Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 2x=\sin x\iff 2\sin x\cos x-\sin x=0\iff \sin x(2\cos x-1)=0$.
Trường hợp 1: $\sin x=0\iff x=k\pi$.
Trường hợp 2: $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
Gộp lại: $x=k\pi$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
Kiểm tra đáp án B: $\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}$ với $k\in \mathbb{Z}$ cho các giá trị $\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3},3\pi ,\frac{11\pi }{3},\dots$ tức là bao gồm cả $k\pi$ (khi $k\equiv 1(\mathrm{mod}3)$) lẫn $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (khi $k\equiv 0(\mathrm{mod}3)$) lẫn $-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (khi $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)$), cộng với họ $k2\pi$ (chính là $k\pi$ với $k$ chẵn, đã nằm trong họ trên). Vậy tập nghiệm đúng là $S=\left\{k2\pi ;\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}$, khớp với đáp án B (khóa đề 201, câu 18: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ có nghiệm $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in [0;5\pi ]$: $0\le -\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 5\pi \iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{31}{12}$, nên $k=1$ hoặc $k=2$, cho $x=\frac{11\pi }{6}$ và $x=\frac{23\pi }{6}$. Vậy có 2 nghiệm, khớp với đáp án nguồn D.

a) $\iff 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$ (0,25 điểm)
$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$ (0,25 điểm)

b) $$\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (0,25 điểm)
$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}-2x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}-2x=-\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}-k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}-k\pi \end{array}$$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3\sin x+m-1=0\iff \sin x=\frac{1-m}{3}$. Để phương trình có nghiệm cần $-1\le \frac{1-m}{3}\le 1\iff -3\le 1-m\le 3\iff -2\le m\le 4$. Các giá trị nguyên của $m$: $-2,-1,0,1,2,3,4$ — tổng cộng 7 giá trị. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 201.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (2x+30^{\circ })=-\sin x=\cos (90^{\circ }+x)$. Do đó $2x+30^{\circ }=\pm (90^{\circ }+x)+k360^{\circ }$. Trường hợp 1: $2x+30^{\circ }=90^{\circ }+x+k360^{\circ }\Rightarrow x=60^{\circ }+k360^{\circ }$. Trường hợp 2: $2x+30^{\circ }=-90^{\circ }-x+k360^{\circ }\Rightarrow 3x=-120^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=-40^{\circ }+k120^{\circ }$. Vậy nghiệm là $x=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=-40^{\circ }+k120^{\circ }$, khớp với đáp án D (khớp cả đáp án tra bảng mã đề 201, câu 6 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \frac{x}{2}=0$. Ta có $\sin u=0\iff u=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Do đó $\frac{x}{2}=k\pi \iff x=2k\pi$, tức $S=\{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Kiểm tra: với $x=2k\pi$ thì $\sin \frac{x}{2}=\sin k\pi =0$ đúng. So sánh với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 10: D) — trùng khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}\in [-1;1]$. Ta có $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là đáp án C. Đáp án A (chu kỳ $\pi$) và D sai vì $\sin \left(\frac{\pi }{3}+\pi \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; đáp án B sai vì $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 16: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: B) $\cos x=2$ vô nghiệm vì $\cos x\le 1$. C) $\sin x=-2$ vô nghiệm vì $-1\le \sin x\le 1$. D) $\sin 2x=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118>1$ nên vô nghiệm. A) $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=1$ có nghiệm vì $1\in [-1;1]$, cụ thể $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy phương trình có nghiệm là A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 20: A).

