Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos 2x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$. Xét từng phương án: A: $\cos 2x=0$, có $0\in [-1;1]$ nên có nghiệm. B: $\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{4}\approx -0,433\in [-1;1]$ nên có nghiệm. C: $\cos 2x=-\frac{2}{3}\approx -0,667\in [-1;1]$ nên có nghiệm. D: $\cos 2x=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118>1$ nên vô nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm là phương trình D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1112, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{\pi t}{6}+1=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $\frac{4\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\frac{6}{\pi }\left(\frac{2\pi }{3}-1\right)+12k\approx 2,09+12k$ hoặc $t=\frac{6}{\pi }\left(\frac{4\pi }{3}-1\right)+12k\approx 6,09+12k$. Với $0\le t<24$: $t\approx 2,09;6,09;14,09;18,09$ — tổng cộng 4 lần. Kết quả khớp với đáp án nguồn (4).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos 2x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$. Xét từng phương án: A: $\cos 2x=-\frac{2}{3}$, vì $-1\le -\frac{2}{3}\le 1$ nên có nghiệm. B: $\cos 2x=0$, có nghiệm $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. C: $\cos 2x=\frac{\sqrt{5}}{2}$, vì $\sqrt{5}\approx 2,236$ nên $\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118>1$, vượt ngoài tập giá trị $[-1;1]$ của hàm cosin, do đó phương trình vô nghiệm. D: $\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{4}$, vì $-\frac{\sqrt{3}}{4}\approx -0,433\in [-1;1]$ nên có nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm là phương án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cot x=\cot \frac{\pi }{3}$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (vì hàm cot đồng chu kỳ $\pi$ và cùng giá trị tại các điểm cách nhau bội của $\pi$). Điều này khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1111 (Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì sin đạt giá trị 1 duy nhất tại $x=\frac{\pi }{2}$ trong chu kỳ $2\pi$. Đáp án trùng với mã đề 0119 (cột 0119, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình tan(2x−15°)=1: điều kiện 2x−15° ≠ 90°+k180°. Ta có 2x−15° = 45°+k180° ⇒ x = 30°+k90°, k∈ℤ.
a) Đúng: họ nghiệm đúng là x = 30°+k90°.
b) Sai: các nghiệm âm là x = −60° (k=−1), −150° (k=−2),... nên nghiệm âm lớn nhất là −60°, không phải −30°.
c) Đúng: trong khoảng (−180°;90°) có các nghiệm −150°, −60°, 30°; tổng = −150°−60°+30° = −180°.
d) Sai: nghiệm lớn nhất trong khoảng (−180°;90°) là 30°, không phải 60° (60° không thuộc khoảng này và cũng không là nghiệm dạng 30°+k90° trong khoảng).
a) (AI giải đề cho tôi)
tan(2x−15°)=1 ⇒ 2x−15°=45°+k180° ⇒ x=30°+k90°, k∈ℤ. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất: k=−1 cho x=−60°, không phải −30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong (−180°;90°) các nghiệm là −150°, −60°, 30°; tổng bằng −180°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong khoảng là 30°, không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A) $2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +\frac{\pi }{6}+k2\pi$, nên có nghiệm. B) $\tan x-3=0\iff \tan x=3$ có nghiệm $x=\arctan 3+k\pi$, nên có nghiệm. C) $2\cos x-3=0\iff \cos x=\frac{3}{2}$. Vì $\cos x\le 1<\frac{3}{2}$ với mọi $x$, phương trình vô nghiệm. D) $\sqrt{3}\cot x+1=0\iff \cot x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ có nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}+k\pi$, nên có nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm là $2\cos x-3=0$, đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)+k2\pi =\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Thật vậy, $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. Do đó đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\tan (2x-15^{\circ })=1$: điều kiện $2x-15^{\circ }\ne 90^{\circ }+k180^{\circ }$. Ta có $2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ },k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng: họ nghiệm đúng là $x=30^{\circ }+k90^{\circ }$.

b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $x=30^{\circ }-90^{\circ }=-60^{\circ }$, không phải $-30^{\circ }$.

c) Đúng: trong khoảng $(-180^{\circ };90^{\circ })$, các nghiệm là $k=-2\Rightarrow x=-150^{\circ }$, $k=-1\Rightarrow x=-60^{\circ }$, $k=0\Rightarrow x=30^{\circ }$. Tổng $=-150^{\circ }-60^{\circ }+30^{\circ }=-180^{\circ }$.

