án D có chu kỳ $k\pi$ không đúng cho cos bằng giá trị âm cố định. Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

Do chiều cao của mực nước trong kênh là $15m$ nên ta có:

$3\cos \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)+12=15\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)=1$

$\iff \frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}=k2\pi \iff t=-4+24k$.

Vì $0\le t\le 24\iff 0\le -4+24k\le 24\iff \frac{1}{6}\le k\le \frac{7}{6}$

Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=1$. Khi đó $t=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $M_1$ có tọa độ góc $\frac{\pi }{3}$ và $M_2$ là điểm đối xứng qua tâm $O$ nên có góc $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$. Hai điểm này đối nhau qua tâm, tức nghiệm có dạng $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét các phương trình: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$ (biểu diễn là $A$, $A^{\prime }$) — sai. $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, cho đúng hai điểm $M_1$, $M_2$ — đúng. $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$ — sai. $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$ — sai. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 111 (Câu 14: B).

$\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

Do chiều cao của mực nước trong kênh là $9m$ nên ta có:

$3\cos \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)+12=9\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)=-1$

$\iff \frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}=\pi +k2\pi \iff t=8+24k$.

Vì $0\le t\le 24\iff 0\le 8+24k\le 24\iff -\frac{1}{3}\le k\le \frac{2}{3}$

Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$. Khi đó $t=8(h)$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ ta có $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{5\pi }{6}=\cos (\pi -\frac{\pi }{6})=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng. Các phương án khác sai vì $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cot x=\cot \frac{\pi }{3}$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện $\sin x\ne 0$ luôn thỏa vì $x\ne k\pi$). Điều này khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1112 (Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}$. Đặt $u=\frac{\pi t}{6}+1$, với $0\le t<24$ thì $1\le u<1+4\pi \approx 13,57$. Phương trình $\cos u=-\frac{1}{2}$ có nghiệm $u=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, tức $u\approx 2,094;4,189;8,377;10,472;14,66;\dots$ Trong khoảng $[1;13,57)$ có đúng 4 giá trị: $\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3}+2\pi ,\frac{4\pi }{3}+2\pi$. Tương ứng $t=\frac{6(u-1)}{\pi }$ đều thuộc $[0;24)$. Vậy trong một ngày độ sâu mức nước đạt 10,5 m đúng 4 lần, khớp với đáp án nguồn.

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Nếu học sinh làm không giống đáp án các thầy cô giáo chấm và cho điểm tương ứng.)

Câu 1a (0.5 điểm): Do $0<x<90^0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin x>0\\ \cos x>0\\ \tan x>0\\ \cot x>0\end{array}$. (0.25)

Từ đó với $\cos x=\frac{3}{5}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\frac{4}{5}$. (0.25)

$\Rightarrow \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3}$. Vậy....

Câu 1b (1 điểm): Ta có $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$ (0.25)

Với $0\le x\le 2\pi$ ta có $\{\begin{array}{l}0\le -\frac{\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{24}\le k\le \frac{25}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1$ nghiệm là $x=\frac{23\pi }{12}$. (0.25)

$\{\begin{array}{l}0\le -\frac{7\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{7}{24}\le k\le \frac{31}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1\Rightarrow x=\frac{17\pi }{12}$. (0.25)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $0\le x\le 2\pi$. (0.25)

Lưu ý: đề bài ghi $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ nhưng lời giải gốc dùng $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ — không nhất quán theo bản gốc.