a) $2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=-\frac{1}{2}\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$
$\iff \{\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0,25+0,25 điểm)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{7\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $\tan (3x-10^{\circ })=\sqrt{3}$
$\iff 3x-10^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }(k\in \mathbb{Z})$ (0,25 điểm)
$\iff 3x=70^{\circ }+k180^{\circ }(k\in \mathbb{Z})$ (0,25 điểm)
$\iff x=\frac{1}{3}70^{\circ }+k60^{\circ }(k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}$, ta có họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Xét trên đoạn $\left[-\frac{3\pi }{2};10\pi \right]$: Với họ $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$: $-\frac{3\pi }{2}\le -\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 10\pi \iff -\frac{4}{3}\le k\le \frac{31}{6}\approx 5,17$, nên $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$: 6 nghiệm. Với họ $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$: $-\frac{3\pi }{2}\le -\frac{5\pi }{6}+2k\pi \le 10\pi \iff -\frac{1}{3}\le k\le \frac{65}{12}\approx 5,42$, nên $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$: 6 nghiệm. Tổng cộng $6+6=12$ nghiệm, khớp với đáp án A của đề (mã đề 101, câu 3 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\tan \frac{\pi }{6}\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x$, còn $\pi >1$ nên phương trình $\sin x=\pi$ vô nghiệm. Các phương trình còn lại đều có nghiệm: $\cos x=\frac{2017}{2018}$ có nghiệm vì $\left|\frac{2017}{2018}\right|<1$; $\tan x=2018$ và $\cot x=\sqrt{2}$ luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của vế phải. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 1002, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$. Do đó $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ đúng. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1002, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sqrt{3}\tan 2x-3=0$: điều kiện $\cos 2x\ne 0$, suy ra $\tan 2x=\sqrt{3}$, nên $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Trên $[0;2\pi ]$ các nghiệm là $\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3}$: đúng 4 nghiệm → Đúng. b) Phương trình tương đương $\tan 2x=\sqrt{3}$ (với điều kiện $\cos 2x\ne 0$) → Đúng. c) Nghiệm đầy đủ là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, không phải $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ (bộ này chỉ lấy được 2 trong 4 nghiệm) → Sai. d) Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}+\frac{7\pi }{6}+\frac{5\pi }{3}=\frac{1+4+7+10}{6}\pi =\frac{22\pi }{6}=\frac{11\pi }{3}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 1002, Phần II, Câu 2: Đ Đ S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, trên $[0;2\pi ]$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$ (với điều kiện $\cos 2x\ne 0$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$; công thức $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ thiếu các nghiệm $\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}+\frac{7\pi }{6}+\frac{5\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{\pi t}{6}+1=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\frac{6}{\pi }\left(-1\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \right)$. Với dấu $+$: $t=4-\frac{6}{\pi }+12k\approx 2,09+12k$, cho $t\approx 2,09$ và $t\approx 14,09$. Với dấu $-$: $t=-4-\frac{6}{\pi }+12k\approx -5,91+12k$, cho $t\approx 6,09$ và $t\approx 18,09$ (với $0\le t<24$). Vậy $T\approx 2,09+14,09+6,09+18,09=40,3603\approx 40,4$, khớp với đáp án nguồn.

a) $\cos x=-\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) $\sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm tổng quát $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Thật vậy, trên vòng tròn lượng giác, các cung có sin bằng $\sin \alpha$ là cung $\alpha$ và cung $\pi -\alpha$, và lặp lại chu kỳ $2\pi$. Kiểm tra: với $x=\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin \alpha$; với $x=\pi -\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$. Các phương án dùng chu kỳ $\pi$ (A, B) sai vì $\sin (x+\pi )=-\sin x$; phương án D sai vì thiếu họ nghiệm $\pi -\alpha$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1002: Câu 6 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan 2x-3=0$ với điều kiện $\cos 2x\ne 0$. Chuyển về $\tan 2x=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ (phép chia cho $\sqrt{3}\ne 0$ không làm mất nghiệm, nên tương đương). Suy ra $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$ các nghiệm là $x\in \left\{\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3};\frac{7\pi }{6};\frac{5\pi }{3}\right\}$: a) Đúng, có đúng 4 nghiệm. b) Sai, họ $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ chỉ là một phần họ nghiệm đúng $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ (thiếu $\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$). c) Đúng, tổng $=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}+\frac{7\pi }{6}+\frac{5\pi }{3}=\frac{1+4+7+10}{6}\pi =\frac{22\pi }{6}=\frac{11\pi }{3}$. d) Đúng, vì $\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (Đ S Đ Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, trên $[0;2\pi ]$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$; họ $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ chỉ gồm một phần nghiệm (thiếu $\frac{2\pi }{3}$ và $\frac{5\pi }{3}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trên $[0;2\pi ]$: $\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}+\frac{7\pi }{6}+\frac{5\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sqrt{3}\ne 0$, ta có $\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{\pi t}{6}+1=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\pm 4-\frac{6}{\pi }+12k$. Với $0\le t<24$ ta có 4 nghiệm: $t=4-\frac{6}{\pi }\approx 2,09$; $t=8-\frac{6}{\pi }\approx 6,09$; $t=16-\frac{6}{\pi }\approx 14,09$; $t=20-\frac{6}{\pi }\approx 18,09$. Tổng $T=48-\frac{24}{\pi }\approx 40,3606\approx 40,4$, khớp với đáp án nguồn.

a) $\cos x=-\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) $\sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$