d) Sai: nghiệm lớn nhất trong khoảng $(-180^{\circ };90^{\circ })$ là $30^{\circ }$ (vì $k=1$ cho $x=120^{\circ }\notin$ khoảng), không phải $60^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ }$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=-60^{\circ }$ ($k=-1$), không phải $-30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong $(-180^{\circ };90^{\circ })$: $-150^{\circ },-60^{\circ },30^{\circ }$; tổng bằng $-180^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong khoảng là $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ sâu lớn nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=16k-2$. Với $0\le t<24$: $k=0\Rightarrow t=-2$ (loại), $k=1\Rightarrow t=14$, $k=2\Rightarrow t=30$ (loại). Vậy mực nước cao nhất khi $t=14$ giờ, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1102, Câu 3: 14).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$. Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ đúng. Phương án D khớp với đáp án trong hướng dẫn chấm (Câu 7, Mã đề 1102: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A) $\tan x=3$ có nghiệm $x=\arctan 3+k\pi$. B) $2\cos x-3=0\iff \cos x=\frac{3}{2}>1$, vô nghiệm vì $\cos x\in [-1;1]$. C) $2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}$, có nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +\frac{\pi }{6}+k2\pi$. D) $\sqrt{3}\cot x+1=0\iff \cot x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, có nghiệm $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$. Vậy phương trình vô nghiệm là $2\cos x-3=0$, đáp án B, khớp với đáp án của đề (mã đề 1102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ tương đương $\sin x-\sin \alpha =0$, tức $2\cos \frac{x+\alpha }{2}\sin \frac{x-\alpha }{2}=0$.
- $\sin \frac{x-\alpha }{2}=0\Rightarrow \frac{x-\alpha }{2}=k\pi \Rightarrow x=\alpha +k2\pi$.
- $\cos \frac{x+\alpha }{2}=0\Rightarrow \frac{x+\alpha }{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\pi -\alpha +k2\pi$.
Vậy nghiệm là $\{\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$, tương ứng phương án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: D).

Lời giải (thang điểm):
$\cos \left(\frac{\pi }{5}-3x\right)-\sin x=0\iff \cos \left(\frac{\pi }{5}-3x\right)=\sin x$ (0,125 điểm)
$\iff \cos \left(\frac{\pi }{5}-3x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ (0,125 điểm)
$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{\pi }{5}-3x=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ \frac{\pi }{5}-3x=-\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \end{array}$$ (0,125 điểm)
$$\iff \{\begin{array}{l}-3x+x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}+k2\pi \\ -3x-x=-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}+k2\pi \end{array}$$ (0,125 điểm)
$$\iff \{\begin{array}{l}-2x=\frac{3\pi }{10}+k2\pi \\ -4x=-\frac{7\pi }{10}+k2\pi \end{array}$$ (0,25 điểm; đúng một phương trình được 0,125)
$$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{3\pi }{20}-k\pi \\ x=\frac{7\pi }{40}-\frac{k\pi }{2}\end{array}(k\in \mathbb{Z})$$ (0,25 điểm; đúng một nghiệm được 0,125)

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các nghiệm lượng giác cơ bản: $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (A sai vì $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ là nghiệm của $\sin x=1$). $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (B đúng). $\sin x=0\iff x=k\pi$, không phải $k2\pi$ (C sai). $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, không phải $k\pi$ (D sai). Khớp với đáp án nguồn B (Mã đề 102, Câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm duy nhất trên vòng tròn lượng giác tại $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$, nên khẳng định A đúng. B sai vì $\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=-1$. C sai vì $\sin x=0\iff x=k\pi$, không phải $k2\pi$. D sai vì $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, không phải $\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: A).

Lời giải (thang điểm):
$\sin \left(x+\frac{2\pi }{5}\right)-\cos 2x=0\iff \sin \left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=\cos 2x$ (0,125 điểm)
$\iff \sin \left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$ (0,125 điểm)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>x+\frac{2\pi }{5}=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi </td></tr><tr><td>x+\frac{2\pi }{5}=\pi -\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (0,125 điểm)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>x+2x=\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{5}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-2x=\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{5}+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (0,125 điểm)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>3x=\frac{\pi }{10}+k2\pi </td></tr><tr><td>-x=\frac{\pi }{10}+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (0,25 điểm; đúng một phương trình được 0,125)
$\iff \{<table><tbody><tr><td>x=\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{3}</td></tr><tr><td>x=-\frac{\pi }{10}-k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$ (0,25 điểm; đúng một nghiệm được 0,125)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \alpha$ tương đương $x=\pm \alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (vì hàm số cosin có chu kỳ $2\pi$ và nhận giá trị bằng nhau tại hai góc đối nhau trên một vòng). Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 101, câu 5: D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$: vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Đây chính là đáp án B. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ cho $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; C và D dùng chu kỳ $k\pi$ nên bao gồm cả nghiệm của $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, do đó sai. Đáp án khớp với bảng đáp án của đề 201 (câu 10: B).

Lời giải (Mã đề 201;202;203;204):

Khi $s=2,4$ thì $4,8\cos \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=2,4\Rightarrow \cos \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$

$$\iff \left[\begin{array}{c}8t+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 8t+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})\iff \left[\begin{array}{c}t=-\frac{\pi }{48}+k\frac{\pi }{4}\\ t=-\frac{5\pi }{48}+k\frac{\pi }{4}\end{array}\right](k\in \mathbb{Z}).$$ [0,5 điểm]